Монету бросают 3 раза какая вероятность того. Специальная формула вероятности
Задача 1 . Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».
Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи - 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле .
Задача 2 . Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:
Р(А) = Р 6 (0) + Р 6 (1) + Р 6 (2) =.
Задача 3 . Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
Решение . Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.
Задача 4 . Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A m - событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A m (см. таблицу):
Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из теоремы 2. Действительно, n=3, p=1/2, q=1/2. Тогда
,
т.е.
.
Задача 5. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.
Решение. Имеем n=10, p=0,1, q=0,9. Неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид: 250,1–0,9m*250,1+0,1 или 1,6m*2,6. У этого неравенства только одно целое решение, а именно, m*=2.
Задача 6 . Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005. Применяя пуассоновское приближение с λ=np=5, получаем
1)
P 1000 (3)
;
2)
P 1000 (m3)=1P 1000 (m<3)=11
,
и Р 1000 (3)0,14; Р 1000 (m3)0,875.
Задача 7 . Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.
Решение
.
В данном случае n=100, m=80, p=0,75, q=0,25.
Находим
,
и определяем(x)=0,2036,
тогда искомая вероятность равна
Р 100 (80)=
.
Задача 8. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.
Решение.
По условию задачи n=40000,
p=0,02.
Находим np=800,
.
Для вычисления Р(m£870)
воспользуемся интегральной теоремой
Муавра-Лапласа:
Р(0
и
.
Находим по таблице значений функции Лапласа:
Р(0 Задача
9
.
Вероятность
появления события в каждом из 400
независимых испытаний равна 0,8. Найти
такое положительное число ,
чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная
величина отклонения относительной
частоты появления события от его
вероятности не превышала . Решение.
По условию задачи p=0,8,
n=400. Используем следствие из интегральной
теоремы Муавра-Лапласа:
Задача
10.
Курс
акции за день может подняться на 1 пункт
с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт
с вероятностью 30% и остаться неизменным
с вероятностью 20%. Найти вероятность
того, что за 5 дней торгов курс поднимется
на 2 пункта. Решение.
Возможны
только следующие два варианта развития
событий: 1) курс растет 2
дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня; 2) курс растет 3
дня, падает 1 день, не меняется 1 день. Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле: где p
- искомая вероятность, k
- число устраивающих нас событий, n
- общее число возможных событий. Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку - достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k
и n
. В этом и состоит вся сложность. Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения: Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали! Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов: К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 - 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры - и сами все поймете: Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество. Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O - орел, P - решка): Итого n
= 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи: Таких вариантов оказалось k
= 2. Находим вероятность: Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек: OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP Всего получилось n
= 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k
= 1. Осталось найти вероятность: Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я - не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения. Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните: Теорема. Пусть монету бросают n
раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k
раз, можно найти по формуле: Где C n k
- число сочетаний из n
элементов по k
, которое считается по формуле: Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же. На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше. Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. По условию задачи, всего бросков было n
= 4. Требуемое число орлов: k
= 3. Подставляем n
и k
в формулу: Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Снова выписываем числа n
и k
. Поскольку монету бросают 3 раза, n
= 3. А поскольку решек быть не должно, k
= 0. Осталось подставить числа n
и k
в формулу: Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C
3 0 = 1. Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка. Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий. Пусть p
1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n
= 4, k
= 3. Имеем: Теперь найдем p
2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n
= 4, k
= 4. Имеем: Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p
1 и p
2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем: p
= p
1 + p
2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое
определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство
задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое
определение вероятности. Вероятность события А
(объективная возможность наступления
события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу
всех равновозможных несовместных элементарных исходов:
Р(А)=m/n
, где: Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять
перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом. Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадает 1 раз} соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких
вариантов два m=2. Задача 2
. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение
. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число
возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел не выпадет ни разу}
соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1. Задача 3
. В случайном эксперименте симметричную
монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза. Решение
. Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные
комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы: Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадает 2 раза} соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента.
Таких вариантов три, значит m=3. Задача 4
. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза. Решение
. Возможные варианты четырех бросаний монеты
(все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы: Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадет 3 раза} соответствуют вариантам №12, 13, 14
и 15 эксперимента, значит m=4. Задача 5
. Определите вероятность того, что при бросании игрального
кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков. Решение
. При бросании игрального кубика (правильной кости) может
выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение
от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6. Задача 6
. Определите вероятность того, что при бросании игрального
кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных. Решение
. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести
его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит
число возможных элементарных исходов n=6. Задача 7
. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того,
что оба раза выпало число, меньшее 4. Решение
. Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать
следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в
виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов: Задача 8
. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность
того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных. Решение
. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости
представим в таблице: Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36. Задача 9
. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того,
что хотя бы раз выпало число, меньшее 4. Решение
. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице: Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
.
Следовательно,
.
По таблице для функции Лапласа определяем
.
Отсюда=0,0516.Метод перебора комбинаций
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Специальная формула вероятности
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375№ варианта
1-й бросок
2-й бросок
3-й бросок
4-й бросок
№ варианта
1-й бросок
2-й бросок
3-й бросок
4-й бросок
1
Орел
Орел
Орел
Орел
9
Решка
Орел
Решка
Орел
2
Орел
Решка
Решка
Решка
10
Орел
Решка
Орел
Решка
3
Решка
Орел
Решка
Решка
11
Орел
Решка
Решка
Орел
4
Решка
Решка
Орел
Решка
12
Орел
Орел
Орел
Решка
5
Решка
Решка
Решка
Орел
13
Решка
Орел
Орел
Орел
6
Орел
Орел
Решка
Решка
14
Орел
Решка
Орел
Орел
7
Решка
Орел
Орел
Решка
15
Орел
Орел
Решка
Орел
8
Решка
Решка
Орел
Орел
16
Решка
Решка
Решка
Решка
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
Определение вероятности в задачах про игральную кость
Событие А = {выпало более 3 очков} означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит
число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5
Событие А = {выпало не более 4 очков} означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко).
Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,6671; 1
2; 1
3; 1
4; 1
5; 1
6; 1
1; 2
2; 2
3; 2
4; 2
5; 2
6; 2
1; 3
2; 3
3; 3
4; 3
5; 3
6; 3
1; 4
2; 4
3; 4
4; 4
5; 4
6; 4
1; 5
2; 5
3; 5
4; 5
5; 5
6; 5
1; 6
2; 6
3; 6
4; 6
5; 6
6; 6
Благоприятные исходы события А = {оба раза выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным)
подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,251; 1
2; 1
3; 1
4; 1
5; 1
6; 1
1; 2
2; 2
3; 2
4; 2
5; 2
6; 2
1; 3
2; 3
3; 3
4; 3
5; 3
6; 3
1; 4
2; 4
3; 4
4; 4
5; 4
6; 4
1; 5
2; 5
3; 5
4; 5
5; 5
6; 5
1; 6
2; 6
3; 6
4; 6
5; 6
6; 6
Благоприятные исходы события А = {наибольшее из двух выпавших чисел равно 5} (они выделены жирным)
подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,2221; 1
2; 1
3; 1
4; 1
5; 1
6; 1
1; 2
2; 2
3; 2
4; 2
5; 2
6; 2
1; 3
2; 3
3; 3
4; 3
5; 3
6; 3
1; 4
2; 4
3; 4
4; 4
5; 4
6; 4
1; 5
2; 5
3; 5
4; 5
5; 5
6; 5
1; 6
2; 6
3; 6
4; 6
5; 6
6; 6
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза»,
тогда число благоприятных исходов события А = {хотя бы раз выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным)
m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75
