기하학적 진행. 예시가 포함된 종합 가이드(2019)

24.09.2019

한 지점에서 무한소 및 무한히 큰 함수의 정의 및 속성. 속성 및 정리 증명. 무한소 함수와 무한히 큰 함수 사이의 관계.

극소 및 극소 함수의 정의

x하자 0 는 유한 또는 무한 점입니다: 무한, -무한 또는 +무한.

무한함수의 정의
함수 α (엑스)~라고 불리는 극소의 x가 x를 향하는 경향이 있기 때문에 0 0 이며 0과 같습니다.
.

무한히 큰 함수의 정의
기능 f (엑스)~라고 불리는 무한히 큰 x가 x를 향하는 경향이 있기 때문에 0 , 함수가 x → x로 제한되는 경우 0 이며 무한대와 같습니다.
.

무한 함수의 속성

무한함수의 합, 차이, 곱의 성질

합계, 차이 및 곱 x → x와 같은 유한한 수의 무한함수 0 x → x와 같은 무한함수입니다. 0 .

이 속성은 함수 극한의 산술 속성의 직접적인 결과입니다.

제한된 함수와 무한소의 곱에 관한 정리

제한된 함수의 곱 x 지점의 구멍이 뚫린 근처에서 0 , x → x와 같이 무한소로 0 는 x → x와 같은 무한소 함수입니다. 0 .

함수를 상수와 무한함수의 합으로 표현하는 성질

f 함수를 위해서는 (엑스)유한한 한계가 있었다면 그것은 필요하고 충분하다.
,
x → x와 같은 무한함수는 어디에 있습니까? 0 .

무한히 큰 함수의 속성

유계함수와 무한대함수의 합에 관한 정리

점 x의 구멍이 뚫린 이웃에 대한 경계 함수의 합 또는 차이 0 , x → x와 같이 무한히 큰 함수 0 는 x → x로서 무한히 큰 함수입니다. 0 .

무한히 큰 함수로 제한된 함수를 나누는 정리

함수 f라면 (엑스) x → x만큼 무한히 크다 0 , 그리고 함수 g (엑스)- 점 x의 구멍이 뚫린 근처에 국한됩니다. 0 , 저것
.

무한한 함수에 의해 아래로 묶인 함수의 분할에 관한 정리

점의 일부 구멍이 뚫린 근처에 있는 함수가 아래에서 절대값의 양수로 제한되는 경우:
,
함수는 x → x로 무한소입니다. 0 :
,
그리고 그 지점에 구멍이 난 부분이 있습니다.
.

무한히 큰 함수의 부등식의 성질

함수가 무한히 큰 경우:
,
그리고 점의 일부 구멍이 뚫린 근처에 있는 함수 및 는 부등식을 만족합니다.
,
그러면 함수는 다음과 같이 무한히 커집니다.
.

이 속성에는 두 가지 특별한 경우가 있습니다.

구멍이 뚫린 지점 근처에서 함수와 부등식을 만족시키자:
.
그렇다면 , 그러면 그리고 .
이면, 그리고 .

무한히 큰 함수와 무한한 함수의 관계

이전의 두 속성에서 무한히 큰 함수와 무한한 함수 사이의 연결이 이어집니다.

함수가 에서 무한히 크면 함수는 에서 무한히 작습니다.

, 및 에 대해 함수가 무한소인 경우 함수는 에 대해 무한히 큽니다.

무한소 함수와 무한히 큰 함수 사이의 관계는 기호로 표현될 수 있습니다.
, .

무한소 함수가 에서 특정 부호를 갖는 경우, 즉 점의 구멍이 뚫린 근처에서 양수(또는 음수)인 경우 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
.
같은 방식으로 무한히 큰 함수가 에 특정 부호를 가지면 다음과 같이 씁니다.
, 또는 .

그러면 무한히 작은 함수와 무한히 큰 함수 사이의 상징적 연결은 다음 관계로 보완될 수 있습니다.
, ,
, .

무한대 기호와 관련된 추가 공식은 페이지에서 찾을 수 있습니다.
"무한점과 그 속성."

속성 및 정리 증명

유계함수와 극소함수의 곱에 관한 정리의 증명

다음의 경우 함수를 무한히 크게 만듭니다.
.
그리고 그 지점에 구멍이 난 부분이 있게 해주세요.
에 .

로 수렴하는 임의의 수열을 취해보자. 그런 다음 숫자 N부터 시작하여 시퀀스의 요소는 다음 이웃에 속합니다.
에 .
그 다음에
에 .

하이네(Heine)에 따른 함수의 극한 정의에 따르면,
.
그러면 무한히 큰 수열의 부등식의 성질에 의해,
.
수열은 임의적이므로 로 수렴하고, 하이네에 따른 함수의 극한 정의에 의해,
.

속성이 입증되었습니다.

참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.

데이비드 버만, 마리안느 프라이베르거

최근 매우 이상한 결과가 논의되었습니다. 모든 자연수를 더하면 다음과 같이 됩니다.

그러면 그 합은 와 같을 것이다. 이 아이디어는 비디오에서 시연됩니다. 넘버파일, 이는 그 결과가 입증되었음을 명시하고 있으며, 물리학에서도 널리 활용되고 있음을 명시하고 있습니다. 이 아이디어는 사람들을 너무나 놀라게 하여 뉴욕 타임스에도 실렸습니다. 그렇다면 이것이 모두 무엇을 의미하는가?

수학

우선, 모든 자연수의 무한합은 동일하지 않습니다. 계산기에서 부분 금액을 계산하면 이를 쉽게 확인할 수 있습니다.

등등. 성장에 따라, 즉 더해진 자연수의 수가 증가함에 따라 점점 더 커집니다. 사실, 충분히 큰 것을 선택하면 원하는 만큼 크게 만들 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 경우

그리고 당신이 받을 때

따라서 수학자들은 이 급수가 발산한다고 말합니다. 또는 더 느슨하게 표현하면 그 합은 무한대와 같습니다.

스리니바사 라마누잔

그렇다면 그것은 어디에서 오는가? 실제로 1913년 인도의 유명한 수학자 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)의 연구에서는 잘못된 결과가 나타났다. 하지만 라마누잔은 자신이 무엇을 하고 있는지 알고 있었고, 그 글을 쓸 이유가 있었습니다. 그는 소위 오일러 제타 함수를 연구했습니다. 이것이 무엇인지 이해하기 위해 먼저 무한한 합을 생각해 봅시다.

자연수 제곱의 역수를 더하면 이 합이 얻어지는 것을 볼 수 있습니다.

이제 이 금액은 다르지 않습니다. 위에서 했던 것처럼 부분합의 수열을 고려하면,

그러면 얻은 결과는 원하는 숫자에 가깝지만 결코 이를 초과하지 않습니다. 수학자들은 급수가 로 수렴한다고 말하며, 좀 더 느슨하게는 급수의 합이 와 같다고 말합니다.

이제 분모의 자연수를 제곱하는 대신 다른 거듭제곱으로 올리면 어떻게 되는지 봅시다. 해당 금액이 나오는 것으로 나타났습니다.

차수가 보다 큰 숫자이면 최종 값으로 수렴됩니다. 각 제목에 대해="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь выдающегося математика XVII века Леонарда Эйлера.!}

여태까지는 그런대로 잘됐다. 하지만 보다 작은 숫자를 고려하면 어떻게 될까요? 예를 들어, 을 취하면 어떻게 되나요? 한번 살펴보자.

그래서 우리는 발산한다는 것을 알고 있는 원래의 합을 얻었습니다. 다음보다 작거나 같은 다른 값의 경우에도 마찬가지입니다. 합계가 발산됩니다.

논평.오일러의 제타 함수가 계속됩니다. 고려된 오일러 제타 함수는 보다 큰 실수에 대해 정의됩니다. 실수는 복소수라고 불리는 더 큰 숫자 계열의 일부입니다. 그리고 실수는 수직선 위의 모든 점에 해당하지만, 복소수는 실수선을 포함하는 평면 위의 모든 점에 해당합니다. 이 평면을 복소 평면이라고 합니다. 인수가 실수인 함수를 정의하는 것처럼 인수가 복소수인 함수도 정의할 수 있습니다.

복소 변수의 함수에 대한 놀라운 사실 중 하나는 일부 데이터 집합에 대한 함수의 값을 알면 (몇 가지 기술적 세부 사항까지) 복소 평면의 어느 지점에서나 함수의 값을 알 수 있다는 것입니다. 함수의 영역을 확장하는 이러한 방법을 분석 연속이라고 합니다. 오일러의 제타 함수는 보다 큰 실수에 대해 정의됩니다. 실수는 복소수이기 때문에 이 함수를 복소수 함수로 처리한 다음 분석 연속을 사용하여 전체 평면에 대해 정의된 새 함수를 얻을 수 있지만 보다 큰 실수에 대해 오일러 제타 함수와 일치합니다. 이것이 리만 제타 함수입니다.

할 수 있는 일이 하나 더 있습니다. 강력한 수학(복잡한 분석에 대한 참고 사항 참조)을 사용하면 오일러 제타 함수의 범위를 확장하여 그보다 작거나 같은 숫자에 대해 함수가 유한 값을 취하도록 할 수 있습니다. 즉, 새로운 함수를 정의하는 방법이 있습니다. 이를 호출하여 title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}

그리고 함수의 경우 특정 최종 값을 취합니다. 이 방법을 분석적 연속이라고 하며, 이 방법이 생성하는 새로운 함수를 18세기 수학자 베른하르트 리만의 이름을 딴 리만 제타 함수라고 합니다. (유한한 값을 취하는 이 새로운 함수를 생성하는 것은 발산 계열에서 다른 발산 계열을 빼는 것으로 구성되므로 첫 번째 발산 합계에서 발생하는 무한대에서 두 번째 발산 합계에서 발생하는 무한대를 뺀 값은 유한한 것과 같습니다.)

괜찮은. 이제 우리는 title="Rendered by QuickLaTeX.com)에 대한 함수를 갖게 되었습니다." height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}

그리고 만약 당신이 그것을 가정하는 실수를 한다면, 당신은 (잘못된) 평등을 얻게 될 것입니다

라마누잔이 이 신비한 표현을 기록한 이유는 바로 이것이다.

교활한

그렇다면 영상 속 사람들은 모든 자연수의 합이 와 같다는 것을 어떻게 '증명'했을까요? 그들은 실제로 그렇게 하지 않았습니다. 이 영상을 보는 것은 마술사를 보면서 토끼가 언제 모자 안으로 들어가는지 알아내려는 것과 같습니다. "증명"의 첫 번째 단계는 다소 어리석은 일, 즉 무한한 양의

영상은 이에 대해 오랫동안 언급하지 않고 그것이 명백하다는 것을 암시하는 것 같습니다. 하지만 이것이 말이 되는지 알아보기 위해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 그 합을 유한수와 같게 하고, 그것을 이라고 부르자. 우리 자신을 더하면 무한한 합계를 얻습니다.

하지만 이는 초기 금액일 뿐이며,

왜냐하면 그것은 사실이 아니기 때문입니다. 따라서 무한합이 같다고 간주될 수 있다는 진술은 옳지 않습니다. 실제로 발산하는 무한한 양을 사용하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 이것은 속임수입니다!

물리학

그런데 어떻게 이 기이하고 잘못된 결과가 영상에서 보이는 것처럼 물리학 교과서에 실리게 되었나요? 이것이 정말 흥미로운 부분입니다. 전도성 금속판 두 개를 진공 상태에서 서로 평행하게 배열한다고 가정해 보겠습니다. 고전 물리학에 따르면 이 두 판 사이에는 힘이 작용하지 않아야 합니다.

카시미르 효과

그러나 고전 물리학은 세상을 아주 작은 규모로 볼 때 나타나는 이상한 효과를 고려하지 않습니다. 이를 고려하려면 매우 이상한 것들을 많이 주장하는 양자 물리학이 필요합니다. 그 중 하나는 진공이 비어 있지 않고 활동으로 가득 차 있다는 것입니다. 그 속에서는 소위 가상입자가 늘 나타나고 사라진다. 이 활동은 영점 에너지라고 불리는 것을 생성합니다. 어떤 것이 가질 수 있는 가장 낮은 에너지는 결코 0이 아닙니다. 수학이나 양자 물리학을 사용하여 두 판 사이의 총 에너지 밀도를 계산하려고 하면 무한한 합이 나옵니다.

이 무한합은 값을 오일러의 제타 함수에 연결하면 얻을 수 있는 것이기도 합니다.

이 합은 무한한 에너지 밀도를 의미하기 때문에(보다 훨씬 더 빠르게 발산하기 때문에) 불행한 일입니다. 이것은 분명히 말도 안되는 일입니다. 그러나 무한합이 오일러 제타 함수가 아닌 리만 제타 함수와 같다고 뻔뻔스럽게 가정한다면 어떻게 될까요? 그러면 유한한 에너지 밀도를 얻게 됩니다. 이것은 금속판 사이에 인력이 있어야 한다는 것을 의미하는데, 이는 또한 터무니없어 보이는데, 고전 물리학에서는 힘이 없어야 한다고 주장하기 때문입니다.

하지만 여기에 놀라운 일이 있습니다. 물리학자들이 실험을 했을 때, 그들은 힘이 실제로 존재한다는 것을 발견했고, 그것은 정확히 !

이 놀라운 물리적 결과는 네덜란드 물리학자 Hendrik Casimir의 이름을 딴 카시미르 효과로 알려져 있습니다.

잠시 시간을 내어 감사해 보세요. 양자 물리학에서는 에너지 밀도가 다음과 같아야 한다고 말합니다.

이것은 말도 안 되는 일이지만 실험에 따르면 이 합이 의 제타 함수 값과 같다고 (잘못) 고려하면 올바른 답을 얻을 수 있습니다. 그래서 자연은 라마누잔의 생각을 따르는 것 같습니다. 그녀는 오일러의 제타 함수를 확장하여 보다 작은 값을 포함시켰고, 교묘하게 무한대를 빼서 유한 값에 도달했습니다. 이거 엄청나 네!

Numberphile 비디오와 물리학 교과서에서 모두 볼 수 있고 그렇지 않은 이유는 Casimir 효과가 한 차원(3D가 아닌 선을 따라)에서 발생한다고 상상할 때 고려하는 에너지 밀도가 가 아니라 와 같기 때문입니다. .

그렇다면 Numberphile의 사람들은 왜 이 이상한 "결과"를 홍보하고 있습니까? 물론 그들은 기능을 매우 구체적으로 만드는 분석 연속에 대해 알고 있지만 이는 비디오에 비해 너무 기술적입니다. 최종 결과를 뒷주머니에 숨기면서도 합리적으로 만드는 분석적 지속 방법을 알고, 그들은 현명하게 전진했다. 그렇게 하여 조회 수는 100만 회가 넘었고, 전 세계는 제타 함수와 수학에 관해 이야기하기 시작했습니다. 그들은 이것에 대해 축하받을 수 있습니다. 제타 함수의 수학은 환상적입니다. 여기서 설명한 내용은 놀라운 수학적 특성의 긴 목록의 시작에 불과합니다. 수학과 물리학을 대중화할 때 우리는 항상 말하지 않는 것과 설명하는 것을 선택해야 합니다. 그 선을 어디에 그리는지는 우리에게 달려 있습니다.

숫자열 VI

§ l48. 무한히 감소하는 기하수열의 합

지금까지 합계에 관해 이야기할 때 우리는 항상 이러한 합계에 포함된 항의 수가 유한하다고 가정했습니다(예: 2, 15, 1000 등). 그러나 일부 문제(특히 고등 수학)를 풀 때는 무한한 수의 항의 합을 다루어야 합니다.

에스= ㅏ 1 + ㅏ 2 + ... + ㅏ N + ... . (1)

이 금액은 얼마입니까? 우선순위 무한한 수의 항의 합 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ..., ㅏ N , ...를 합 S의 극한이라고 합니다. N 첫 번째 피 언제의 숫자 피 -> ∞ :

S=S N = (ㅏ 1 + ㅏ 2 + ... + ㅏ N ). (2)

물론 (2)항은 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다. 따라서 그들은 합 (1)이 존재하거나 존재하지 않는다고 말합니다.

각 특정 사례에 합계 (1)이 존재하는지 어떻게 알 수 있습니까? 이 문제에 대한 일반적인 해결책은 우리 프로그램의 범위를 훨씬 뛰어넘습니다. 그러나 이제 우리가 고려해야 할 중요한 특별한 경우가 하나 있습니다. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 항을 합하는 것에 대해 이야기하겠습니다.

허락하다 ㅏ 1 , ㅏ 1 큐 , ㅏ 1 큐 2, ...은 무한히 감소하는 기하학적 수열입니다. 이는 다음을 의미합니다 | 큐 |< 1. Сумма первых 피 이 진행 조건은 동일합니다.

변수 극한에 대한 기본 정리(§ 136 참조)로부터 다음을 얻습니다.

그러나 1 = 1, qn = 0. 따라서

따라서 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합은 이 수열의 첫 번째 항을 1에서 이 수열의 분모를 뺀 값으로 나눈 것과 같습니다.

1) 기하급수 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...의 합은 다음과 같습니다.

기하학적 수열의 합은 12입니다. -6; 삼; - 3 / 2 , ... 같음

2) 단순 주기 분수 0.454545 ...를 일반 분수로 변환합니다.

이 문제를 해결하려면 이 분수를 무한한 합으로 상상해 보세요.

이 평등의 우변은 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합으로, 첫 번째 항은 45/100이고 분모는 1/100입니다. 그렇기 때문에

설명된 방법을 사용하여 단순 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 일반적인 규칙을 얻을 수 있습니다(II장, § 38 참조).

단순 주기 분수를 일반 분수로 변환하려면 다음을 수행해야 합니다. 분자에는 소수 분수의 마침표를 넣고 분모에는 마침표의 자릿수만큼 취한 9로 구성된 숫자를 입력해야 합니다. 소수의.

3) 혼합 주기 분수 0.58333 ....을 일반 분수로 변환합니다.

이 분수를 무한한 합으로 상상해 봅시다:

이 등식의 오른쪽에서 3/1000부터 시작하는 모든 항은 무한히 감소하는 기하학적 수열을 형성하며 첫 번째 항은 3/1000이고 분모는 1/10입니다. 그렇기 때문에

설명된 방법을 사용하여 혼합 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 일반적인 규칙을 얻을 수 있습니다(II장, § 38 참조). 우리는 의도적으로 여기에 그것을 제시하지 않습니다. 이 번거로운 규칙을 기억할 필요가 없습니다. 혼합 주기 분수는 무한히 감소하는 기하 수열과 특정 수의 합으로 표현될 수 있다는 것을 아는 것이 훨씬 더 유용합니다. 그리고 공식

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대해서는 물론 기억해야 합니다.

연습으로, 아래 주어진 문제 번호 995-1000 외에도 문제 번호 301 § 38을 다시 한번 살펴보시기 바랍니다.

수업 과정

995. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 무엇이라고 합니까?

996. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾습니다.

997. 어떤 가치에서 엑스 진행

무한히 줄어들고 있는 걸까요? 그러한 진행의 합을 구하십시오.

998. 변이 있는 정삼각형에서 ㅏ 변의 중간점을 연결하여 새로운 삼각형이 새겨집니다. 새로운 삼각형은 같은 방식으로 이 삼각형에 새겨져 있으며, 계속해서 계속됩니다.

a) 모든 삼각형의 둘레의 합

b) 면적의 합.

999. 측면이 있는 정사각형 ㅏ 측면의 중간점을 연결하여 새로운 정사각형이 새겨집니다. 정사각형은 같은 방식으로 이 정사각형에 새겨져 있으며, 이런 식으로 무한히 계속됩니다. 이 모든 정사각형의 둘레의 합과 면적의 합을 구하세요.

1000. 합이 25/4이고 항의 제곱의 합이 625/24가 되도록 무한히 감소하는 기하 수열을 구성합니다.

이 장의 시작 부분에 표기법을 도입함으로써 우리는 본질적으로 “그것은 나중으로 미루자. 그 동안 우리는 발생하는 모든 합계에 0이 아닌 항의 유한한 수만 있다고 가정할 수 있습니다! 그러나 마침내 결산의 시간이 왔습니다. 우리는 다음과 같은 사실을 직시해야 합니다.

금액은 무한할 수 있습니다. 그리고 사실, 즐거운 상황과 불쾌한 상황 모두 끝없이 많은 양이 발생합니다.

첫째, 불쾌한 점: 합계를 처리할 때 사용한 방법이 무한 합계에 항상 유효한 것은 아니라는 것이 밝혀졌습니다. 그리고 이제 좋은 점에 대해 말하자면, 우리가 수행한 모든 작업이 완전히 합법적인 광대하고 단순하게 배열된 무한 합계 클래스가 있습니다. 두 상황의 이면에 있는 이유는 합산의 실제 의미를 알아낸 후에 분명해질 것입니다.

최종 합계가 무엇인지는 누구나 알고 있습니다. 모든 항목이 합산될 때까지 모든 항목을 차례로 합계에 추가합니다. 하지만 무한한 양은 문제가 되지 않도록 좀 더 섬세하게 결정해야 한다.

는 2와 같습니다. 두 배로 하면 다음과 같습니다.

그러나 동일한 논리에 따라 금액을 계산해야 합니다.

-1과 같습니다. 왜냐하면 우리가 그것을 두 배로 늘리면 다음을 얻게 되기 때문입니다.

이상한 일이 일어나고 있습니다. 양수 값을 추가하여 어떻게 음수를 얻을 수 있습니까? T의 합을 정의되지 않은 상태로 두는 것이 더 나은 것 같고 아마도 T의 항이 고정된 유한수보다 커지기 때문에 가정해야 할 것입니다. (수량은 방정식의 또 다른 "해"입니다. 또한 방정식을 "해결"합니다.

집합 K가 무한할 수 있는 임의의 합 값에 대해 적절한 정의를 내려보겠습니다. 우선, a의 모든 항이 음수가 아니라고 가정합니다. 이 경우 적절한 정의를 찾는 것은 어렵지 않습니다. 유한한 하위 집합에 대해 다음과 같은 제한 상수 A가 있는 경우

그런 다음 그 합을 그러한 모든 A 중 가장 작은 것으로 취합니다. (잘 알려진 실수의 속성에서 다음과 같이 모든 A의 집합은 항상 가장 작은 요소를 포함합니다.) 그러나 그러한 제한 상수 A가 존재하지 않으면 , 우리는 이것을 A -

어떤 실수, 그러면 a의 항의 유한한 수가 있고 그 합이 A를 초과합니다.

이전 단락의 정의는 매우 섬세하게 공식화되어 인덱스 집합 K에 존재할 수 있는 어떤 순서에도 의존하지 않습니다. 따라서 우리가 제공할 인수는 정수 집합에 대한 합계에만 유효할 뿐만 아니라 하지만 인덱스가 많은 다중 합계의 경우에도 마찬가지입니다.

특히, K가 음이 아닌 정수의 집합일 때, 음이 아닌 용어 a에 대한 정의는 다음을 의미합니다.

그 이유는 다음과 같습니다. 감소하지 않는 실수 수열에는 한계가 있습니다(아마도 이 한계가 같으면 음이 아닌 정수의 유한 집합이 됩니다. 따라서 또는 A는 제한 상수입니다. 그러나 A가 A의 지정된 경계보다 작은 숫자인 경우, 유한 집합은 A가 제한 상수가 아니라는 사실을 입증합니다.

이제 방금 주어진 정의에 따라 특정 무한합의 크기를 쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 그렇다면

특히, 조금 전에 논의된 무한합과 T는 우리가 예상한 대로 각각 2와 같습니다. 또 다른 주목할만한 예:

이제 음수가 아닌 합계와 함께 합계에 음수 용어가 포함될 수 있는 경우를 고려해 보겠습니다. 예를 들어, 금액은 얼마입니까?

용어를 쌍으로 그룹화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

따라서 합계는 0이 됩니다. 하지만 한 단계 나중에 쌍으로 그룹화하기 시작하면

즉, 합은 1과 같습니다.

우리는 이 공식이 유효하다는 것을 알고 있기 때문에 공식을 넣을 수도 있지만, 이 무한 합은 정수의 합이기 때문에 같다는 것을 인정해야 합니다!

또 다른 흥미로운 예는 k 0 과 E 에서 다음과 같이 쓸 수 있는 양방향 합 무한입니다.

"중앙" 요소에서 시작하여 바깥쪽으로 이동하여 이 합계를 계산하면,

그러면 우리는 1을 얻습니다. 모든 괄호를 한 요소 왼쪽으로 이동하면 동일한 1을 얻습니다.

내부 괄호 안에 있는 모든 숫자의 합은 다음과 같기 때문입니다.

비슷한 추론을 통해 이 대괄호가 고정된 수의 요소를 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하면 합계 값은 1과 동일하게 유지된다는 것을 알 수 있습니다. 이는 합계가 실제로 1과 같다는 우리의 의견을 강화합니다. 그러나 반면에 용어를 다음과 같이 그룹화합니다.

그러면 내부 괄호 쌍에 숫자가 포함됩니다.

채널에서. 도 9에서는 따라서 이 그룹화 방법이 양방향의 무한한 합이 실제로 다음과 같아야 한다는 아이디어로 이어진다는 것을 보여줍니다.

서로 다른 방식으로 더해지면 서로 다른 값을 나타내는 합계에는 의미가 없습니다. 현대 분석 매뉴얼에는 그러한 병리학적 합계에 의미 있는 의미를 할당하는 여러 가지 정의가 있습니다. 그러나 이러한 정의를 빌리면 지금까지 해왔던 것처럼 - 표기법을 자유롭게 사용할 수 없게 됩니다. 이 책의 목표는 "조건부 수렴" 개념에 대한 세련된 설명이 필요하지 않도록 하는 것입니다. 우리는 이 장에서 사용한 모든 연산을 실행하는 무한합의 정의를 고수할 것입니다.

본질적으로 무한합에 대한 정의는 매우 간단합니다. K를 집합으로 설정하고 a를 각각에 대해 정의된 합계의 실수 항으로 설정합니다. (실제로는 집합 K 자체가 다차원이 될 수 있도록 여러 개의 지수를 의미할 수 있습니다.) 모든 실수 x는 양수 부분과 음수 부분의 차이로 표현될 수 있으며,

(또는 우리는 음수가 아니기 때문에 무한합의 크기를 결정하는 방법을 이미 설명했습니다. 따라서 우리의 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

우변의 두 합이 동일하지 않은 경우. 후자의 경우 Hlek 금액은 여전히 불확실합니다.

Tskekak으로 두고 합이 유한하면 합이 절대적으로 수렴한다고 말합니다. 만약 그것이 유한하다면 그들은 그 합이 다음으로 발산한다고 말합니다. 마찬가지로, 그것이 유한하다면 그들은 그것이 If로 발산한다고 말하고, 그러면 그들은 아무 말도 하지 않습니다.

우리는 합계의 음수가 아닌 항에 대해 "작동하는" 정의로 시작한 다음 이를 실수 값 항으로 확장했습니다. 합계의 구성원이 복소수인 경우 우리의 정의는 분명히 이 경우로 확장될 수 있습니다. 합은 다음과 같이 정의됩니다 - 실수부와 허수부 a가 모두 존재하는 경우 그렇지 않으면 Hkek의 합은 정의되지 않습니다(연습 18 참조).

불행한 점은 이미 언급했듯이 우리가 수행하는 작업이 터무니없는 결과를 초래할 수 있기 때문에 일부 무한한 양을 정의하지 않은 채 남겨 두어야 한다는 것입니다. (연습 34를 참조하세요.) 좋은 점은 방금 설정한 의미에서 절대적으로 수렴하는 합계를 처리할 때마다 이 장의 모든 연산이 절대적으로 유효하다는 것입니다.

우리는 각각의 합 변환 규칙이 절대적으로 수렴하는 합의 크기를 변경하지 않는다는 것을 보여줌으로써 이 즐거운 사실을 확인할 수 있습니다. 더 구체적으로 말하면, 이는 분배 법칙, 결합 법칙, 교환 법칙의 충족 여부와 모든 변수에 대한 합산을 시작할 수 있는 규칙을 확인해야 함을 의미합니다. 이 장에서 수행한 다른 모든 작업은 이러한 네 가지 기본 합계 연산에서 파생될 수 있습니다.

분포 법칙(2.15)은 다음과 같이 더 엄격하게 공식화될 수 있습니다. 합 Hkek a가 절대적으로 수렴하고 c가 어떤 복소수이면 Lkek은 절대적으로 수렴합니다. 이것은 먼저 합을 실수와 허수로 나누어 증명할 수 있습니다. 이전에 분해한 것처럼 양수 부분과 음수 부분으로 나누어 합계의 각 항이 음수가 아닐 때 특별한 경우를 증명합니다. 이 특정한 경우의 증명은 임의의 유한 집합에 대해 마지막 사실이 집합의 크기에 대한 귀납법으로 증명될 수 있다는 사실로 인해 작동합니다.

결합 법칙(2.16)은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 만약 합이 각각 A와 B에 절대적으로 수렴한다면, 그 합은 절대적으로 다음과 같이 수렴합니다. 이것은 우리가 곧 증명할 보다 일반적인 정리의 특별한 경우임이 밝혀졌습니다. .

교환법칙(2.17)은 실제로 증명할 필요가 없습니다. 왜냐하면 공식(2.35)을 논의할 때 합의 순서를 변경하는 일반 법칙의 특수한 경우로 이를 유도하는 방법을 보여 주었기 때문입니다.

하기 위해 계열의 합을 계산하다, 주어진 횟수만큼 행의 요소를 추가하기만 하면 됩니다. 예를 들어:

위의 예에서는 유한한 횟수만큼 합산해야 하므로 이 작업은 매우 간단하게 수행되었습니다. 그런데 합산의 상한이 무한대라면 어떻게 될까요? 예를 들어, 다음 계열의 합을 구해야 하는 경우:

이전 예와 유사하게 이 금액을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

하지만 다음에는 무엇을 해야 할까요?! 이 단계에서는 개념을 도입하는 것이 필요하다. 계열의 부분합. 그래서, 계열의 부분합(S n으로 표시됨)은 계열의 처음 n 항의 합입니다. 저것들. 우리의 경우:

그런 다음 원래 계열의 합을 부분합의 극한으로 계산할 수 있습니다.

따라서 계열의 합 계산하기, 계열의 부분합(S n )에 대한 표현식을 찾는 것이 필요합니다. 우리의 특별한 경우, 급수는 분모가 1/3인 감소하는 기하학적 수열입니다. 아시다시피, 기하수열의 처음 n개 요소의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.

여기서 b 1은 기하학적 수열의 첫 번째 요소(이 경우 1)이고 q는 수열의 분모(이 경우 1/3)입니다. 따라서 우리 계열의 부분합 Sn은 다음과 같습니다.

그러면 위에 주어진 정의에 따른 계열(S)의 합은 다음과 같습니다.

위에서 논의한 예는 매우 간단합니다. 일반적으로 계열의 합을 계산하는 것은 훨씬 더 어렵고 계열의 부분합을 찾는 것이 가장 큰 어려움입니다. Wolfram Alpha 시스템을 기반으로 제작된 아래의 온라인 계산기를 사용하면 매우 복잡한 계열의 합을 계산할 수 있습니다. 또한 계산기가 계열의 합을 찾을 수 없는 경우 계열이 발산할 가능성이 높습니다(이 경우 계산기는 "합계가 발산합니다"와 같은 메시지를 표시함). 이 계산기는 계열의 수렴에 대한 아이디어를 얻는 데에도 간접적으로 도움이 됩니다.

계열의 합을 찾으려면 계열의 변수, 합계의 하한 및 상한, 계열의 n번째 항에 대한 표현식(즉, 계열 자체에 대한 실제 표현식)을 지정해야 합니다. .