분수 작업, 솔루션 예시, 인쇄 가능. 일반 분수를 사용한 모든 연산에 대한 문제 및 예

수업 내용

분모가 같은 분수 더하기

분수의 덧셈에는 두 가지 유형이 있습니다.

1. 분모가 같은 분수 더하기
2. 분모가 다른 분수 더하기

먼저, 분모가 같은 분수의 덧셈을 배워봅시다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 동일한 분모를 가진 분수를 더하려면 분자를 더하고 분모는 그대로 두어야 합니다. 예를 들어 분수와 를 더해 보겠습니다. 분자를 추가하고 분모는 변경하지 않고 그대로 둡니다.

이 예는 네 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자에 피자를 추가하면 피자가 나옵니다.

예시 2.분수를 추가하고 .

그 대답은 가분수로 판명되었습니다. 작업이 끝나면 가분수를 제거하는 것이 일반적입니다. 가분수를 제거하려면 가분수 전체를 선택해야 합니다. 우리의 경우 전체 부분은 쉽게 분리됩니다. 2를 2로 나누면 1이 됩니다.

이 예는 두 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자에 피자를 더 추가하면 피자 한 개가 나옵니다.

실시예 3. 분수를 추가하고 .

이번에도 분자를 더하고 분모는 그대로 둡니다.

이 예는 세 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자에 피자를 더 추가하면 피자가 나옵니다.

예시 4.표현식의 값 찾기

이 예제는 이전 예제와 정확히 같은 방식으로 해결됩니다. 분자를 더하고 분모는 변경하지 않고 그대로 두어야 합니다.

그림을 사용하여 솔루션을 묘사해 보겠습니다. 피자에 피자를 추가하고 피자를 더 추가하면 전체 피자 1개와 피자가 더 추가됩니다.

보시다시피, 동일한 분모를 가진 분수를 더하는 데 복잡한 것은 없습니다. 다음 규칙을 이해하면 충분합니다.

1. 동일한 분모를 가진 분수를 더하려면 분자를 더하고 분모는 그대로 두어야 합니다.

분모가 다른 분수 더하기

이제 분모가 다른 분수를 더하는 방법을 알아 보겠습니다. 분수를 더할 때는 분수의 분모가 같아야 합니다. 그러나 항상 같은 것은 아닙니다.

예를 들어 분수는 분모가 같기 때문에 더할 수 있습니다.

그러나 분수는 분모가 다르기 때문에 분수를 즉시 더할 수 없습니다. 이러한 경우 분수는 동일한(공통) 분모로 축소되어야 합니다.

분수를 동일한 분모로 줄이는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 오늘은 그 중 하나만 살펴보겠습니다. 다른 방법은 초보자에게 복잡해 보일 수 있기 때문입니다.

이 방법의 핵심은 먼저 두 분수의 분모의 LCM을 검색한다는 것입니다. 그런 다음 LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나누어 첫 번째 추가 요소를 얻습니다. 두 번째 분수에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나누고 두 번째 추가 요소를 얻습니다.

그런 다음 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱합니다. 이러한 작업의 결과로 분모가 다른 분수는 분모가 같은 분수로 변합니다. 그리고 우리는 이미 그러한 분수를 더하는 방법을 알고 있습니다.

실시예 1. 분수를 더해보자.

우선, 두 분수의 분모의 최소공배수를 구합니다. 첫 번째 분수의 분모는 숫자 3이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 2입니다. 이 숫자의 최소 공배수는 6입니다.

LCM(2 및 3) = 6

이제 분수와 로 돌아가 보겠습니다. 먼저 LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나누고 첫 번째 추가 요소를 얻습니다. LCM은 숫자 6이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 6을 3으로 나누면 2가 됩니다.

결과 숫자 2는 첫 번째 추가 승수입니다. 우리는 그것을 첫 번째 분수까지 적습니다. 이렇게 하려면 분수 위에 작은 사선을 만들고 그 위에 있는 추가 요소를 적으세요.

두 번째 부분에서도 동일한 작업을 수행합니다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나누고 두 번째 추가 요소를 얻습니다. LCM은 숫자 6이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 2입니다. 6을 2로 나누면 3이 됩니다.

결과 숫자 3은 두 번째 추가 승수입니다. 우리는 그것을 두 번째 분수에 적습니다. 다시 한 번 두 번째 분수 위에 작은 사선을 만들고 그 위에 있는 추가 요소를 적습니다.

이제 추가할 모든 준비가 완료되었습니다. 분수의 분자와 분모에 추가 요소를 곱하는 것이 남아 있습니다.

우리가 무엇을 하게 되었는지 주의 깊게 살펴보십시오. 우리는 분모가 다른 분수는 분모가 같은 분수로 변한다는 결론에 도달했습니다. 그리고 우리는 그러한 분수를 더하는 방법을 이미 알고 있습니다. 이 예를 끝까지 살펴보겠습니다.

이것으로 예제가 완료되었습니다. 를 추가하는 것으로 나타났습니다.

그림을 사용하여 솔루션을 묘사해 보겠습니다. 피자에 피자를 추가하면 전체 피자 한 개와 피자 6분의 1이 추가됩니다.

분수를 동일한(공통) 분모로 줄이는 것도 그림을 사용하여 묘사할 수 있습니다. 분수를 공통 분모로 줄이면 분수와 가 나옵니다. 이 두 분수는 동일한 피자 조각으로 표시됩니다. 유일한 차이점은 이번에는 동일한 몫으로 나누어진다는 것입니다(동일한 분모로 축소).

첫 번째 그림은 분수(6개 중 4개)를 나타내고, 두 번째 그림은 분수(6개 중 3개)를 나타냅니다. 이 조각들을 추가하면 우리는 6개 중 7개 조각을 얻습니다. 이 부분은 부적절하므로 전체 부분을 강조 표시했습니다. 결과적으로 우리는 (전체 피자 하나와 여섯 번째 피자 하나)를 얻었습니다.

이 예를 너무 자세하게 설명했다는 점에 유의하세요. 교육 기관에서는 그러한 세부 사항을 작성하는 것이 관례가 아닙니다. 분모와 추가 요소의 LCM을 빠르게 찾을 수 있을 뿐만 아니라 발견된 추가 요소에 분자와 분모를 빠르게 곱할 수 있어야 합니다. 우리가 학교에 있었다면 이 예를 다음과 같이 작성해야 할 것입니다.

그러나 동전에는 또 다른 측면도 있습니다. 수학 공부의 첫 단계에서 자세히 메모하지 않으면, 그런 종류의 문제가 나타나기 시작합니다. “그 숫자는 어디서 나온 걸까요?”, “분수는 왜 갑자기 전혀 다른 분수로 변하는 걸까요? «.

분모가 다른 분수를 더 쉽게 추가하려면 다음 단계별 지침을 따르세요.

1. 분수 분모의 LCM을 구합니다.
2. LCM을 각 분수의 분모로 나누고 각 분수에 대한 추가 요소를 얻습니다.
3. 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱합니다.
4. 분모가 같은 분수를 더하세요.
5. 답이 가분수로 판명되면 전체 부분을 선택하세요.

예시 2.표현식의 값 찾기 .

위에 제공된 지침을 사용해 보겠습니다.

1단계. 분수의 분모의 최소공배수 구하기

두 분수의 분모의 LCM을 구합니다. 분수의 분모는 숫자 2, 3, 4입니다.

2단계. LCM을 각 분수의 분모로 나누고 각 분수에 대한 추가 인수를 얻습니다.

LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 12이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 2입니다. 12를 2로 나누면 6이 됩니다. 첫 번째 추가 요소 6을 얻었습니다. 첫 번째 분수 위에 씁니다.

이제 LCM을 두 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 12이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 12를 3으로 나누면 4를 얻습니다. 두 번째 추가 요소 4를 얻습니다. 두 번째 분수 위에 씁니다.

이제 LCM을 세 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 12이고 세 번째 분수의 분모는 숫자 4입니다. 12를 4로 나누면 3을 얻습니다. 세 번째 추가 요소 3을 얻습니다. 세 번째 분수 위에 씁니다.

3단계. 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱합니다.

분자와 분모에 추가 요소를 곱합니다.

4단계. 분모가 같은 분수 더하기

우리는 서로 다른 분모를 갖는 분수가 동일한(공통) 분모를 갖는 분수로 변한다는 결론에 도달했습니다. 남은 것은 이 분수들을 더하는 것뿐입니다. 추가하세요:

추가 내용이 한 줄에 맞지 않아 나머지 표현식을 다음 줄로 옮겼습니다. 이것은 수학에서 허용됩니다. 표현식이 한 줄에 맞지 않으면 다음 줄로 이동하며 첫 번째 줄의 끝과 새 줄의 시작 부분에 등호(=)를 넣어야 합니다. 두 번째 줄의 등호는 이것이 첫 번째 줄에 있던 표현식의 연속임을 나타냅니다.

5단계. 답이 가분수로 판명되면 전체 부분을 선택하세요.

우리의 대답은 가분수로 판명되었습니다. 우리는 그것의 전체 부분을 강조해야 합니다. 우리는 다음을 강조합니다:

우리는 답변을 받았습니다

분모가 같은 분수 빼기

분수의 뺄셈에는 두 가지 유형이 있습니다.

1. 분모가 같은 분수 빼기
2. 분모가 다른 분수 빼기

먼저, 분모가 같은 분수를 뺄셈하는 방법을 알아봅시다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 한 분수에서 다른 분수를 빼려면 첫 번째 분수의 분자에서 두 번째 분수의 분자를 빼되 분모는 그대로 두어야 합니다.

예를 들어 표현식의 값을 찾아보겠습니다. 이 예제를 풀려면 첫 번째 분수의 분자에서 두 번째 분수의 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다. 이렇게 해보자:

이 예는 네 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자에서 피자를 자르면 피자가 나옵니다.

예시 2.표현식의 값을 찾으십시오.

다시 한 번, 첫 번째 분수의 분자에서 두 번째 분수의 분자를 빼고 분모는 그대로 둡니다.

이 예는 세 부분으로 나누어진 피자를 기억하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자에서 피자를 자르면 피자가 나옵니다.

예시 3.표현식의 값 찾기

이 예제는 이전 예제와 정확히 같은 방식으로 해결됩니다. 첫 번째 분수의 분자에서 나머지 분수의 분자를 빼야 합니다.

보시다시피, 동일한 분모를 가진 분수를 빼는 데 복잡한 것은 없습니다. 다음 규칙을 이해하면 충분합니다.

1. 한 분수에서 다른 분수를 빼려면 첫 번째 분수의 분자에서 두 번째 분수의 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다.
2. 답이 가분수로 판명되면 전체 부분을 강조 표시해야 합니다.

분모가 다른 분수 빼기

예를 들어 분수의 분모가 동일하므로 분수에서 분수를 뺄 수 있습니다. 그러나 분수의 분모가 다르기 때문에 분수에서 분수를 뺄 수는 없습니다. 이러한 경우 분수는 동일한(공통) 분모로 축소되어야 합니다.

공통 분모는 분모가 다른 분수를 더할 때 사용한 것과 동일한 원리를 사용하여 찾습니다. 먼저 두 분수의 분모의 LCM을 구합니다. 그런 다음 LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나누고 첫 번째 분수 위에 쓰여진 첫 번째 추가 요소를 얻습니다. 마찬가지로 LCM을 두 번째 분수의 분모로 나누고 두 번째 추가 요소를 구합니다. 이는 두 번째 분수 위에 기록됩니다.

그런 다음 분수에 추가 요소를 곱합니다. 이러한 연산의 결과, 분모가 다른 분수는 분모가 같은 분수로 변환됩니다. 그리고 우리는 이미 그러한 분수를 빼는 방법을 알고 있습니다.

예시 1.표현의 의미를 찾으십시오.

이 분수들은 분모가 다르기 때문에 동일한(공통) 분모로 줄여야 합니다.

먼저 두 분수의 분모의 LCM을 찾습니다. 첫 번째 분수의 분모는 숫자 3이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 4입니다. 이 숫자의 최소 공배수는 12입니다.

LCM(3 및 ​​4) = 12

이제 분수로 돌아가서

첫 번째 분수에 대한 추가 요소를 찾아보겠습니다. 이렇게 하려면 LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 12이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 12를 3으로 나누면 4가 됩니다. 첫 번째 분수 위에 4를 씁니다.

두 번째 부분에서도 동일한 작업을 수행합니다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 12이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 4입니다. 12를 4로 나누면 3이 됩니다. 두 번째 분수 위에 3을 씁니다.

이제 뺄셈을 할 준비가 되었습니다. 분수에 추가 요소를 곱하는 것이 남아 있습니다.

우리는 분모가 다른 분수는 분모가 같은 분수로 변한다는 결론에 도달했습니다. 그리고 우리는 이미 그러한 분수를 빼는 방법을 알고 있습니다. 이 예를 끝까지 살펴보겠습니다.

우리는 답변을 받았습니다

그림을 사용하여 솔루션을 묘사해 보겠습니다. 피자에서 피자를 자르면 피자가 나온다

이것은 솔루션의 세부 버전입니다. 우리가 학교에 있었다면 이 예를 더 짧게 풀어야 할 것입니다. 이러한 솔루션은 다음과 같습니다.

분수를 공통 분모로 줄이는 것도 그림을 사용하여 묘사할 수 있습니다. 이 분수를 공통 분모로 줄이면 분수와 가 됩니다. 이러한 분수는 동일한 피자 조각으로 표시되지만 이번에는 동일한 몫으로 나누어집니다(동일한 분모로 축소).

첫 번째 그림은 분수(12개 중 8개)를 보여주고, 두 번째 그림은 분수(12개 중 3개)를 보여줍니다. 8개의 조각에서 3개의 조각을 잘라서 12개의 조각 중 5개의 조각을 얻습니다. 분수는 이 다섯 가지 부분을 설명합니다.

예시 2.표현식의 값 찾기

이 분수들은 서로 다른 분모를 가지므로 먼저 동일한(공통) 분모로 줄여야 합니다.

이 분수의 분모의 LCM을 찾아봅시다.

분수의 분모는 숫자 10, 3, 5입니다. 이 숫자의 최소 공배수는 30입니다.

LCM(10, 3, 5) = 30

이제 각 분수에 대한 추가 요인을 찾습니다. 이렇게 하려면 LCM을 각 분수의 분모로 나눕니다.

첫 번째 분수에 대한 추가 요소를 찾아보겠습니다. LCM은 숫자 30이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 10입니다. 30을 10으로 나누면 첫 번째 추가 요소 3을 얻습니다. 첫 번째 분수 위에 씁니다.

이제 우리는 두 번째 분수에 대한 추가 요소를 찾습니다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 30이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 30을 3으로 나누면 두 번째 추가 요소 10을 얻습니다. 두 번째 분수 위에 씁니다.

이제 우리는 세 번째 분수에 대한 추가 요소를 찾습니다. LCM을 세 번째 분수의 분모로 나눕니다. LCM은 숫자 30이고 세 번째 분수의 분모는 숫자 5입니다. 30을 5로 나누면 세 번째 추가 요소 6을 얻습니다. 세 번째 분수 위에 씁니다.

이제 모든 것이 뺄셈 준비가 되었습니다. 분수에 추가 요소를 곱하는 것이 남아 있습니다.

우리는 서로 다른 분모를 갖는 분수가 동일한(공통) 분모를 갖는 분수로 변한다는 결론에 도달했습니다. 그리고 우리는 이미 그러한 분수를 빼는 방법을 알고 있습니다. 이 예제를 마치겠습니다.

예제의 연속은 한 줄에 맞지 않으므로 다음 줄로 이동합니다. 새 줄에 등호(=)를 잊지 마세요.

답은 정분수로 밝혀졌고 모든 것이 우리에게 어울리는 것 같지만 너무 번거롭고 추악합니다. 우리는 그것을 더 간단하게 만들어야 합니다. 무엇을 할 수 있나요? 이 분수를 줄일 수 있습니다.

분수를 줄이려면 분자와 분모를 숫자 20과 30의 (GCD)로 나누어야 합니다.

따라서 우리는 숫자 20과 30의 gcd를 찾습니다.

이제 예제로 돌아가 분수의 분자와 분모를 찾은 gcd, 즉 10으로 나눕니다.

우리는 답변을 받았습니다

분수에 숫자 곱하기

분수에 숫자를 곱하려면 주어진 분수의 분자에 해당 숫자를 곱하고 분모는 그대로 두어야 합니다.

실시예 1. 분수에 숫자 1을 곱합니다.

분수의 분자에 숫자 1을 곱합니다.

녹음은 반 1시간 정도 걸린다고 이해하시면 됩니다. 예를 들어 피자를 한 번 먹으면 피자가 나옵니다.

곱셈의 법칙을 통해 우리는 피승수와 인수를 바꿔도 결과가 변하지 않는다는 것을 알고 있습니다. 표현식을 로 쓰면 곱은 여전히 ​​와 같습니다. 다시 말하지만, 정수와 분수를 곱하는 규칙은 다음과 같습니다.

이 표기법은 1의 절반을 취하는 것으로 이해될 수 있습니다. 예를 들어 피자 1개가 있는데 절반을 가져간다면 피자를 먹게 됩니다.

실시예 2. 표현식의 값 찾기

분수의 분자에 4를 곱합니다.

답은 가분수였습니다. 전체 부분을 강조해 보겠습니다.

이 표현은 2/4를 4번 취하는 것으로 이해될 수 있습니다. 예를 들어 피자 4판을 먹으면 피자 2판이 나옵니다.

그리고 피승수와 승수를 바꾸면 식이 됩니다. 이는 또한 2와 같습니다. 이 표현식은 전체 피자 4개에서 피자 2개를 취하는 것으로 이해될 수 있습니다.

분수 곱하기

분수를 곱하려면 분자와 분모를 곱해야 합니다. 답이 가분수로 판명되면 전체 부분을 강조 표시해야 합니다.

예시 1.표현식의 값을 찾으십시오.

답변을 받았습니다. 이 부분을 줄이는 것이 좋습니다. 분수는 2만큼 줄어들 수 있습니다. 그런 다음 최종 솔루션은 다음 형식을 취합니다.

이 표현은 피자 반 조각에서 피자를 꺼내는 것으로 이해될 수 있습니다. 피자 반 조각이 있다고 가정해 보겠습니다.

이 절반에서 2/3를 가져가는 방법은 무엇입니까? 먼저 이 절반을 세 개의 동일한 부분으로 나누어야 합니다.

그리고 다음 세 조각 중 두 조각을 선택하세요.

우리는 피자를 만들 거예요. 세 부분으로 나눈 피자의 모습을 기억하세요.

이 피자 한 조각과 우리가 가져온 두 조각의 크기는 동일합니다.

즉, 같은 크기의 피자를 말하는 것입니다. 따라서 표현식의 값은 다음과 같습니다.

실시예 2. 표현식의 값 찾기

첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱하고, 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모를 곱합니다.

답은 가분수였습니다. 전체 부분을 강조해 보겠습니다.

예시 3.표현식의 값 찾기

첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱하고, 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모를 곱합니다.

답은 정분수로 나왔지만, 줄여서 쓰면 좋을 것 같습니다. 이 분수를 줄이려면 이 분수의 분자와 분모를 숫자 105와 450의 최대 공약수(GCD)로 나누어야 합니다.

그럼 숫자 105와 450의 gcd를 구해보겠습니다.

이제 우리는 답의 분자와 분모를 우리가 찾은 gcd, 즉 15로 나눕니다.

정수를 분수로 표현하기

모든 정수는 분수로 표시될 수 있습니다. 예를 들어 숫자 5는 로 나타낼 수 있습니다. 표현은 "5를 1로 나눈 숫자"를 의미하고 우리가 알고 있듯이 5와 같기 때문에 이것은 5의 의미를 바꾸지 않습니다.

역수

이제 우리는 수학에서 매우 흥미로운 주제에 대해 알게 될 것입니다. "역수"라고 합니다.

정의. 숫자로 역순ㅏ 는 곱할 때 나타나는 숫자입니다.ㅏ 하나를 제공합니다.

변수 대신 이 정의를 대체해 보겠습니다. ㅏ 5번을 선택하고 정의를 읽어보세요.

숫자로 역순 5 는 곱할 때 나타나는 숫자입니다. 5 하나를 제공합니다.

5를 곱하면 1이 되는 숫자를 찾는 것이 가능합니까? 가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 5를 분수로 상상해 봅시다:

그런 다음 이 분수를 곱하고 분자와 분모만 바꾸면 됩니다. 즉, 분수 자체를 거꾸로 곱해 보겠습니다.

그 결과 어떤 일이 일어날까요? 이 예제를 계속해서 풀면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

이는 숫자 5의 역수가 숫자임을 의미합니다. 5를 곱하면 1이 되기 때문입니다.

숫자의 역수는 다른 정수에서도 찾을 수 있습니다.

다른 분수의 역수를 찾을 수도 있습니다. 이렇게 하려면 뒤집으면 됩니다.

분수를 숫자로 나누기

피자 반 조각이 있다고 가정해 보겠습니다.

두 사람에게 똑같이 나누어 봅시다. 각 사람은 피자를 얼마나 먹을까요?

피자를 반으로 나눈 후 두 개의 동일한 조각이 얻어지고 각 조각이 피자를 구성한다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 모두가 피자를 먹습니다.

분수의 나눗셈은 역수를 사용하여 수행됩니다. 역수를 사용하면 나눗셈을 곱셈으로 바꿀 수 있습니다.

분수를 숫자로 나누려면 분수에 제수의 역수를 곱해야 합니다.

이 규칙을 사용하여 피자 반쪽을 두 부분으로 나누는 방법을 적어 보겠습니다.

따라서 분수를 숫자 2로 나누어야합니다. 여기서 피제수는 분수이고 제수는 숫자 2입니다.

분수를 숫자 2로 나누려면 이 분수에 제수 2의 역수를 곱해야 합니다. 제수 2의 역수가 분수입니다. 그래서 당신은 곱해야합니다

이 문서에서는 분수에 대한 연산을 검토합니다. A B 형식의 분수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 또는 지수화 규칙이 형성되고 정당화됩니다. 여기서 A와 B는 숫자, 수치 표현 또는 변수가 있는 표현일 수 있습니다. 결론적으로 자세한 설명이 포함된 솔루션의 예가 고려됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

일반 숫자 분수로 작업을 수행하는 규칙

일반 분수에는 자연수나 수치식을 포함하는 분자와 분모가 있습니다. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π와 같은 분수를 고려하면, 2 0, 5 ln 3이면 분자와 분모가 숫자뿐만 아니라 다양한 유형의 표현을 가질 수 있음이 분명합니다.

정의 1

일반 분수를 사용한 연산을 수행하는 규칙이 있습니다. 일반 분수에도 적합합니다.

• 분모가 유사한 분수를 뺄 때 분자만 추가되고 분모는 동일하게 유지됩니다. 즉, a d ± c d = a ± c d, 값 a, c 및 d ≠ 0은 일부 숫자 또는 수치 표현입니다.
• 분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때는 공통 분모로 줄인 다음 동일한 지수를 가진 결과 분수를 더하거나 빼는 것이 필요합니다. 말 그대로 다음과 같습니다: a b ± c d = a · p ± c · r s, 여기서 값 a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0은 실수입니다. 그리고 b · p = d · r = s 입니다. p = d이고 r = b이면 a b ± c d = a · d ± c · d b · d입니다.
• 분수를 곱할 때 동작은 분자로 수행되고 그 후에 분모로 a b · c d = a · c b · d를 얻습니다. 여기서 a, b ≠ 0, c, d ≠ 0은 실수로 작동합니다.
• 분수를 분수로 나눌 때 첫 번째 분수에 두 번째 역수를 곱합니다. 즉, 분자와 분모를 바꿉니다. a b: c d = a b · d c.

규칙의 이론적 근거

정의 2

계산할 때 의존해야 하는 수학적 요점은 다음과 같습니다.

• 슬래시는 나누기 기호를 의미합니다.
• 숫자로 나누는 것은 그 역수에 의한 곱셈으로 처리됩니다.
• 실수를 이용한 연산 속성의 적용;
• 분수의 기본 속성과 수치 부등식을 적용합니다.

도움을 받아 다음 형식의 변환을 수행할 수 있습니다.

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

예

이전 단락에서는 분수 연산에 대해 설명했습니다. 그 이후에는 분수를 단순화해야 합니다. 이 주제는 분수 변환에 관한 단락에서 자세히 논의되었습니다.

먼저, 같은 분모를 가진 분수의 덧셈과 뺄셈의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

분수 8 2, 7과 1 2, 7이 주어지면 규칙에 따라 분자를 더하고 분모를 다시 써야 합니다.

해결책

그런 다음 8 + 1 2, 7 형식의 분수를 얻습니다. 덧셈을 수행한 후 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 형식의 분수를 얻습니다. 따라서 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3입니다.

답변: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

또 다른 해결책이 있습니다. 우선 일반 분수 형식으로 전환한 후 단순화를 수행합니다. 다음과 같습니다.

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

실시예 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 에서 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 형식의 분수를 빼겠습니다.

동일한 분모가 주어지므로 동일한 분모를 가진 분수를 계산한다는 의미입니다. 우리는 그것을 얻습니다

1 - 2 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1 - 2 3 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1

분모가 다른 분수를 계산하는 예가 있습니다. 중요한 점은 공통분모로의 축소이다. 이것이 없으면 더 이상 분수 작업을 수행할 수 없습니다.

이 과정은 공통분모로의 축소를 막연하게 연상시킵니다. 즉, 분모의 최소 공약수를 찾은 후 누락된 요소를 분수에 추가합니다.

더해지는 분수에 공통 인수가 없으면 그 곱은 하나가 될 수 있습니다.

실시예 3

분수 2 3 5 + 1과 1 2를 더하는 예를 살펴보겠습니다.

해결책

이 경우 공통분모는 분모의 곱입니다. 그러면 우리는 2 · 3 5 + 1을 얻습니다. 그런 다음 추가 요소를 설정할 때 첫 번째 분수는 2이고 두 번째 분수는 3 5 + 1입니다. 곱셈 후에 분수는 4 2 · 3 5 + 1 형식으로 줄어듭니다. 1 2의 일반적인 감소는 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1입니다. 결과 분수 표현식을 더하고 다음을 얻습니다.

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

답변: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

일반 분수를 다룰 때 일반적으로 최소 공통 분모에 대해서는 이야기하지 않습니다. 분자의 곱을 분모로 삼는 것은 수익성이 없습니다. 먼저 제품보다 가치가 낮은 숫자가 있는지 확인해야 합니다.

실시예 4

1 6 · 2 1 5와 1 4 · 2 3 5의 곱이 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5인 경우를 생각해 봅시다. 그런 다음 12 · 2 3 5 를 공통분모로 사용합니다.

일반 분수의 곱셈의 예를 살펴 보겠습니다.

실시예 5

이렇게 하려면 2 + 1 6과 2 · 5 3 · 2 + 1을 곱해야 합니다.

해결책

규칙에 따라 분자의 곱을 분모로 다시 쓰고 써야 합니다. 우리는 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1을 얻습니다. 분수를 곱한 후에는 축소하여 단순화할 수 있습니다. 그러면 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

역분수에 의한 나눗셈에서 곱셈으로의 전환 규칙을 사용하여 주어진 분수의 역수인 분수를 얻습니다. 이를 위해 분자와 분모가 바뀌었습니다. 예를 살펴보겠습니다:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

그런 다음 결과 분수를 곱하고 단순화해야 합니다. 필요한 경우 분모의 비합리성을 제거하십시오. 우리는 그것을 얻습니다

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

답변: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

이 단락은 숫자 또는 수치 표현이 분모가 1인 분수로 표현될 수 있을 때 적용 가능하며, 그러한 분수를 사용한 연산은 별도의 단락으로 간주됩니다. 예를 들어, 1 6 · 7 4 - 1 · 3이라는 표현은 3의 근이 다른 3 1 표현으로 대체될 수 있음을 보여줍니다. 그러면 이 항목은 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 형식의 두 분수를 곱하는 것처럼 보일 것입니다.

변수가 포함된 분수에 대한 연산 수행

첫 번째 기사에서 설명한 규칙은 변수가 포함된 분수 연산에 적용 가능합니다. 분모가 같을 때 뺄셈의 법칙을 생각해 보세요.

A, C 및 D(D는 0이 아님)는 임의의 표현식이 될 수 있으며 A D ± C D = A ± C D 등식은 허용되는 값 범위와 동일하다는 것을 증명해야 합니다.

ODZ 변수 세트를 가져와야 합니다. 그러면 A, C, D는 해당 값 a 0 , c 0 및 디 0. A D ± C D 형식을 대체하면 a 0 d 0 ± c 0 d 0 형식의 차이가 발생하며, 여기서 덧셈 규칙을 사용하여 a 0 ± c 0 d 0 형식의 공식을 얻습니다. A ± C D라는 표현을 대체하면 a 0 ± c 0 d 0 형식의 동일한 분수를 얻습니다. 여기에서 우리는 ODZ, A ± C D 및 A D ± C D를 만족하는 선택된 값이 동일한 것으로 간주된다는 결론을 내립니다.

변수의 모든 값에 대해 이러한 표현식은 동일합니다. 즉, 동일하게 동일하다고 합니다. 이는 이 표현이 A D ± C D = A ± C D 형식의 증명 가능한 동등성으로 간주된다는 것을 의미합니다.

변수를 사용하여 분수를 더하고 빼는 예

분모가 같으면 분자만 더하거나 빼면 됩니다. 이 분수는 단순화될 수 있습니다. 때로는 동일하게 동일한 분수로 작업해야 하지만 일부 변환을 수행해야 하기 때문에 언뜻 보기에는 눈에 띄지 않습니다. 예를 들어, x 2 3 x 1 3 + 1 및 x 1 3 + 1 2 또는 1 2 sin 2 α 및 sin a cos a. 대부분의 경우 동일한 분모를 보려면 원래 표현식을 단순화해야 합니다.

실시예 6

계산: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

해결책

1. 계산을 하려면 분모가 같은 분수를 빼야 합니다. 그런 다음 x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 를 얻습니다. 그런 다음 대괄호를 확장하고 유사한 용어를 추가할 수 있습니다. 우리는 x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2를 얻습니다.
2. 분모는 동일하므로 남은 것은 분모를 남기고 분자를 더하는 것뿐입니다: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   추가가 완료되었습니다. 분수를 줄일 수 있음을 알 수 있다. 분자는 합의 제곱 공식을 사용하여 접을 수 있으며, 그러면 (l g x + 2) 2를 얻습니다. 약식 곱셈 공식에서. 그러면 우리는 그것을 얻습니다
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. 분모가 다른 x - 1 x - 1 + x x + 1 형태의 분수가 주어집니다. 변환 후에는 추가로 넘어갈 수 있습니다.

두 가지 해결책을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 방법은 첫 번째 분수의 분모를 제곱을 사용하여 인수분해한 후 이를 축소하는 것입니다. 우리는 형식의 일부를 얻습니다.

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

따라서 x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 입니다.

이 경우 분모의 불합리성을 제거할 필요가 있다.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

두 번째 방법은 두 번째 분수의 분자와 분모에 x - 1이라는 표현식을 곱하는 것입니다. 따라서 우리는 비합리성을 제거하고 동일한 분모를 가진 분수를 추가하는 것으로 넘어갑니다. 그 다음에

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

답변: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

마지막 예에서 우리는 공통 분모로의 축소가 불가피하다는 것을 발견했습니다. 이렇게 하려면 분수를 단순화해야 합니다. 더하거나 뺄 때 항상 공통 분모를 찾아야 합니다. 이는 분자에 요소를 더한 분모의 곱과 같습니다.

실시예 7

분수의 값을 계산합니다: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

해결책

1. 분모에는 복잡한 계산이 필요하지 않으므로 3 x 7 + 2 · 2 형식의 곱을 선택한 다음 추가 요소로 첫 번째 분수에 x 7 + 2 · 2를 선택하고 두 번째 분수에 3을 선택해야 합니다. 곱하면 x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 형식의 분수를 얻습니다. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. 분모가 곱의 형태로 제시되어 있음을 알 수 있는데, 이는 추가적인 변형이 불필요함을 의미한다. 공통 분모는 x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 형식의 곱으로 간주됩니다. 따라서 x 4 는 첫 번째 분수에 대한 추가 요소이고 ln(x + 1) 두 번째로. 그런 다음 빼서 다음을 얻습니다.
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - 죄 x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - 죄 x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x - 4 )
3. 이 예는 분수 분모를 사용할 때 적합합니다. 제곱의 차이와 합의 제곱에 대한 공식을 적용해야 합니다. 이를 통해 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. 분수가 공통분모로 축소되는 것을 볼 수 있습니다. 우리는 cos x - x · cos x + x 2 를 얻습니다.

그러면 우리는 그것을 얻습니다

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

답변:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

분수에 변수를 곱하는 예

분수를 곱할 때는 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱합니다. 그런 다음 감소 속성을 적용할 수 있습니다.

실시예 8

분수 x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1과 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x를 곱합니다.

해결책

곱셈을 해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 사인(2 x - x)

계산의 편의를 위해 숫자 3을 첫 번째 자리로 옮기고 분수를 x 2만큼 줄이면 다음과 같은 형식의 표현을 얻습니다.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 사인 (2 x - x)

답변: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · 죄 (2 · x - x) .

분할

분수의 나눗셈은 첫 번째 분수에 두 번째 역수를 곱하므로 곱셈과 유사합니다. 예를 들어 분수 x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1을 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , 그런 다음 x + 2 · x x 형식의 곱으로 바꿉니다. 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

지수화

지수 연산을 사용하는 일반 분수 연산을 고려해 보겠습니다. 자연 지수를 갖는 거듭제곱이 있는 경우 해당 동작은 동일한 분수의 곱셈으로 간주됩니다. 그러나 학위의 속성에 기초한 일반적인 접근 방식을 사용하는 것이 좋습니다. C가 0과 동일하지 않은 모든 표현식 A 및 C와 A C r 형식의 표현식에 대한 ODZ의 실수 r은 A C r = A r C r이 유효합니다. 결과는 분수의 거듭제곱입니다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

분수 연산을 수행하는 절차

분수에 대한 연산은 특정 규칙에 따라 수행됩니다. 실제로 우리는 표현식에 여러 분수 또는 분수 표현식이 포함될 수 있음을 알 수 있습니다. 그런 다음 모든 작업을 엄격한 순서로 수행해야 합니다. 거듭제곱하고, 곱하고, 나누고, 더하고 빼는 것입니다. 괄호가 있으면 그 안에서 첫 번째 작업이 수행됩니다.

실시예 9

1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x 를 계산합니다.

해결책

분모가 같으므로 1 - x cos x 및 1 co s x이지만 규칙에 따라 뺄셈을 수행할 수 없으며 먼저 괄호 안의 동작을 수행한 다음 곱셈, 덧셈을 수행합니다. 그러면 계산할 때 우리는 그것을 얻습니다.

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

식을 원래 식에 대입하면 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x가 됩니다. 분수를 곱하면 다음과 같습니다: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. 모든 대체를 수행하면 1 - x cos x - x + 1 cos x · x를 얻습니다. 이제 분모가 다른 분수를 다루어야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

답변: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

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화학, 물리학, 심지어 생물학과 같은 학문 분야에서 응용을 볼 수 있는 가장 중요한 과학 중 하나는 수학입니다. 이 과학을 공부하면 정신적 자질을 개발하고 집중력을 향상시킬 수 있습니다. 수학 강좌에서 특별한 주의를 기울여야 할 주제 중 하나는 분수의 덧셈과 뺄셈입니다. 많은 학생들이 공부를 어려워합니다. 아마도 우리 기사가 이 주제를 더 잘 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

분모가 같은 분수를 빼는 방법

분수는 다양한 연산을 수행하는 데 사용되는 숫자와 같습니다. 정수와의 차이점은 분모가 있다는 것입니다. 그렇기 때문에 분수로 연산을 수행할 때 분수의 일부 기능과 규칙을 연구해야 합니다. 가장 간단한 경우는 분모가 동일한 숫자로 표시되는 일반 분수를 빼는 것입니다. 간단한 규칙을 알고 있다면 이 작업을 수행하는 것이 어렵지 않습니다.

• 한 분수에서 1초를 빼려면, 약해지는 분수의 분자에서 뺄 분수의 분자를 빼야 합니다. 이 숫자를 차이의 분자에 쓰고 분모는 그대로 둡니다: k/m - b/m = (k-b)/m.

분모가 동일한 분수 뺄셈의 예

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

분수 "7"의 분자에서 빼려는 분수 "3"의 분자를 빼면 "4"가 됩니다. 우리는 답의 분자에 이 숫자를 쓰고 분모에는 첫 번째와 두 번째 분수의 분모에 있던 것과 동일한 숫자인 "19"를 입력합니다.

아래 그림은 몇 가지 유사한 예를 더 보여줍니다.

분모가 같은 분수를 빼는 좀 더 복잡한 예를 생각해 보겠습니다.

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

분수 "29"의 분자에서 모든 후속 분수("3", "8", "2", "7")의 분자를 차례로 빼서 줄어듭니다. 결과적으로 우리는 답의 분자에 적는 "9"라는 결과를 얻고 분모에는 이러한 모든 분수의 분모에있는 숫자 인 "47"을 적습니다.

분모가 같은 분수 더하기

일반 분수의 덧셈과 뺄셈도 같은 원리를 따릅니다.

• 분모가 같은 분수를 더하려면 분자를 더해야 합니다. 결과 숫자는 합의 분자이고 분모는 동일하게 유지됩니다: k/m + b/m = (k + b)/m.

예제를 사용하여 이것이 어떻게 보이는지 살펴보겠습니다.

1/4 + 2/4 = 3/4.

분수의 첫 번째 항의 분자인 "1"에 분수의 두 번째 항의 분자인 "2"를 추가합니다. 결과 "3"은 합계의 분자에 기록되고 분모는 분수에있는 "4"와 동일하게 유지됩니다.

분모가 다른 분수와 그 뺄셈

우리는 이미 동일한 분모를 갖는 분수에 대한 연산을 고려했습니다. 보시다시피 간단한 규칙을 알고 이러한 예를 해결하는 것은 매우 쉽습니다. 하지만 분모가 다른 분수를 사용하여 연산을 수행해야 한다면 어떻게 될까요? 많은 중등학교 학생들은 이러한 예를 보고 혼란스러워합니다. 하지만 여기서도 풀이의 원리를 안다면 예제는 더 이상 어렵지 않을 것입니다. 여기에는 그러한 분수를 푸는 것이 단순히 불가능한 규칙이 있습니다.

분모가 다른 분수를 빼려면 동일한 최소 분모로 줄여야 합니다.



이를 수행하는 방법에 대해 더 자세히 이야기하겠습니다.

분수의 성질

여러 분수를 동일한 분모로 가져오려면 솔루션에서 분수의 주요 속성을 사용해야 합니다. 분자와 분모를 같은 숫자로 나누거나 곱한 후 주어진 분수와 같은 분수를 얻습니다.

예를 들어 분수 2/3은 "6", "9", "12" 등과 같은 분모를 가질 수 있습니다. 즉, "3"의 배수인 모든 숫자의 형태를 가질 수 있습니다. 분자와 분모에 "2"를 곱하면 분수 4/6이 나옵니다. 원래 분수의 분자와 분모에 "3"을 곱하면 6/9가 되고, 숫자 "4"에 비슷한 연산을 하면 8/12가 됩니다. 하나의 평등은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

여러 분수를 동일한 분모로 변환하는 방법

여러 분수를 동일한 분모로 줄이는 방법을 살펴보겠습니다. 예를 들어, 아래 그림에 표시된 분수를 살펴보겠습니다. 먼저 모든 숫자의 분모가 될 수 있는 숫자를 결정해야 합니다. 일을 더 쉽게 하기 위해 기존 분모를 인수분해해 보겠습니다.

분수 1/2과 분수 2/3의 분모는 인수분해할 수 없습니다. 분모 7/9에는 분수 5/6 = 5/(2 x 3)의 분모인 7/9 = 7/(3 x 3)이라는 두 가지 인수가 있습니다. 이제 우리는 이 네 가지 분수 모두에 대해 어떤 요소가 가장 작은지 결정해야 합니다. 첫 번째 분수는 분모에 숫자 "2"가 있으므로 모든 분모에 있어야 함을 의미하고, 분수 7/9에는 세 개의 삼중항이 두 개 있으므로 둘 다 분모에도 있어야 함을 의미합니다. 위의 사항을 고려하여 분모는 3, 2, 3의 세 가지 요소로 구성되고 3 x 2 x 3 = 18과 같다고 결정합니다.



첫 번째 분수인 1/2을 생각해 봅시다. 분모에 "2"가 있는데 "3"자리가 하나도 없고 두 개가 있어야 합니다. 이를 위해 분모에 삼중 두 개를 곱하지만, 분수의 특성에 따라 분자에 삼중 두 개를 곱해야 합니다.
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18입니다.

나머지 분수에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다.

• 2/3 - 분모에 하나 셋과 하나 둘이 없습니다.
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18입니다.
• 7/9 또는 7/(3 x 3) - 분모에 2가 없습니다.
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 또는 5/(2 x 3) - 분모에 3이 없습니다.
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

모두 합쳐서 다음과 같습니다.



분모가 다른 분수를 뺄셈과 덧셈하는 방법

위에서 언급한 것처럼, 분모가 다른 분수를 덧셈이나 뺄셈을 하려면, 분모가 같은 분수로 줄여야 하고, 그런 다음 이미 논의한 분모가 같은 분수의 뺄셈 규칙을 사용해야 합니다.

예를 들어 4/18 - 3/15를 살펴보겠습니다.

18과 15의 배수 구하기:

• 숫자 18은 3×2×3으로 이루어져 있다.
• 숫자 15는 5×3으로 이루어져 있다.
• 공배수는 5 x 3 x 3 x 2 = 90입니다.

분모를 찾은 후에는 각 분수에 대해 달라지는 요소, 즉 분모뿐만 아니라 분자도 곱하는 데 필요한 숫자를 계산해야 합니다. 이렇게 하려면 우리가 찾은 숫자(공배수)를 추가 요소를 결정해야 하는 분수의 분모로 나눕니다.

• 90을 15로 나눈 값입니다. 결과 숫자 "6"은 3/15의 배수가 됩니다.
• 90을 18로 나눈 결과 "5"는 4/18의 배수가 됩니다.

우리 솔루션의 다음 단계는 각 분수를 분모 "90"으로 줄이는 것입니다.

우리는 이것이 어떻게 이루어지는지에 대해 이미 이야기했습니다. 예제에서 이것이 어떻게 작성되었는지 살펴보겠습니다.

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

분수의 숫자가 작은 경우 아래 그림의 예와 같이 공통 분모를 결정할 수 있습니다.



분모가 다른 경우에도 마찬가지입니다.

빼기와 정수 부분을 갖는 것

우리는 이미 분수의 뺄셈과 덧셈에 대해 자세히 논의했습니다. 하지만 분수에 정수 부분이 있으면 어떻게 빼나요? 이번에도 몇 가지 규칙을 사용해 보겠습니다.

• 정수 부분을 가진 모든 분수를 가분수로 변환하세요. 간단히 말해서 전체 부품을 제거합니다. 이렇게 하려면 정수 부분의 수에 분수의 분모를 곱하고 그 결과를 분자에 더합니다. 이러한 동작 후에 나오는 숫자는 가분수의 분자입니다. 분모는 변하지 않습니다.
• 분수의 분모가 다른 경우 동일한 분모로 줄여야 합니다.
• 동일한 분모를 사용하여 덧셈이나 뺄셈을 수행합니다.
• 가분수를 받은 경우 전체 부분을 선택합니다.



전체 부분에 분수를 더하고 뺄 수 있는 또 다른 방법이 있습니다. 이를 위해 전체 부분으로 작업을 별도로 수행하고 분수로 작업을 별도로 수행하고 결과를 함께 기록합니다.



주어진 예는 동일한 분모를 갖는 분수로 구성됩니다. 분모가 다른 경우에는 동일한 값으로 가져온 후 예시에 표시된 대로 작업을 수행해야 합니다.

정수에서 분수 빼기

분수를 사용한 또 다른 유형의 연산은 분수를 빼야 하는 경우인데, 언뜻 보기에 이러한 예는 해결하기 어려워 보입니다. 그러나 여기에서는 모든 것이 매우 간단합니다. 이 문제를 해결하려면 정수를 분수로 변환해야 하며, 뺄셈 분수의 분모와 동일해야 합니다. 다음으로 동일한 분모를 사용하여 뺄셈과 유사한 뺄셈을 수행합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

이 기사에 제시된 분수의 뺄셈(6학년)은 후속 학년에서 다루는 더 복잡한 예를 해결하기 위한 기초입니다. 이 주제에 대한 지식은 이후에 함수, 도함수 등을 해결하는 데 사용됩니다. 따라서 위에서 설명한 분수를 사용한 연산을 이해하고 이해하는 것이 매우 중요합니다.

분수의 예는 수학의 기본 요소 중 하나입니다. 분수가 포함된 방정식에는 다양한 유형이 있습니다. 다음은 이러한 유형의 예를 해결하기 위한 자세한 지침입니다.

분수로 예제를 푸는 방법 - 일반 규칙

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등 모든 유형의 분수로 예제를 풀려면 기본 규칙을 알아야 합니다.

• 동일한 분모(분모는 분수의 맨 아래에 있는 숫자, 분자는 맨 위에 있는 숫자)를 사용하여 분수 표현식을 추가하려면 분자를 더하고 분모는 그대로 두어야 합니다.
• 한 분수에서 두 번째 분수식(동일한 분모를 사용)을 빼려면 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다.
• 분모가 다른 분수를 더하거나 빼려면 가장 낮은 공통 분모를 찾아야 합니다.
• 분수 곱을 찾으려면 분자와 분모를 곱하고 가능하면 줄여야 합니다.
• 분수를 분수로 나누려면 첫 번째 분수에 두 번째 분수를 역으로 곱하면 됩니다.

분수로 예제를 푸는 방법 - 연습

규칙 1, 예 1:

3/4 +1/4를 계산하세요.

규칙 1에 따르면 두 개(또는 그 이상)의 분수의 분모가 같을 경우 해당 분수의 분자를 더하기만 하면 됩니다. 우리는 3/4 + 1/4 = 4/4를 얻습니다. 분수의 분자와 분모가 같으면 분수는 1이 됩니다.

답: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

규칙 2, 예 1:

계산: 3/4 – 1/4

규칙 번호 2를 사용하여 이 방정식을 풀려면 3에서 1을 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다. 우리는 2/4를 얻습니다. 2와 4 두 개가 줄어들 수 있으므로 줄여서 1/2을 얻습니다.

답: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

규칙 3, 예 1

계산: 3/4 + 1/6

해결 방법: 세 번째 규칙을 사용하여 가장 낮은 공통 분모를 찾습니다. 최소공분모는 예제에 나오는 모든 분수식의 분모로 나누어지는 숫자입니다. 따라서 우리는 4와 6으로 나눌 수 있는 최소 숫자를 찾아야 합니다. 이 숫자는 12입니다. 분모는 12입니다. 12를 첫 번째 분수의 분모로 나누면 3이 되고 3을 곱하면 됩니다. 분자에 3 *3 및 + 기호가 있습니다. 12를 두 번째 분수의 분모로 나누면 2가 되고, 2에 1을 곱하고, 분자에 2*1을 씁니다. 따라서 우리는 분모가 12이고 분자가 3*3+2*1=11인 새로운 분수를 얻습니다. 11/12.

답변: 11/12

규칙 3, 예 2:

3/4 – 1/6을 계산하세요. 이 예는 이전 예와 매우 유사합니다. 우리는 모두 동일한 단계를 수행하지만 + 기호 대신 분자에 빼기 기호를 씁니다. 우리는 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12를 얻습니다.

답변: 7/12

규칙 4, 예 1:

계산: 3/4 * 1/4

네 번째 규칙을 사용하여 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱합니다. 3*1/4*4 = 3/16.

답변: 3/16

규칙 4, 예 2:

2/5 * 10/4를 계산합니다.

이 부분은 줄일 수 있습니다. 곱의 경우 첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분모, 두 번째 분수의 분자와 첫 번째 분모가 취소됩니다.

2는 4에서 취소됩니다. 10은 5에서 취소됩니다. 1 * 2/2 = 1*1 = 1을 얻습니다.

답: 2/5 * 10/4 = 1

규칙 5, 예 1:

계산하다: 3/4: 5/6

다섯 번째 규칙을 사용하면 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5를 얻습니다. 이전 예의 원리에 따라 분수를 줄이고 9/10을 얻습니다.

답: 9/10.

분수로 예제를 푸는 방법 - 분수 방정식

분수 방정식은 분모에 미지수가 포함된 예입니다. 이러한 방정식을 풀려면 특정 규칙을 사용해야 합니다.

예를 살펴보겠습니다:

방정식 15/3x+5 = 3 풀기

0으로 나눌 수 없다는 점을 기억하세요. 분모 값은 0이 아니어야 합니다. 이러한 예를 해결할 때 이를 표시해야 합니다. 이를 위해 OA(허용값 범위)가 있습니다.

따라서 3x+5 ≠ 0입니다.
따라서: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3에서 방정식에는 단순히 해가 없습니다.

ODZ를 지정한 후 이 방정식을 푸는 가장 좋은 방법은 분수를 제거하는 것입니다. 이를 위해 먼저 분수가 아닌 모든 값을 분수(이 경우 숫자 3)로 표시합니다. 15/(3x+5) = 3/1을 얻습니다. 분수를 없애려면 각 분수에 최소 공통 분모를 곱해야 합니다. 이 경우에는 (3x+5)*1이 됩니다. 시퀀싱:

1. 15/(3x+5)에 (3x+5)*1 = 15*(3x+5)를 곱합니다.
2. 괄호를 엽니다: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. 방정식의 우변에도 동일한 작업을 수행합니다: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. 왼쪽과 오른쪽을 동일시합니다: 45x + 75 = 9x +15
5. X를 왼쪽으로, 숫자를 오른쪽으로 이동합니다: 36x = – 50
6. x를 구하세요: x = -50/36.
7. 우리는 다음을 줄입니다: -50/36 = -25/18

답: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

분수로 예제를 해결하는 방법 - 분수 부등식

(3x-5)/(2-x)≥0 유형의 분수 부등식은 숫자 축을 사용하여 해결됩니다. 이 예를 살펴보겠습니다.

시퀀싱:

• 분자와 분모를 0으로 동일시합니다: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• 숫자 축을 그리고 그 위에 결과 값을 씁니다.
• 값 아래에 원을 그립니다. 원에는 채워진 원과 비어 있는 원의 두 가지 유형이 있습니다. 채워진 원은 주어진 값이 솔루션 범위 내에 있음을 의미합니다. 빈 원은 이 값이 솔루션 범위에 포함되지 않음을 나타냅니다.
• 분모는 0과 같을 수 없으므로 2번째 아래에 빈 원이 생깁니다.

• 부호를 결정하기 위해 방정식에 2보다 큰 숫자를 대입합니다(예: 3. (3*3-5)/(2-3)= -4). 값은 음수입니다. 즉, 두 값 다음의 영역 위에 마이너스를 쓴다는 뜻입니다. 그런 다음 X를 5/3에서 2 사이의 간격 값(예: 1)으로 대체합니다. 값은 다시 음수입니다. 마이너스를 씁니다. 5/3까지의 영역에 대해서도 동일한 작업을 반복합니다. 5/3보다 작은 숫자(예: 1)를 대체합니다. 다시 마이너스입니다.

• 우리는 표현식이 0보다 크거나 같은 x 값에 관심이 있고 그러한 값이 없기 때문에 (어디에나 마이너스가 있음), 이 불평등에는 해결책이 없습니다. 즉, x = Ø(빈 세트).

답: x = Ø

분수를 사용한 작업.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

그래서 분수, 분수 유형, 변환이 무엇인지 기억했습니다. 주요 문제를 살펴보겠습니다.

분수로 무엇을 할 수 있나요?예, 모든 것이 일반 숫자와 동일합니다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기.

이 모든 행동은 소수분수로 작업하는 것은 정수로 작업하는 것과 다르지 않습니다. 사실, 그게 그들의 좋은 점이에요. 십진법이죠. 유일한 것은 쉼표를 올바르게 입력해야한다는 것입니다.

대분수, 이미 말했듯이 대부분의 작업에는 거의 사용되지 않습니다. 여전히 일반 분수로 변환해야 합니다.

그러나 그 행동은 일반 분수그들은 더 교활해질 것입니다. 그리고 훨씬 더 중요합니다! 상기시켜 드리겠습니다. 문자, 사인, 미지수 등을 포함한 분수 표현을 사용한 모든 동작은 일반 분수를 사용한 동작과 다르지 않습니다.! 일반 분수를 사용한 연산은 모든 대수학의 기초입니다. 이러한 이유로 우리는 여기서 이 모든 산술을 매우 자세히 분석할 것입니다.

분수를 더하고 뺍니다.

누구나 같은 분모를 가진 분수를 더하거나 뺄 수 있습니다(정말 바랍니다!). 글쎄, 완전히 잊어버리는 사람들에게 상기시켜 드리겠습니다. 더하기(뺄기)를 할 때 분모는 변하지 않습니다. 분자를 더해(빼서) 결과의 분자를 제공합니다. 유형:

간단히 말해서, 일반적인 용어로는 다음과 같습니다.

분모가 다르면 어떻게 되나요? 그런 다음 분수의 기본 속성(여기서 다시 유용하게 사용됩니다!)을 사용하여 분모를 동일하게 만듭니다! 예를 들어:

여기서 우리는 분수 2/5에서 분수 4/10을 만들어야 했습니다. 분모를 동일하게 만드는 유일한 목적을 위해서입니다. 만일을 대비해 2/5와 4/10은 다음과 같습니다. 같은 분수! 2/5만 불편하고 4/10은 정말 괜찮습니다.

그건 그렇고, 이것이 모든 수학 문제 해결의 본질입니다. 우리가 언제부터 불편한우리는 표현을 한다 똑같은 일이지만 해결하는 것이 더 편리합니다..

다른 예시:

상황은 비슷합니다. 여기서 우리는 16에서 48을 만듭니다. 간단히 3을 곱하면 됩니다. 이것은 모두 명확합니다. 그러나 우리는 다음과 같은 것을 발견했습니다.

어때요?! 7점 만점에 9점을 만드는 것은 어렵습니다! 하지만 우리는 똑똑하고 규칙을 알고 있습니다! 변신하자 모든분모가 같도록 분수를 만듭니다. 이를 "공통 분모로 축소"라고 합니다.

우와! 63에 대해 어떻게 알았나요? 매우 간단합니다! 63은 7과 9로 동시에 나누어 떨어지는 수이다. 이러한 숫자는 항상 분모를 곱하여 얻을 수 있습니다. 예를 들어 숫자에 7을 곱하면 결과는 확실히 7로 나눌 수 있습니다!

여러 분수를 더하거나 빼야 하는 경우 쌍으로 단계별로 수행할 필요가 없습니다. 모든 분수에 공통된 분모를 찾고 각 분수를 이 동일한 분모로 줄이면 됩니다. 예를 들어:

그리고 공통분모는 무엇일까요? 물론 2, 4, 8, 16을 곱할 수도 있습니다. 우리는 1024를 얻습니다. 악몽. 숫자 16이 2, 4, 8로 완벽하게 나누어진다고 추정하는 것이 더 쉽습니다. 따라서 이 숫자에서 16을 얻는 것은 쉽습니다. 이 숫자가 공통 분모가 됩니다. 1/2을 8/16으로, 3/4를 12/16으로 바꿔 봅시다.

그런데 1024를 공통 분모로 삼으면 모든 것이 잘되고 결국 모든 것이 줄어들 것입니다. 하지만 계산 때문에 모든 사람이 이 목표에 도달할 수는 없습니다...

예제를 직접 완성해 보세요. 어떤 종류의 로그가 아닙니다. 29/16이어야 합니다.

그러면 분수의 덧셈(뺄셈)이 명확해지기를 바랍니다. 물론 추가 승수를 사용하여 단축 버전에서 작업하는 것이 더 쉽습니다. 하지만이 즐거움은 저학년에서 정직하게 일한 사람들에게 제공됩니다... 그리고 아무것도 잊지 않았습니다.

이제 우리는 동일한 작업을 수행하지만 분수는 아니지만 분수 표현. 여기서 새로운 갈퀴가 공개됩니다. 네...

따라서 두 개의 분수 표현식을 추가해야 합니다.

분모를 동일하게 만들어야 합니다. 그리고 도움을 통해서만 곱셈! 이것이 분수의 주요 속성이 지시하는 것입니다. 그러므로 분모의 첫 번째 분수에 있는 X에 1을 더할 수 없습니다. (그거 좋을 것 같아요!) 하지만 분모를 곱하면 모든 것이 함께 성장한다는 것을 알 수 있습니다! 그래서 우리는 분수의 선을 적고 상단에 빈 공간을 남겨둔 다음 그것을 추가하고 잊지 않도록 아래에 분모의 곱을 씁니다.

그리고 물론 우변에는 아무 것도 곱하지 않고 괄호도 열지 않습니다! 이제 오른쪽의 공통 분모를 보면 첫 번째 분수에서 분모 x(x+1)를 얻으려면 이 분수의 분자와 분모에 (x+1)을 곱해야 한다는 것을 알 수 있습니다. . 그리고 두 번째 분수 - x까지. 이것이 당신이 얻는 것입니다:

메모! 여기에 괄호가 있습니다! 많은 사람들이 밟고 있는 갈퀴입니다. 물론 괄호가 아니라 부재입니다. 곱하기 때문에 괄호가 나타납니다. 모두분자와 모두분모! 그리고 개별 작품도 아니고...

오른쪽 분자에 분자의 합을 쓰고 모든 것이 숫자 분수와 같습니다. 그런 다음 오른쪽 분자에서 괄호를 엽니다. 우리는 모든 것을 곱하고 비슷한 것을 제공합니다. 분모에 있는 괄호를 열거나 아무것도 곱할 필요가 없습니다! 일반적으로 제품은 항상 더 즐겁습니다! 우리는 다음을 얻습니다:

그래서 우리는 답을 얻었습니다. 그 과정이 길고 어려워 보이지만 실천에 달려있습니다. 예제를 풀고 익숙해지면 모든 것이 간단해질 것입니다. 제때에 분수를 마스터한 사람들은 이 모든 작업을 왼손 하나로 자동으로 수행합니다!

그리고 한 가지 더 메모합니다. 많은 사람들이 분수를 현명하게 다루지만, 분수를 사용하는 예제에만 매달립니다. 전체숫자. 예: 2 + 1/2 + 3/4= ? 투피스를 어디에 고정합니까? 어디에든 고정할 필요가 없으며 둘 중 일부를 만들어야 합니다. 쉽지는 않지만 매우 간단합니다! 2=2/1. 이와 같이. 모든 정수는 분수로 쓸 수 있습니다. 분자는 숫자 자체이고 분모는 1입니다. 7은 7/1, 3은 3/1 등입니다. 편지도 마찬가지다. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 등 그런 다음 우리는 모든 규칙에 따라 이러한 분수를 사용합니다.

음, 분수의 덧셈과 뺄셈에 대한 지식이 새로워졌습니다. 한 유형에서 다른 유형으로 분수를 변환하는 작업이 반복되었습니다. 점검도 받으실 수 있습니다. 좀 정리할까?)

계산하다:

답변(혼란):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

분수의 곱셈/나눗셈 - 다음 강의에서 다루겠습니다. 분수를 사용한 모든 연산에 대한 작업도 있습니다.

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