괄호 앞에 오는 괄호를 여는 방법 간단한 선형 방정식 풀기
괄호 확장은 표현식 변환의 한 유형입니다. 이 섹션에서는 괄호를 여는 규칙을 설명하고 가장 일반적인 문제의 예도 살펴보겠습니다.
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여는 괄호란 무엇입니까?
괄호는 숫자, 리터럴 및 변수 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 나타내는 데 사용됩니다. 대괄호가 있는 표현식에서 대괄호가 없는 동일하게 동일한 표현식으로 이동하는 것이 편리합니다. 예를 들어, 표현식 2 · (3 + 4)를 다음 형식의 표현식으로 바꿉니다. 2 3 + 2 4괄호 없이. 이 기술을 여는 괄호라고 합니다.
정의 1
확장 괄호는 괄호를 제거하는 기술을 의미하며 일반적으로 다음을 포함할 수 있는 표현식과 관련하여 고려됩니다.
- 합이나 차이를 포함하는 괄호 앞에 "+" 또는 "-"를 표시합니다.
- 숫자, 문자 또는 여러 문자와 합계 또는 차이의 곱으로 괄호 안에 표시됩니다.
이것이 우리가 학교 커리큘럼에서 괄호를 여는 과정을 보는 데 익숙한 방법입니다. 그러나 누구도 우리가 이 조치를 더 광범위하게 보는 것을 막지 않습니다. 괄호 안에 음수가 포함된 표현식에서 괄호가 없는 표현식으로의 전환을 여는 괄호를 호출할 수 있습니다. 예를 들어, 5 + (− 3) − (− 7)에서 5 − 3 + 7로 갈 수 있습니다. 사실, 이것은 또한 괄호의 여는 것이기도 합니다.
같은 방식으로 (a + b) · (c + d) 형식의 괄호 안에 있는 표현식의 곱을 a · c + a · d + b · c + b · d의 합계로 바꿀 수 있습니다. 이 기술은 또한 괄호를 여는 의미와 모순되지 않습니다.
또 다른 예가 있습니다. 표현식에서는 숫자와 변수 대신 어떤 표현식이라도 사용할 수 있다고 가정할 수 있습니다. 예를 들어, x 2 · 1 a - x + sin (b) 표현식은 x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) 형식의 괄호가 없는 표현식에 해당합니다.
대진표를 열 때 기록 결정의 특성과 관련하여 한 가지 더 특별한 주의가 필요합니다. 대괄호를 사용하여 초기 표현식과 대괄호를 연 후 얻은 결과를 동등하게 작성할 수 있습니다. 예를 들어 표현식 대신 괄호를 확장한 후 3 − (5 − 7) 우리는 표현을 얻습니다 3 − 5 + 7 . 우리는 이 두 표현을 모두 등식 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7로 쓸 수 있습니다.
번거로운 표현으로 작업을 수행하려면 중간 결과를 기록해야 할 수도 있습니다. 그러면 해결책은 평등 사슬의 형태를 갖게 될 것입니다. 예를 들어, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 또는 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
괄호 여는 규칙, 예
괄호 여는 규칙을 살펴보겠습니다.
괄호 안의 단일 숫자의 경우
괄호 안의 음수는 표현식에서 자주 발견됩니다. 예를 들어 (− 4) 및 3 + (− 4) 입니다. 괄호 안의 양수에도 위치가 있습니다.
단일 양수를 포함하는 괄호를 여는 규칙을 공식화해 보겠습니다. a가 임의의 양수라고 가정해 봅시다. 그러면 (a)를 a로, + (a)를 + a로, - (a)를 – a로 바꿀 수 있습니다. a 대신 특정 숫자를 사용하면 규칙에 따라 숫자 (5)는 다음과 같이 작성됩니다. 5 , 괄호가 없는 표현식 3 + (5)는 다음과 같은 형식을 취합니다. 3 + 5 , + (5)는 다음으로 대체되므로 + 5 , 표현식 3 + (− 5)는 다음 표현식과 동일합니다. 3 − 5 , 왜냐하면 + (− 5) 로 대체됩니다 − 5 .
양수는 일반적으로 괄호를 사용하지 않고 작성됩니다. 이 경우 괄호가 필요하지 않기 때문입니다.
이제 단일 음수가 포함된 괄호를 여는 규칙을 고려해보세요. + (− a)우리는 - a, − (− a)는 + a로 대체됩니다. 표현식이 음수로 시작하는 경우 (− a), 괄호 안에 쓰여지면 괄호는 생략되고 대신 (− a)유적 - a.
여기 몇 가지 예가 있어요. (− 5)는 − 5로 쓸 수 있습니다. (− 3) + 0, 5는 − 3 + 0, 5, 4 + (− 3)이 됩니다. 4 − 3 , 그리고 − (− 4) − (− 3) 괄호를 연 후 − (− 4) 및 − (− 3)이므로 4 + 3 형식을 취합니다. + 4 및 + 3 으로 대체됩니다.
3·(− 5)라는 표현은 3·− 5로 쓸 수 없다는 점을 이해해야 한다. 이에 대해서는 다음 단락에서 논의할 것입니다.
괄호를 여는 규칙의 기반이 무엇인지 살펴 보겠습니다.
규칙에 따르면, 차이 a − b는 a + (− b)와 같습니다. 숫자가 있는 동작의 속성을 기반으로 평등의 사슬을 만들 수 있습니다. (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a그것은 공평할 것이다. 이 등식 사슬은 뺄셈의 의미로 인해 a + (− b) 표현이 차이임을 증명합니다. a - b.
반대 숫자의 속성과 음수 뺄셈 규칙을 기반으로 − (− a) = a, a − (− b) = a + b라고 말할 수 있습니다.
숫자, 빼기 기호 및 여러 쌍의 괄호로 구성된 표현식이 있습니다. 위의 규칙을 사용하면 내부 괄호에서 외부 괄호로 또는 반대 방향으로 이동하면서 순차적으로 괄호를 제거할 수 있습니다. 그러한 표현의 예는 − (− ((− (5)))) 입니다. 괄호를 열어서 안쪽에서 바깥쪽으로 이동해 보겠습니다. − (− ((− (5))))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . 이 예는 반대 방향으로도 분석될 수 있습니다. − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
아래에 ㅏ b는 숫자뿐만 아니라 합이나 차이가 아닌 "+" 기호가 앞에 붙은 임의의 숫자 또는 알파벳 표현으로도 이해될 수 있습니다. 이 모든 경우에 괄호 안의 단일 숫자에 대해 했던 것과 동일한 방식으로 규칙을 적용할 수 있습니다.
예를 들어, 괄호를 연 후 표현식은 다음과 같습니다. − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z 형식을 취합니다. 우리는 어떻게 했나요? 우리는 − (− 2 x)가 + 2 x라는 것을 알고 있으며, 이 식이 먼저 나오므로 + 2 x는 2 x로 쓸 수 있습니다. − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x 및 − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
두 숫자의 제품에서
두 숫자의 곱에서 괄호를 여는 규칙부터 시작하겠습니다.
그런 척하자 ㅏ b는 두 개의 양수입니다. 이 경우 두 음수의 곱은 - a그리고 (− a) · (− b) 형식의 − b는 (a · b)로 대체할 수 있으며, (− a) · b 및 a · (− b) 형식의 반대 부호를 갖는 두 숫자의 곱입니다. 로 대체될 수 있다 (− a b). 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스가 되고, 플러스에 마이너스를 곱하면 마이너스가 되는 것과 마찬가지로 마이너스에 플러스를 곱하면 마이너스가 됩니다.
서면 규칙의 첫 번째 부분의 정확성은 음수 곱셈 규칙에 의해 확인됩니다. 규칙의 두 번째 부분을 확인하기 위해 숫자에 다른 부호를 곱하는 규칙을 사용할 수 있습니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
(- 2) · - 4 3 5 형식의 두 음수(4 3 5와 - 2)의 곱으로 괄호를 여는 알고리즘을 고려해 보겠습니다. 이렇게 하려면 원래 표현식을 2 · 4 3 5 로 바꾸십시오. 괄호를 열어 2 · 4 3 5 를 구해 봅시다.
그리고 음수 (− 4) : (− 2)의 몫을 취하면 괄호를 연 후 항목은 4 : 2처럼 보입니다.
음수 대신 - a그리고 − b는 합계나 차이가 아닌 마이너스 기호가 앞에 있는 모든 표현식일 수 있습니다. 예를 들어, 곱, 몫, 분수, 거듭제곱, 근, 로그, 삼각 함수 등이 될 수 있습니다.
- 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) 표현식에서 괄호를 열어 보겠습니다. 규칙에 따라 다음과 같은 변환을 할 수 있습니다: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
표현 (− 3) 2(− 3 2) 식으로 변환할 수 있습니다. 그런 다음 대괄호를 확장할 수 있습니다. - 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
다른 부호로 숫자를 나누려면 괄호를 미리 확장해야 할 수도 있습니다. (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 및 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
이 규칙을 사용하면 부호가 다른 표현식의 곱셈과 나눗셈을 수행할 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
죄(x)(- x 2) = (- 죄(x) x 2) = - 죄(x) x 2
3개 이상의 숫자로 구성된 제품의 경우
더 많은 숫자를 포함하는 곱과 몫으로 넘어가겠습니다. 괄호를 열려면 여기에 다음 규칙이 적용됩니다. 음수가 짝수인 경우 괄호를 생략하고 반대 숫자로 바꿀 수 있습니다. 그런 다음 결과 표현식을 새 대괄호로 묶어야 합니다. 음수가 홀수인 경우 괄호를 생략하고 반대 숫자로 대체합니다. 그런 다음 결과 표현식을 새 괄호 안에 넣고 그 앞에 빼기 기호를 배치해야 합니다.
실시예 2
예를 들어, 세 숫자의 곱인 5 · (− 3) · (− 2) 표현식을 사용하십시오. 두 개의 음수가 있으므로 다음과 같이 표현식을 쓸 수 있습니다. (5 · 3 · 2) 그런 다음 마지막으로 괄호를 열면 5 · 3 · 2라는 표현을 얻습니다.
곱에서 (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) 다섯 개의 숫자는 음수입니다. 그러므로 (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . 마침내 괄호를 열면, -2.5 3:2 4:1.25:1.
위의 규칙은 다음과 같이 정당화될 수 있습니다. 첫째, 나눗셈과 곱셈을 역수로 대체하여 이러한 표현식을 곱으로 다시 작성할 수 있습니다. 우리는 각 음수를 곱셈의 곱으로 표현하고 - 1 또는 - 1을 다음으로 대체합니다. (− 1).
곱셈의 교환 특성을 사용하여 인수를 교환하고 모든 인수를 다음과 같이 옮깁니다. − 1 , 표현식의 시작 부분까지. 짝수에서 1을 뺀 값은 1이고, 홀수를 곱한 값은 1입니다. − 1 , 빼기 기호를 사용할 수 있습니다.
규칙을 사용하지 않은 경우 - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 표현식에서 괄호를 여는 일련의 작업은 다음과 같습니다.
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
위의 규칙은 합이나 차이가 아닌 빼기 기호가 있는 곱과 몫을 나타내는 표현식에서 괄호를 열 때 사용할 수 있습니다. 예를 들어 표현을 들어보자.
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
괄호 없는 표현 x2·x:1x·x-3:2로 축소할 수 있다.
+ 기호 앞에 오는 확장 괄호
앞에 더하기 기호가 있는 괄호를 확장하는 데 적용할 수 있는 규칙을 생각해 보세요. 해당 괄호의 "내용"은 숫자나 표현식으로 곱하거나 나누어지지 않습니다.
규칙에 따라 괄호와 그 앞의 기호는 생략되고 괄호 안의 모든 용어의 기호는 유지됩니다. 괄호 안의 첫 번째 용어 앞에 기호가 없으면 더하기 기호를 넣어야 합니다.
실시예 3
예를 들어, 우리는 표현을 제공합니다 (12 − 3 , 5) − 7 . 괄호를 생략함으로써 괄호 안의 용어 기호를 유지하고 첫 번째 용어 앞에 더하기 기호를 넣습니다. 항목은 (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7과 같습니다. 주어진 예에서는 + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7이므로 첫 번째 항 앞에 기호를 배치할 필요가 없습니다.
실시예 4
또 다른 예를 살펴보겠습니다. x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x라는 표현을 취하고 x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x로 작업을 수행해 보겠습니다. + 2a - 3x2 + 1 - x 2 - 4 + 1x
다음은 괄호 확장의 또 다른 예입니다.
실시예 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
빼기 기호 앞에 있는 괄호는 어떻게 확장되나요?
괄호 앞에 빼기 기호가 있고 어떤 숫자나 표현식도 곱하거나 나누지 않는 경우를 생각해 봅시다. "-" 기호가 앞에 오는 괄호를 여는 규칙에 따라 "-" 기호가 있는 괄호는 생략되고, 괄호 안의 모든 용어의 부호는 반전됩니다.
실시예 6
예:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
변수가 있는 표현식은 동일한 규칙을 사용하여 변환될 수 있습니다.
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
우리는 x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 를 얻습니다.
숫자에 괄호를 곱할 때 여는 괄호, 괄호로 표현
여기에서는 어떤 숫자나 표현식을 곱하거나 나누는 괄호를 확장해야 하는 경우를 살펴보겠습니다. (a 1 ± a 2 ± … ± an n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± an b) 형식의 공식 또는 b · (a 1 ± a 2 ± … ± an n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · an), 어디 1 , 2 , … , n b는 숫자나 표현입니다.
실시예 7
예를 들어 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다. (3 – 7) 2. 규칙에 따라 다음과 같은 변환을 수행할 수 있습니다: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . 우리는 3 · 2 − 7 · 2 를 얻습니다.
3 x 2 1 - x + 1 x + 2 표현식에서 괄호를 열면 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2가 됩니다.
괄호와 괄호의 곱셈
(a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) 형식의 두 괄호의 곱을 생각해 보세요. 이는 대괄호별 곱셈을 수행할 때 괄호를 여는 규칙을 얻는 데 도움이 됩니다.
주어진 예를 해결하기 위해 다음 표현을 나타냅니다. (b1 + b2) b처럼. 이를 통해 괄호에 표현식을 곱하는 규칙을 사용할 수 있습니다. 우리는 (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b를 얻습니다. 역교체를 수행하여 비(b 1 + b 2)에 의해 식에 대괄호를 곱하는 규칙을 다시 적용합니다. a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1b 1 + a 1b 2) + (a 2b 1 + a 2b 2) = = a 1b 1 + a 1b 2 + a 2b 1 + a 2b 2
여러 가지 간단한 기법 덕분에 첫 번째 괄호의 각 항과 두 번째 괄호의 각 항의 곱의 합을 구할 수 있습니다. 규칙은 대괄호 안의 용어 수에 관계없이 확장될 수 있습니다.
대괄호와 대괄호를 곱하는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 두 합계를 함께 곱하려면 첫 번째 합계의 각 항에 두 번째 합계의 각 항을 곱하고 결과를 더해야 합니다.
수식은 다음과 같습니다.
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + bn) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . +a1bn++a2b1+a2b2+. . . + 2bn ++ . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
(1 + x) · (x 2 + x + 6) 식에서 괄호를 전개해 보겠습니다. 두 합의 곱입니다. 해를 써봅시다: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
더하기 기호와 함께 괄호 안에 빼기 기호가 있는 경우를 별도로 언급할 가치가 있습니다. 예를 들어, (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) 표현식을 사용합니다.
먼저 괄호 안의 표현식을 합계로 나타내겠습니다. (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). 이제 규칙을 적용할 수 있습니다: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
괄호를 열어 보겠습니다: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
여러 괄호 및 표현식의 곱에서 괄호 확장
표현식에서 괄호 안에 3개 이상의 표현식이 있는 경우 괄호는 순차적으로 열려야 합니다. 처음 두 요소를 괄호 안에 넣어 변환을 시작해야 합니다. 이러한 괄호 내에서 위에서 설명한 규칙에 따라 변환을 수행할 수 있습니다. 예를 들어 (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) 표현식의 괄호입니다.
표현식에는 세 가지 요소가 동시에 포함되어 있습니다. (2 + 4) , 3 그리고 (5 + 7 8) . 순차적으로 괄호를 열어보겠습니다. 명확성을 위해 빨간색으로 표시한 다른 괄호에 처음 두 요소를 포함해 보겠습니다. (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
괄호에 숫자를 곱하는 규칙에 따라 다음 작업을 수행할 수 있습니다. ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
괄호와 괄호를 곱하세요: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
브라켓 현물
자연 지수를 사용하여 괄호 안에 작성된 일부 표현식을 기반으로 하는 학위는 여러 괄호의 곱으로 간주될 수 있습니다. 또한 이전 두 단락의 규칙에 따라 이러한 괄호 없이도 작성할 수 있습니다.
표현을 변형하는 과정을 고려하십시오. (a + b + c) 2 . 두 개의 괄호의 곱으로 쓸 수 있습니다. (a + b + c) · (a + b + c). 괄호에 괄호를 곱하여 a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c를 얻습니다.
또 다른 예를 살펴보겠습니다.
실시예 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1개 · 2 · 1개 + 2 · 1개 · 1개 + 2 · 2 · 1개 + 1개 · 1개 · 2 + + 1개 2 · 2 + 2 · 1개 · 2 + 2 2 2
괄호를 숫자로 나누고 괄호를 괄호로 나누기
괄호를 숫자로 나누려면 괄호 안의 모든 용어를 숫자로 나누어야 합니다. 예를 들어 (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 입니다.
나눗셈은 먼저 곱셈으로 대체될 수 있으며, 그 후에 곱셈에서 괄호를 여는 데 적절한 규칙을 사용할 수 있습니다. 괄호를 괄호로 나눌 때도 동일한 규칙이 적용됩니다.
예를 들어, (x + 2) : 2 3 표현식에서 괄호를 열어야 합니다. 이렇게 하려면 먼저 역수 (x + 2)를 곱하여 나눗셈을 대체합니다. 2 3 = (x + 2) · 2 3. 괄호에 숫자 (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 을 곱합니다.
다음은 괄호로 나누는 또 다른 예입니다.
실시예 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
나눗셈을 곱셈으로 바꾸겠습니다: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
곱셈을 해보자: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2.
여는 괄호의 순서
이제 위에서 설명한 규칙을 일반 표현식에 적용하는 순서를 고려해 보겠습니다. 차이가 있는 합계, 몫이 있는 곱, 자연 수준의 괄호를 포함하는 표현식에서.
절차:
- 첫 번째 단계는 브래킷을 자연적인 힘으로 높이는 것입니다.
- 두 번째 단계에서는 작품과 몫의 괄호 열기가 수행됩니다.
- 마지막 단계는 합계와 차이에서 괄호를 여는 것입니다.
(− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) 표현식의 예를 사용하여 동작 순서를 고려해 봅시다. 3 · (− 2) : (− 4) 및 6 · (− 7) 표현식을 변환해 보겠습니다. 이는 다음 형식을 취해야 합니다. (32:4)그리고 (− 6 · 7) . 얻은 결과를 원래 표현식에 대입하면 다음과 같이 됩니다. (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . 괄호를 엽니다: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
괄호 안에 괄호가 포함된 표현식을 다룰 때는 안에서 바깥쪽으로 변환을 수행하는 것이 편리합니다.
텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
괄호는 숫자, 리터럴 및 변수 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 나타내는 데 사용됩니다. 대괄호가 있는 표현식에서 대괄호가 없는 동일하게 동일한 표현식으로 이동하는 것이 편리합니다. 이 기술을 여는 괄호라고 합니다.
괄호 확장은 표현식에서 괄호를 제거하는 것을 의미합니다.
대진표를 열 때 기록 결정의 특성과 관련하여 한 가지 더 특별한 주의가 필요합니다. 대괄호를 사용하여 초기 표현식과 대괄호를 연 후 얻은 결과를 동등하게 작성할 수 있습니다. 예를 들어 표현식 대신 괄호를 확장한 후
3−(5−7) 우리는 3−5+7이라는 표현을 얻습니다. 우리는 이 두 표현을 모두 3−(5−7)=3−5+7 등식으로 쓸 수 있습니다.
그리고 또 하나의 중요한 점. 수학에서는 표기법을 단축하기 위해 더하기 기호가 표현식이나 괄호 안에 먼저 나타나면 쓰지 않는 것이 관례입니다. 예를 들어, 7과 3과 같은 두 개의 양수를 더하면 7도 양수라는 사실에도 불구하고 +7+3이 아니라 단순히 7+3이라고 씁니다. 마찬가지로, 예를 들어 (5+x)라는 표현을 보면 대괄호 앞에는 기록되지 않은 플러스가 있고 5 앞에는 플러스 +(+5+x)가 있다는 것을 알 수 있습니다.
덧셈 시 괄호 여는 규칙
괄호를 열 때 괄호 앞에 플러스가 있으면 이 플러스는 괄호와 함께 생략됩니다.
예. 2 + (7 + 3) 표현식에서 괄호를 엽니다. 괄호 앞에 플러스가 있는데, 이는 괄호 안의 숫자 앞의 기호를 변경하지 않는다는 의미입니다.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
뺄셈 시 괄호 여는 규칙
괄호 앞에 마이너스가 있는 경우 이 마이너스는 괄호와 함께 생략되지만 괄호 안에 있는 용어는 부호를 반대 방향으로 변경합니다. 괄호 안의 첫 번째 용어 앞에 기호가 없으면 + 기호를 의미합니다.
예. 표현식 2 − (7 + 3)에서 괄호를 확장합니다.
괄호 앞에 마이너스가 있는데, 이는 괄호 안의 숫자 앞에 있는 기호를 변경해야 함을 의미합니다. 괄호 안의 숫자 7 앞에는 기호가 없습니다. 이는 7이 양수임을 의미하며, 그 앞에 + 기호가 있는 것으로 간주됩니다.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
대괄호를 열 때 대괄호 앞에 있던 마이너스와 대괄호 자체 2 − (+ 7 + 3)를 제거하고 대괄호 안에 있던 기호를 반대 기호로 변경합니다.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
곱셈 시 괄호 확장
괄호 앞에 곱셈 기호가 있으면 괄호 안의 각 숫자에 괄호 앞의 인수를 곱합니다. 이 경우 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스가 되고, 플러스에 마이너스를 곱하듯이 마이너스에 플러스를 곱하면 마이너스가 됩니다.
따라서 곱셈의 분배 법칙에 따라 곱의 괄호가 확장됩니다.
예. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
대괄호에 대괄호를 곱하면 첫 번째 대괄호의 각 항에 두 번째 대괄호의 각 항이 곱해집니다.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
사실, 모든 규칙을 기억할 필요는 없으며 c(a−b)=ca−cb 하나만 기억하면 충분합니다. 왜? 왜냐하면 c 대신에 1을 대입하면 (a−b)=a−b라는 규칙을 얻게 되기 때문입니다. 그리고 마이너스 1을 대입하면 −(a−b)=−a+b 규칙을 얻게 됩니다. 글쎄, c 대신에 다른 괄호를 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.
나눌 때 괄호 열기
괄호 뒤에 나눗셈 기호가 있는 경우 괄호 안의 각 숫자는 괄호 뒤의 제수로 나뉘며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
예. (9 + 6) : 3=9:3 + 6:3
중첩된 괄호를 확장하는 방법
표현식에 중첩된 괄호가 포함된 경우 외부 또는 내부 괄호부터 순서대로 확장됩니다.
이 경우 괄호 중 하나를 열 때 나머지 괄호를 건드리지 말고 그대로 다시 작성하는 것이 중요합니다.
예. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
이 단원에서는 괄호가 포함된 표현식을 괄호가 없는 표현식으로 변환하는 방법을 배웁니다. 더하기 기호와 빼기 기호 앞에 괄호를 여는 방법을 배우게 됩니다. 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 여는 방법을 기억하겠습니다. 고려된 예를 통해 새로운 자료와 이전에 연구한 자료를 하나의 전체로 연결할 수 있습니다.
주제: 방정식 풀기
단원: 괄호 확장
"+" 기호 앞에 있는 괄호를 확장하는 방법입니다. 덧셈의 결합법칙을 사용합니다.
두 숫자의 합을 숫자에 더해야 하는 경우 먼저 이 숫자에 첫 번째 항을 더한 다음 두 번째 항을 더하면 됩니다.
등호 왼쪽은 괄호가 있는 표현식이고, 오른쪽은 괄호가 없는 표현식입니다. 이는 평등의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 괄호가 열리는 현상이 발생했음을 의미합니다.
예를 살펴 보겠습니다.
예시 1. 
괄호를 열어 작업 순서를 변경했습니다. 계산이 더욱 편리해졌습니다.
예시 2. 
예시 3.
세 가지 예 모두에서 단순히 괄호를 제거했습니다. 규칙을 만들어 봅시다:
논평.
괄호 안의 첫 번째 용어가 부호가 없는 경우에는 더하기 기호를 사용하여 작성해야 합니다.
예제를 단계별로 따라해 보세요. 먼저 889에 445를 더합니다. 이 작업은 정신적으로 할 수 있지만 그리 쉽지는 않습니다. 괄호를 열고 변경된 절차로 인해 계산이 크게 단순화되는지 살펴보겠습니다.
표시된 절차를 따르면 먼저 512에서 345를 뺀 다음 결과에 1345를 더해야 합니다. 괄호를 열면 절차가 변경되고 계산이 크게 단순화됩니다.
예와 규칙을 설명합니다.
예를 살펴보겠습니다: . 2와 5를 더한 다음 반대 기호를 사용하여 결과 숫자를 취하여 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 -7을 얻습니다.
반면, 원래 숫자와 반대되는 숫자를 더해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
규칙을 만들어 봅시다:
예시 1. 
예시 2.
괄호 안에 용어가 2개가 아닌 3개 이상 있으면 규칙은 변경되지 않습니다.
예시 3. 
논평. 기호는 용어 앞에서만 반전됩니다.
괄호를 열려면 이 경우 분배 속성을 기억해야 합니다.
먼저 첫 번째 괄호에 2를 곱하고 두 번째 괄호에 3을 곱합니다.
첫 번째 괄호 앞에는 "+" 기호가 있는데, 이는 기호를 변경하지 않고 그대로 두어야 함을 의미합니다. 두 번째 기호 앞에는 "-" 기호가 있으므로 모든 기호를 반대 방향으로 변경해야 합니다.
서지
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 수학 6학년. - 체육관, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에. - 계몽, 1989.
- 루루킨 A.N., 차이코프스키 I.V. 5~6학년 수학 과정 과제 - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. 수학 5-6. MEPHI 통신학교 6학년 학생들을 위한 매뉴얼입니다. - ZSh MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. 수학: 중등학교 5-6학년을 위한 교과서 대담자. 수학선생님 도서관. - 계몽, 1989.
- 수학 온라인 시험 ().
- 1.2항에 명시된 항목을 다운로드할 수 있습니다. 서적().
숙제
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (링크는 1.2 참조)
- 숙제: 1254호, 1255호, 1256호(b, d)
- 기타 업무: 제1258(c)호, 제1248호
이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.
먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?
선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.
가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.
다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.
- 괄호가 있으면 확장하세요.
- 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
- 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
- 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.
물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명되는 경우가 있습니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.
- 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이런 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
- 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.
이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
방정식 풀이의 예
오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.
이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.
- 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
- 그런 다음 비슷한 것을 결합하십시오.
- 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.
그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 비슷한 것을 가져와야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.
또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 하지만 이미 이해하셨듯이 가장 간단한 작업부터 시작하겠습니다.
간단한 선형 방정식을 푸는 방식
먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.
- 대괄호가 있으면 확장합니다.
- 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
- 비슷한 용어를 제시합니다.
- 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.
물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아니며 여기에는 특정 미묘함과 요령이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.
간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기
작업 번호 1
첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 적어 봅시다:
우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나눕니다.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
그래서 우리는 답을 얻었습니다.
작업 번호 2
이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:
다음은 유사한 것들입니다:
이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.
작업 번호 3
세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.
\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]
여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:
우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
수학을 해보자:
마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항
너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.
- 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
- 뿌리가 있더라도 그 중 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.
0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못한 것이라고 가정해서는 안 됩니다.
또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.
이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그런 일을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.
복잡한 선형 방정식 풀기
더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 확실히 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.
예 1
분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.
이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 쓸 것입니다.
\[\varnothing\]
아니면 뿌리가 없습니다.
예 2
우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:
변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.
\[\varnothing\],
아니면 뿌리가 없습니다.
솔루션의 뉘앙스
두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.
그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.
개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 각각 두 개의 용어와 곱셈이 있습니다.
그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.
두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.
물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 너무 많은 변환을 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.
훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기
지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.
작업 번호 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
첫 번째 부분의 모든 요소를 곱해 보겠습니다.
개인정보 보호를 좀 해보자:
다음은 유사한 것들입니다:
마지막 단계를 완료해 보겠습니다.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 풀이 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.
작업 번호 2
\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]
첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.
이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.
"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
비슷한 용어는 다음과 같습니다.
다시 한번 최종 답변을 받았습니다.
솔루션의 뉘앙스
이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.
대수합에 대하여
이 마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.
모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구조가 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.
마지막으로 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.
분수로 방정식 풀기
이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.
이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 분수를 제거하십시오.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.
예 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 적어보자:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
이제 확장해 보겠습니다.
변수를 격리합니다.
유사한 용어의 축소를 수행합니다.
\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
예 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
문제가 해결되었습니다.
사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.
키 포인트
주요 결과는 다음과 같습니다.
- 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
- 괄호를 여는 기능.
- 어딘가에 이차 함수가 있더라도 걱정하지 마십시오. 아마도 추가 변환 과정에서 이 함수가 줄어들 것입니다.
- 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있으며, 심지어 가장 단순한 근도 있습니다. 하나의 단일근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.
이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!
기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제논(Zeno of Elea)은 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데, 그 중 가장 유명한 것은 “아킬레스와 거북이” 아포리아입니다. 소리는 다음과 같습니다.아킬레스가 거북이보다 10배 더 빨리 달리고 거북이보다 1000보 뒤쳐져 있다고 가정해 보겠습니다. 아킬레스건이 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 아킬레스가 100보를 달리면 거북이는 10보를 더 기어가는 식입니다. 이 과정은 무한히 계속될 것이고, 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.
이 추론은 이후 모든 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 힐베르트... 그들은 모두 어떤 방식으로든 제논의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서" ... 토론은 오늘날까지 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통 의견에 도달하지 못했습니다 ... 문제 연구에 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적, 철학적 접근 방식이 포함되었습니다. ; 그 중 어느 것도 문제에 대해 일반적으로 받아들여지는 해결책이 되지 못했습니다..."[위키피디아, '제노의 아포리아'. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만, 그 속임수가 무엇인지는 누구도 이해하지 못한다.
수학적 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 양에서 로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이러한 전환은 영구적인 전환 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 사용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 우리는 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성으로 인해 상호 가치에 일정한 시간 단위를 적용합니다. 물리적인 관점에서 볼 때 이것은 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간 완전히 멈출 때까지 시간이 느려지는 것처럼 보입니다. 시간이 멈춘다면 아킬레스는 더 이상 거북이를 앞지르지 못합니다.
일반적인 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달린다. 그의 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 경로보다 10배 더 짧습니다. 따라서 이를 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10분의 1로 줄어듭니다. 이런 상황에 '무한대' 개념을 적용하면 '아킬레우스는 무한히 빠르게 거북이를 따라잡을 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 역수 단위로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어에서는 다음과 같습니다.
아킬레스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 1000보를 더 달리고 거북이는 100보를 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적인 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것이 문제의 완전한 해결책은 아닙니다. 빛의 속도의 저항 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 여전히 이 문제를 연구하고, 다시 생각하고, 해결해야 합니다. 그리고 그 해는 무한히 큰 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 이야기합니다.
날아가는 화살은 매 순간 정지해 있고 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문에 움직이지 않습니다.
이 아포리아에서는 논리적 역설이 매우 간단하게 극복됩니다. 날아가는 화살이 매 순간 공간의 다른 지점에 정지해 있다는 사실, 즉 실제로 운동이라는 점을 명확히 하는 것만으로도 충분합니다. 여기서 또 다른 점에 주목해야 합니다. 도로 위의 자동차 사진 한 장만으로는 자동차의 움직임 사실이나 자동차까지의 거리를 판단하는 것이 불가능합니다. 자동차가 움직이는지 확인하려면 서로 다른 시점에서 같은 지점에서 촬영한 두 장의 사진이 필요하지만 두 장의 사진 사이의 거리를 확인할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 한 시점에 공간의 서로 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그 사진에서는 이동 사실을 확인할 수 없습니다. 물론 계산을 위해 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다. ). 제가 특별히 주목하고 싶은 점은 시간의 두 지점과 공간의 두 지점은 서로 다른 연구 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 된다는 점입니다.
2018년 7월 4일 수요일
집합과 다중 집합의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 어디 보자.
보시다시피 "한 세트에 두 개의 동일한 요소가 있을 수 없습니다." 그러나 한 세트에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중 집합"이라고 합니다. 이성적인 존재들은 이런 터무니없는 논리를 결코 이해하지 못할 것이다. 완전히'라는 단어부터 지능이 없는 말하는 앵무새와 훈련된 원숭이의 수준이다. 수학자들은 평범한 훈련자처럼 행동하며 그들의 터무니없는 생각을 우리에게 설교합니다.
옛날 옛적에 다리를 건설한 기술자들이 다리를 테스트하는 동안 다리 아래에서 보트를 타고 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 엔지니어는 자신이 만든 잔해 속에서 죽었습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어는 다른 다리를 건설했습니다.
수학자들이 "나 집에 있어요"라는 문구 뒤에 숨어 있거나 오히려 "수학은 추상 개념을 연구합니다"라는 문구 뒤에 숨어 있더라도 현실과 뗄래야 뗄 수 없게 연결하는 하나의 탯줄이 있습니다. 이 탯줄은 돈이다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보겠습니다.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 계산대에 앉아 급여를 지급하고 있습니다. 그래서 한 수학자가 돈을 찾아 우리에게 왔습니다. 우리는 그에게 전체 금액을 세어 테이블 위에 여러 더미로 쌓아 놓고 같은 액면가의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 청구서를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소가 있는 집합과 동일하지 않다는 것을 증명한 경우에만 나머지 지폐를 받게 될 것이라고 수학자에게 설명하겠습니다. 이것이 재미가 시작되는 곳입니다.
우선, “이것은 다른 사람에게는 적용될 수 있지만 나에게는 적용될 수 없습니다!”라는 대리인의 논리가 작동할 것입니다. 그러면 그들은 같은 액면가의 지폐라도 지폐 번호가 다르기 때문에 동일한 요소로 간주될 수 없다는 사실을 우리에게 확신시키기 시작할 것입니다. 좋아요, 급여를 동전으로 계산해 봅시다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자들은 물리학을 미친 듯이 기억하기 시작할 것입니다. 동전마다 먼지의 양이 다르며, 원자의 결정 구조와 배열은 동전마다 고유합니다.
이제 가장 흥미로운 질문이 생겼습니다. 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 선은 어디에 있습니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 과학은 여기에 거짓말에 가깝지도 않습니다.
이봐. 동일한 경기장 면적을 가진 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 영역은 동일합니다. 이는 다중 집합이 있음을 의미합니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 알 수 있습니다. 보시다시피, 동일한 요소 집합은 집합이자 다중 집합입니다. 어느 것이 맞나요? 그리고 여기서 수학자이자 샤먼인 샤프리스트는 소매에서 나팔 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 관해 우리에게 말하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다고 우리에게 확신시켜 줄 것입니다.
현대 무당이 집합 이론을 어떻게 작동하고 그것을 현실과 연결하는지 이해하려면 한 가지 질문에 대답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다릅니까? "하나의 전체가 아닌 것으로 생각할 수 있다", "하나의 전체로 생각할 수 없는 것" 없이 보여드리겠습니다.
2018년 3월 18일 일요일
숫자의 합은 탬버린을 들고 무당이 추는 춤인데, 이는 수학과는 아무 상관이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 합을 찾아 사용하는 방법을 배웠습니다. 하지만 그렇기 때문에 그들은 무당이고 후손에게 기술과 지혜를 가르치는 것입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 사라질 것입니다.
증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 자릿수 합계" 페이지를 찾아보세요. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 숫자의 합을 구하는 데 사용할 수 있는 공식이 없습니다. 결국 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어에서 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합을 찾으세요." 수학자들은 이 문제를 풀 수 없지만 무당들은 쉽게 풀 수 있습니다.
주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을 어떻게 하는지 알아봅시다. 그러면 숫자 12345가 있다고 가정하겠습니다. 이 숫자의 자릿수 합계를 찾으려면 어떻게 해야 합니까? 모든 단계를 순서대로 고려해 봅시다.
1. 종이에 숫자를 적습니다. 우리는 무엇을 했나요? 숫자를 그래픽 숫자 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
2. 결과 사진 하나를 개별 숫자가 포함된 여러 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 기호를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 추가합니다. 이제 이것은 수학입니다.
12345의 숫자의 합은 15이다. 수학자들이 이용하는 무당이 가르치는 '재단과 재봉 강좌'이다. 그러나 그것이 전부는 아닙니다.
수학적 관점에서 볼 때 어떤 숫자 체계로 숫자를 쓰는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 숫자의 합이 달라집니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 아래 첨자로 표시됩니다. 큰 숫자 12345를 사용하면 내 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려해 보겠습니다. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수, 16진수 체계로 적어 보겠습니다. 우리는 현미경으로 모든 단계를 살펴보지는 않을 것입니다; 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.
보시다시피, 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수 합계가 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 직사각형의 면적을 미터와 센티미터 단위로 결정하면 완전히 다른 결과를 얻을 수 있는 것과 같습니다.
0은 모든 숫자 체계에서 동일하게 보이며 숫자의 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 수학에서 숫자가 아닌 것은 어떻게 지정됩니까? 뭐, 수학자에게는 숫자 외에는 아무것도 존재하지 않는 걸까요? 나는 이것을 무당들에게는 허용할 수 있지만 과학자들에게는 허용하지 않습니다. 현실은 숫자에만 국한되지 않습니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 양의 다른 측정 단위를 사용한 동일한 조치가 비교 후 다른 결과로 이어진다면 이는 수학과 관련이 없습니다.
진짜 수학이란 무엇인가? 이는 수학 연산의 결과가 숫자의 크기, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.
오! 여기 여자 화장실 아닌가요?
- 젊은 여성! 이것은 천국으로 올라가는 동안 영혼의 비애애적인 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 상단에 후광이 있고 위쪽에 화살표가 있습니다. 또 무슨 화장실이요?
암컷... 위쪽의 후광과 아래쪽 화살표는 수컷입니다.
이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈 앞에 번쩍인다면,
그렇다면 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 저는 똥 싸는 사람의 마이너스 4도(사진 1장)(여러 장의 사진 구성: 마이너스 기호, 숫자 4, 각도 지정)를 보려고 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀가 물리학을 모르는 바보라고 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지를 인식하는 것에 대한 강한 고정관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 항상 우리에게 이것을 가르칩니다. 여기에 예가 있습니다.
1A는 "마이너스 4도"나 "1a"가 아닙니다. 이것은 "똥내는 남자" 또는 16진수 표기법으로 "26"이라는 숫자입니다. 이 숫자 체계에서 지속적으로 작업하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
