오늘은 여러분과 함께 함수 그래프를 탐색하고 구축해 보도록 초대합니다. 이 기사를 주의 깊게 연구한 후에는 이러한 유형의 작업을 완료하기 위해 오랫동안 땀을 흘릴 필요가 없습니다. 함수 그래프를 연구하고 구성하는 것은 쉽지 않으며 계산의 최대한의 주의와 정확성이 필요한 방대한 작업입니다. 자료를 더 쉽게 이해할 수 있도록 동일한 기능을 단계별로 학습하고 모든 동작과 계산을 설명합니다. 놀랍고 매혹적인 수학의 세계에 오신 것을 환영합니다! 가다!

도메인

함수를 탐색하고 그래프로 나타내려면 몇 가지 정의를 알아야 합니다. 함수는 수학의 주요 (기본) 개념 중 하나입니다. 이는 변경 중 여러 변수(2개, 3개 또는 그 이상) 간의 종속성을 반영합니다. 이 함수는 또한 집합의 종속성을 보여줍니다.

특정 범위의 변화를 갖는 두 개의 변수가 있다고 상상해보십시오. 따라서 두 번째 변수의 각 값이 두 번째 변수의 하나의 값에 해당하는 경우 y는 x의 함수입니다. 이 경우 변수 y는 종속적이며 이를 함수라고 합니다. 변수 x와 y가 다음과 같다고 말하는 것이 관례입니다. 이러한 종속성을 더욱 명확하게 하기 위해 함수 그래프가 작성됩니다. 함수 그래프란 무엇인가? 이는 좌표 평면의 점 집합으로, 각 x 값은 하나의 y 값에 해당합니다. 그래프는 직선, 쌍곡선, 포물선, 사인파 등 다양할 수 있습니다.

연구 없이 함수를 그래프로 그리는 것은 불가능합니다. 오늘 우리는 조사를 수행하고 함수 그래프를 작성하는 방법을 배웁니다. 공부하는 동안 메모를 하는 것은 매우 중요합니다. 이렇게 하면 작업을 훨씬 더 쉽게 처리할 수 있습니다. 가장 편리한 연구 계획:

1. 도메인.
2. 연속성.
3. 짝수 또는 홀수.
4. 주기성.
5. 점근선.
6. 0.
7. 일관성을 유지하십시오.
8. 증가 및 감소.
9. 과격한 수단.
10. 볼록함과 오목함.

첫 번째 요점부터 시작해 보겠습니다. 정의 영역, 즉 함수가 존재하는 간격을 찾아봅시다: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). 우리의 경우 x의 모든 값에 대해 함수가 존재합니다. 즉, 정의 영역은 R과 같습니다. 이는 다음과 같이 xÎR로 작성할 수 있습니다.

연속성

이제 불연속 함수를 살펴보겠습니다. 수학에서 "연속성"이라는 용어는 운동 법칙에 대한 연구의 결과로 나타났습니다. 무한이란 무엇입니까? 공간, 시간, 일부 종속성(예: 이동 문제에서 변수 S와 t의 종속성), 가열된 물체(물, 프라이팬, 온도계 등)의 온도, 연속선(즉, 시트 연필에서 떼지 않고도 그릴 수 있습니다.)

그래프는 어떤 지점에서 깨지지 않으면 연속적인 것으로 간주됩니다. 이러한 그래프의 가장 확실한 예 중 하나는 이 섹션의 그림에서 볼 수 있는 정현파입니다. 여러 조건이 충족되면 함수는 x0 지점에서 연속입니다.

• 함수는 주어진 지점에서 정의됩니다.
• 한 점의 오른쪽 한계와 왼쪽 한계는 동일합니다.
• 한계는 x0 지점의 함수 값과 같습니다.

하나 이상의 조건이 충족되지 않으면 함수가 실패한다고 합니다. 그리고 함수가 중단되는 지점을 일반적으로 중단점이라고 합니다. 그래픽으로 표시할 때 "중단"되는 함수의 예는 다음과 같습니다: y=(x+4)/(x-3). 게다가 x = 3인 지점에서는 y가 존재하지 않습니다(0으로 나누는 것이 불가능하기 때문입니다).

우리가 연구하고 있는 함수(y=1/3(x^3-14x^2+49x-36))에서는 그래프가 연속이므로 모든 것이 단순하다는 것이 밝혀졌습니다.

홀수

이제 함수의 패리티를 검사합니다. 첫째, 약간의 이론입니다. 짝수 함수는 (값 범위에서) 변수 x의 모든 값에 대해 조건 f(-x)=f(x)를 충족하는 함수입니다. 예는 다음과 같습니다:

• 모듈 x(그래프는 그래프의 1/4과 2/4의 이등분선인 daw처럼 보입니다);
• x 제곱(포물선);
• 코사인 x (코사인).

이 그래프는 모두 y축(즉, y축)을 기준으로 대칭을 이루고 있습니다.

그렇다면 홀수 함수(odd function)라고 불리는 것은 무엇입니까? 이는 변수 x의 값에 대해 f(-x)=-f(x)라는 조건을 충족하는 함수입니다. 예:

• 쌍곡선;
• 3차 포물선;
• 정현파;
• 접선 등등.

참고로 이 함수들은 점(0:0), 즉 원점을 기준으로 대칭입니다. 기사의 이 섹션에서 설명한 내용을 바탕으로 짝수 함수와 홀수 함수에는 다음 속성이 있어야 합니다. x는 정의 집합에 속하고 -x도 마찬가지입니다.

패리티에 대한 함수를 살펴보겠습니다. 우리는 그녀가 어떤 설명에도 맞지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 우리의 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

점근선

정의부터 시작해 보겠습니다. 점근선은 그래프에 최대한 가까운 곡선, 즉 특정 지점으로부터의 거리가 0이 되는 경향이 있는 곡선입니다. 총 3가지 유형의 점근선이 있습니다:

• 수직, 즉 y축에 평행합니다.
• 수평, 즉 x축에 평행합니다.
• 경향이 있습니다.

첫 번째 유형의 경우 일부 지점에서 다음 줄을 찾아야 합니다.

• 갭;
• 정의 영역의 끝.

우리의 경우, 함수는 연속적이고 정의 영역은 R과 같습니다. 결과적으로 수직 점근선은 없습니다.

함수의 그래프에는 다음 요구 사항을 충족하는 수평 점근선이 있습니다. x가 무한대 또는 마이너스 무한대에 가까워지고 극한이 특정 숫자(예: a)와 같은 경우. 이 경우 y=a는 수평 점근선입니다. 우리가 연구하고 있는 함수에는 수평 점근선이 없습니다.

경사 점근선은 두 가지 조건이 충족되는 경우에만 존재합니다.

• lim(f(x))/x=k;
• 림 f(x)-kx=b.

그런 다음 y=kx+b 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 다시 말하지만, 우리의 경우에는 경사 점근선이 없습니다.

기능 0

다음 단계는 0에 대한 함수 그래프를 조사하는 것입니다. 함수의 0을 찾는 것과 관련된 작업은 함수 그래프를 연구하고 구성할 때뿐만 아니라 독립적인 작업 및 부등식을 해결하는 방법으로도 발생한다는 점에 유의하는 것도 매우 중요합니다. 그래프에서 함수의 0을 찾거나 수학적 표기법을 사용해야 할 수도 있습니다.

이 값을 찾으면 함수를 더 정확하게 그래프로 표시하는 데 도움이 됩니다. 간단히 말해서 함수의 0은 y = 0인 변수 x의 값입니다. 그래프에서 함수의 영점을 찾으려면 그래프가 x축과 교차하는 지점에 주의를 기울여야 합니다.

함수의 영점을 찾으려면 다음 방정식을 풀어야 합니다: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. 필요한 계산을 수행한 후 다음과 같은 답을 얻습니다.

부호 불변성

함수(그래프) 연구 및 구성의 다음 단계는 상수 부호의 간격을 찾는 것입니다. 이는 함수가 양수 값을 취하는 간격과 음수 값을 취하는 간격을 결정해야 함을 의미합니다. 마지막 섹션에 있는 zero 함수가 이를 수행하는 데 도움이 될 것입니다. 따라서 (그래프와 별개로) 직선을 만들고 이를 따라 함수의 0을 가장 작은 것부터 가장 큰 것까지 올바른 순서로 배포해야 합니다. 이제 결과 간격 중 "+" 기호가 있는 간격과 "-" 기호가 있는 간격을 결정해야 합니다.

우리의 경우 함수는 간격에 대해 양수 값을 취합니다.

• 1부터 4까지;
• 9부터 무한대까지.

부정적인 의미:

• 마이너스 무한대에서 1까지;
• 4시부터 9시까지.

이것은 결정하기 매우 쉽습니다. 간격의 임의의 숫자를 함수에 대입하고 답에 어떤 부호(마이너스 또는 플러스)가 있는지 확인합니다.

증가 및 감소 기능

함수를 탐색하고 구성하려면 그래프가 어디에서 증가할지(Oy축을 따라 위로 이동), 어디에서 떨어질지(y축을 따라 아래로 이동)를 알아야 합니다.

변수 x의 더 큰 값이 더 큰 y 값에 해당하는 경우에만 함수가 증가합니다. 즉, x2는 x1보다 크고, f(x2)는 f(x1)보다 큽니다. 그리고 우리는 함수가 감소하는(x가 많을수록 y가 작아지는) 완전히 반대되는 현상을 관찰합니다. 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야 합니다.

• 정의 영역(이미 가지고 있음)
• 미분(이 경우: 1/3(3x^2-28x+49));
• 방정식 1/3(3x^2-28x+49)=0을 풀어보세요.

계산 후 결과를 얻습니다.

우리는 다음을 얻습니다: 함수는 마이너스 무한대에서 7/3까지, 7에서 무한대까지 간격에 따라 증가하고 7/3에서 7까지 간격에 따라 감소합니다.

과격한 수단

연구 중인 함수 y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)은 연속형이며 변수 x의 모든 값에 대해 존재합니다. 극점은 주어진 함수의 최대값과 최소값을 나타냅니다. 우리의 경우에는 아무것도 없기 때문에 건설 작업이 크게 단순화됩니다. 그렇지 않으면 미분 함수를 사용하여 찾을 수도 있습니다. 발견한 후에는 차트에 표시하는 것을 잊지 마십시오.

볼록함과 오목함

우리는 함수 y(x)를 계속해서 더 탐구합니다. 이제 볼록함과 오목함을 확인해야 합니다. 이러한 개념의 정의는 이해하기가 매우 어려우므로 예를 사용하여 모든 것을 분석하는 것이 좋습니다. 테스트의 경우: 함수가 감소하지 않는 함수인 경우 함수는 볼록합니다. 동의합니다. 이것은 이해할 수 없습니다!

우리는 2차 함수의 미분을 찾아야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다: y=1/3(6x-28). 이제 우변을 0으로 동일시하고 방정식을 풀어보겠습니다. 답: x=14/3. 변곡점, 즉 그래프가 볼록한 모양에서 오목한 모양으로 또는 그 반대로 바뀌는 지점을 찾았습니다. 음의 무한대에서 14/3까지의 구간에서 함수는 볼록형이고, 14/3에서 양의 무한대까지의 함수는 오목형입니다. 그래프의 변곡점은 매끄럽고 부드러워야 하며, 날카로운 모서리가 없어야 한다는 점에 유의하는 것도 매우 중요합니다.

추가 포인트 정의

우리의 임무는 함수의 그래프를 조사하고 구성하는 것입니다. 우리는 연구를 완료했으며 이제 함수 그래프를 구성하는 것이 어렵지 않습니다. 좌표평면의 곡선이나 직선을 보다 정확하고 세밀하게 재현하기 위해 여러 보조점을 찾을 수 있습니다. 계산하기가 매우 쉽습니다. 예를 들어 x=3을 취하고 결과 방정식을 풀어 y=4를 찾습니다. 또는 x=5이고 y=-5 등입니다. 건설에 필요한만큼 추가 포인트를 얻을 수 있습니다. 적어도 3-5개는 발견됩니다.

그래프 그리기

우리는 (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y 함수를 조사해야 했습니다. 계산 중에 필요한 모든 표시는 좌표 평면에 만들어졌습니다. 남은 일은 그래프를 만드는 것, 즉 모든 점을 연결하는 것입니다. 점들을 연결하는 것은 부드럽고 정확해야 합니다. 이것은 기술의 문제입니다. 조금만 연습하면 일정이 완벽해질 것입니다.

함수를 연구하고 그래프를 작성하는 방법은 무엇입니까?

55권의 전집을 집필한 세계 프롤레타리아트의 지도자, 영적으로 통찰력 있는 얼굴을 이제야 이해하기 시작한 것 같습니다. 긴 여정은 다음과 같은 기본 정보로 시작되었습니다. 함수와 그래프, 이제 노동 집약적 주제에 대한 작업이 논리적 결과로 끝납니다. 기사 기능에 대한 완전한 연구에 대해. 오랫동안 기다려온 작업은 다음과 같이 공식화됩니다.

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 작성합니다.

간단히 말해서 함수를 검사하고 그래프를 작성하는 것입니다.

탐험하는 이유는 무엇입니까?간단한 경우에는 기본 기능을 이해하고 다음을 사용하여 얻은 그래프를 그리는 것이 어렵지 않습니다. 기본 기하학적 변환등등. 그러나 더 복잡한 기능의 속성과 그래픽 표현은 명확하지 않으므로 전체 연구가 필요합니다.

솔루션의 주요 단계는 참고 자료에 요약되어 있습니다. 기능 연구 계획, 이 섹션에 대한 안내입니다. 입문자에게는 주제에 대한 단계별 설명이 필요하고, 일부 독자는 어디서부터 시작해야 할지, 연구를 어떻게 구성해야 할지 모르며, 고급 학생은 몇 가지 사항에만 관심이 있을 수 있습니다. 그러나 친애하는 방문객 여러분, 당신이 누구이든, 다양한 교훈에 대한 포인터가 포함된 제안된 요약은 당신이 관심 있는 방향으로 신속하게 방향을 잡고 안내할 것입니다. 로봇들이 눈물을 흘렸습니다 =) 매뉴얼은 PDF 파일로 구성되어 페이지에서 올바른 위치를 차지했습니다. 수학 공식 및 표.

나는 함수의 조사를 5~6가지 포인트로 나누는 데 익숙합니다.

6) 연구 결과를 바탕으로 추가 포인트 및 그래프를 제공합니다.

최종 조치에 관해서는 모든 사람에게 모든 것이 명확하다고 생각합니다. 몇 초 만에 해당 내용을 지우고 수정을 위해 작업을 반환하면 매우 실망스러울 것입니다. 정확하고 정확한 도면이 솔루션의 주요 결과입니다! 분석 오류를 "은폐"할 가능성이 높으며 부정확하거나 부주의한 일정은 완벽하게 수행된 연구에서도 문제를 일으킬 수 있습니다.

다른 출처에서는 연구 포인트 수, 구현 순서 및 디자인 스타일이 내가 제안한 계획과 크게 다를 수 있지만 대부분의 경우 충분합니다. 문제의 가장 간단한 버전은 2~3단계로만 구성되며 다음과 같이 공식화됩니다. "도함수를 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다." 또는 "1차 및 2차 도함수를 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다."

당연히 매뉴얼이 다른 알고리즘을 자세히 설명하거나 교사가 강의를 따르도록 엄격히 요구하는 경우 솔루션을 일부 조정해야 합니다. 전기톱 포크를 숟가락으로 교체하는 것보다 더 어렵지 않습니다.

짝수/홀수에 대한 함수를 확인해 보겠습니다.

다음은 템플릿 응답입니다.
, 이는 이 함수가 짝수 또는 홀수가 아니라는 것을 의미합니다.

함수가 에 대해 연속적이므로 수직 점근선은 없습니다.

경사 점근선도 없습니다.

메모 : 더 높을수록 성장 순서, than 이므로 최종 한계는 정확히 “ ...을 더한무한대."

함수가 무한대에서 어떻게 동작하는지 알아봅시다:

즉, 오른쪽으로 가면 그래프는 무한히 위로 올라가고, 왼쪽으로 가면 그래프는 무한히 아래로 갑니다. 예, 단일 항목에 대해 두 가지 제한이 있습니다. 표지판을 해독하는 데 어려움이 있는 경우 다음 강의를 방문하세요. 극소 함수.

그래서 기능은 위에서 제한되지 않음그리고 아래로부터 제한되지 않음. 중단점이 없다는 점을 고려하면 다음과 같습니다. 기능 범위: – 또한 임의의 실수.

유용한 기술 기술

작업의 각 단계는 함수 그래프에 대한 새로운 정보를 제공합니다., 따라서 솔루션 중에 일종의 LAYOUT을 사용하는 것이 편리합니다. 초안에 직교 좌표계를 그려 봅시다. 이미 확실히 알려진 것은 무엇입니까? 첫째, 그래프에는 점근선이 없으므로 직선을 그릴 필요가 없습니다. 둘째, 우리는 함수가 무한대에서 어떻게 작동하는지 알고 있습니다. 분석에 따르면 우리는 첫 번째 근사치를 도출합니다.

인해 참고하시기 바랍니다 연속성기능이 켜져 있고 그래프가 축을 한 번 이상 교차해야 한다는 사실입니다. 아니면 교차점이 여러 개 있을 수도 있나요?

3) 함수의 0과 상수 부호의 간격.

먼저, 그래프와 세로축의 교점을 찾아보겠습니다. 간단 해. 다음에서 함수의 값을 계산해야 합니다.

해발 1.5배.

축(함수의 0)과의 교차점을 찾으려면 방정식을 풀어야 하며 여기서는 불쾌한 놀라움이 기다리고 있습니다.

마지막에 무료 회원이 숨어 있어 작업이 훨씬 더 어려워집니다.

이러한 방정식에는 적어도 하나의 실수 근이 있으며, 대부분 이 근은 비합리적입니다. 최악의 동화에서는 아기돼지 삼형제가 우리를 기다리고 있습니다. 방정식은 소위를 사용하여 풀 수 있습니다. 카르다노 공식, 그러나 종이의 손상은 거의 전체 연구와 비슷합니다. 이런 점에서는 구두로든 초안으로든 적어도 하나를 선택하도록 노력하는 것이 현명합니다. 전체뿌리. 이 숫자가 다음과 같은지 확인해 보겠습니다.
– 적합하지 않습니다.
- 있어요!

여기 행운이 있습니다. 실패할 경우 테스트할 수도 있습니다. 이 숫자가 맞지 않으면 방정식에 대한 수익성 있는 솔루션이 거의 없을 것 같습니다. 그렇다면 연구 포인트를 완전히 건너뛰는 것이 더 낫습니다. 아마도 추가 포인트가 돌파되는 마지막 단계에서 뭔가 더 명확해질 것입니다. 그리고 뿌리가 분명히 "나쁜" 경우에는 기호의 일관성 간격에 대해 겸손하게 침묵을 유지하고 더 신중하게 그리는 것이 좋습니다.

그러나 우리는 아름다운 근을 가지고 있으므로 다항식을 나눕니다. 나머지 없음:

다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘은 수업의 첫 번째 예에서 자세히 논의됩니다. 복잡한 한계.

결과적으로 원래 방정식의 좌변은 제품으로 분해됩니다.

이제 건강한 생활 방식에 대해 조금 알아 보겠습니다. 나는 물론 그 점을 이해한다. 이차 방정식매일 풀어야 하는 문제지만 오늘은 예외를 두겠습니다. 두 개의 실제 뿌리가 있습니다.

찾은 값을 수직선에 그려보자 그리고 간격 방법함수의 부호를 정의해 보겠습니다.


따라서 간격으로 일정이 위치해 있어요
x축 아래와 간격으로 – 이 축 위에 있습니다.

결과를 통해 레이아웃을 개선할 수 있으며 그래프의 두 번째 근사치는 다음과 같습니다.

함수에는 간격마다 최대값이 하나 이상, 간격마다 최소값이 하나 이상 있어야 합니다. 하지만 일정이 몇 번, 어디서, 언제 반복될지는 아직 알 수 없습니다. 그건 그렇고, 함수는 무한히 많은 것을 가질 수 있습니다 과격한 수단.

4) 함수의 증가, 감소 및 극값.

중요한 점을 찾아봅시다:

이 방정식에는 두 개의 실수 근이 있습니다. 이를 수직선에 놓고 도함수의 부호를 결정해 봅시다:


따라서 함수는 다음과 같이 증가합니다. 로 감소합니다.
함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .
함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

확립된 사실은 템플릿을 상당히 엄격한 프레임워크로 만듭니다.

말할 필요도 없이, 미분학은 강력한 것입니다. 마지막으로 그래프의 모양을 이해해 보겠습니다.

5) 볼록함, 오목함 및 변곡점.

2차 미분의 중요한 점을 찾아보겠습니다.

표지판을 정의해 봅시다:


함수의 그래프는 에서 볼록하고 에서 오목합니다. 변곡점의 세로 좌표를 계산해 보겠습니다.

거의 모든 것이 명확해졌습니다.

6) 보다 정확하게 그래프를 구성하고 셀프 테스트를 수행하는 데 도움이 되는 추가 포인트를 찾는 것이 남아 있습니다. 이 경우 그 중 몇 가지가 있지만 무시하지 않을 것입니다.

그림을 그려보자:

변곡점은 녹색으로 표시되고, 추가 지점은 십자가로 표시됩니다. 3차 함수의 그래프는 변곡점을 중심으로 대칭이며 변곡점은 항상 최대값과 최소값 사이의 정확히 중간에 위치합니다.

과제가 진행되면서 세 개의 가상 임시 도면을 제공했습니다. 실제로는 좌표계를 그리고 발견된 지점을 표시하고 각 연구 지점 후에 함수 그래프가 어떻게 보일지 정신적으로 추정하는 것으로 충분합니다. 준비가 잘 된 학생들이라면 초안을 작성하지 않고 머릿속으로만 그러한 분석을 수행하는 것이 어렵지 않을 것입니다.

스스로 해결하려면:

실시예 2

함수를 살펴보고 그래프를 작성해 보세요.

여기에서는 모든 것이 더 빠르고 재미있습니다. 수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 예를 보여줍니다.

분수 합리적 함수에 대한 연구는 많은 비밀을 드러냅니다.

실시예 3

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 구성합니다.

해결책: 연구의 첫 번째 단계는 정의 영역에 구멍이 있다는 점을 제외하고는 주목할만한 점으로 구별되지 않습니다.

1) 함수는 점을 제외한 수직선 전체에 대해 정의되고 연속적이며, 도메인: .

, 이는 이 함수가 짝수 또는 홀수가 아니라는 것을 의미합니다.

함수가 비주기적이라는 것은 명백합니다.

함수 그래프는 왼쪽 및 오른쪽 절반 평면에 위치한 두 개의 연속 분기를 나타냅니다. 이는 아마도 포인트 1의 가장 중요한 결론일 것입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

a) 단측 극한을 사용하여 수직 점근선이 분명히 있어야 하는 의심스러운 지점 근처의 함수 동작을 검사합니다.

실제로 기능은 지속됩니다. 끝없는 격차그 시점에
그리고 직선(축)은 수직 점근선그래픽 아트 .

b) 경사 점근선이 존재하는지 확인해 봅시다:

네, 바로요 경사 점근선그래픽, 만약 .

함수가 경사 점근선을 포함한다는 것이 이미 분명하기 때문에 극한을 분석하는 것은 의미가 없습니다. 위에서 제한되지 않음그리고 아래로부터 제한되지 않음.

두 번째 연구 포인트는 기능에 대한 많은 중요한 정보를 산출했습니다. 대략적인 스케치를 해보자:

결론 1번은 상수 부호의 간격에 관한 것입니다. "마이너스 무한대"에서 함수 그래프는 확실히 x축 아래에 위치하며 "플러스 무한대"에서는 이 축 위에 있습니다. 또한, 단측 극한은 점의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 함수가 0보다 크다는 것을 알려줍니다. 왼쪽 절반 평면에서 그래프는 x축과 최소한 한 번 교차해야 합니다. 오른쪽 절반 평면에는 함수의 0이 없을 수 있습니다.

결론 2번은 함수가 점의 왼쪽에서 증가한다는 것입니다(“아래에서 위로” 이동). 이 지점의 오른쪽으로 갈수록 기능이 감소합니다("위에서 아래로" 이동). 그래프의 오른쪽 가지에는 최소한 하나의 최소값이 있어야 합니다. 왼쪽에서는 극단이 보장되지 않습니다.

결론 3번은 점 근처 그래프의 오목함에 대한 신뢰할 수 있는 정보를 제공합니다. 선은 위와 아래 모두에서 점근선을 향해 밀릴 수 있기 때문에 무한대에서의 볼록함/오목함에 대해서는 아직 아무 말도 할 수 없습니다. 일반적으로 현재 이를 파악하는 분석적인 방법이 있지만, 그래프의 모양은 차후에 더욱 명확해질 것입니다.

왜 그렇게 말이 많아? 후속 연구 포인트를 제어하고 실수를 방지하려면! 추가 계산은 도출된 결론과 모순되어서는 안 됩니다.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 함수의 상수 부호 간격.

함수의 그래프는 축과 교차하지 않습니다.

간격 방법을 사용하여 부호를 결정합니다.

, 만약에 ;
, 만약에 .

이 점의 결과는 결론 1번과 완전히 일치합니다. 각 단계가 끝나면 초안을 보고, 연구 내용을 머릿속으로 확인하고, 함수 그래프를 완성해 보세요.

고려중인 예에서 분자는 분모에 의해 용어별로 나누어지며 이는 차별화에 매우 유용합니다.

실제로 이것은 점근선을 찾을 때 이미 수행되었습니다.

- 중요한 점.

표지판을 정의해 봅시다:

증가 그리고 감소

함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

결론 2번에도 불일치가 없었으며, 아마도 우리는 올바른 길을 가고 있을 것입니다.

이는 함수의 그래프가 전체 정의 영역에 걸쳐 오목하다는 것을 의미합니다.

좋습니다. 아무것도 그릴 필요가 없습니다.

변곡점이 없습니다.

오목함은 결론 3번과 일치하며, 또한 무한대(저기 둘 다)에 함수 그래프가 위치함을 나타냅니다. 더 높은그것의 경사 점근선.

6) 과제를 성실히 가산점으로 고정하겠습니다. 우리는 연구를 통해 두 가지 점만 알고 있기 때문에 여기서 열심히 노력해야 합니다.

그리고 아마도 오래 전에 많은 사람들이 상상했던 그림이 있습니다.

작업을 수행하는 동안 연구 단계 사이에 모순이 없는지 주의 깊게 확인해야 하지만 때로는 상황이 긴급하거나 절망적으로 막다른 골목에 도달하는 경우도 있습니다. 분석은 "합산되지 않습니다"-그게 전부입니다. 이 경우 비상 기술을 권장합니다. 그래프에 속하는 가능한 한 많은 점을 찾아(인내심만큼) 좌표 평면에 표시합니다. 발견된 값을 그래픽으로 분석하면 대부분의 경우 진실이 어디에 있고 어디가 거짓인지 알 수 있습니다. 또한 Excel과 같은 일부 프로그램을 사용하여 그래프를 미리 작성할 수 있습니다(물론 기술이 필요함).

실시예 4

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 그래프를 구성합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 그 안에서 함수의 패리티에 의해 자제력이 향상됩니다. 그래프는 축을 중심으로 대칭이며 연구에서 이 사실과 모순되는 것이 있으면 오류를 찾으십시오.

짝수 또는 홀수 함수는 에서만 연구할 수 있으며 그래프의 대칭성을 사용합니다. 이 솔루션은 최적이지만 제 생각에는 매우 이례적으로 보입니다. 개인적으로 저는 전체 수직선을 보지만 여전히 오른쪽에서만 추가 점을 찾습니다.

실시예 5

함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 구성하십시오.

해결책: 상황이 어려워졌습니다:

1) 함수는 전체 수직선에서 정의되고 연속됩니다.

이는 이 함수가 홀수이고 그래프가 원점을 기준으로 대칭임을 의미합니다.

함수가 비주기적이라는 것은 명백합니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

함수가 에 대해 연속이므로 수직 점근선은 없습니다.

지수를 포함하는 함수의 경우 일반적입니다. 분리된그러나 "플러스"와 "무한대 마이너스"에 대한 연구는 그래프의 대칭으로 인해 우리의 삶이 더 쉬워집니다. 왼쪽과 오른쪽 모두에 점근선이 있거나 전혀 없습니다. 따라서 단일 항목 아래에 두 무한한계를 모두 쓸 수 있습니다. 우리가 사용하는 솔루션 중에 로피탈의 법칙:

직선(축)은 에서 그래프의 수평 점근선입니다.

경사 점근선을 찾기 위한 전체 알고리즘을 어떻게 교묘하게 피했는지 주목하십시오. 극한은 완전히 적법하며 무한대에서 함수의 동작을 명확하게 하며 수평 점근선은 "마치 동시에" 발견되었습니다.

연속성과 수평 점근선의 존재로부터 다음 함수는 다음과 같습니다. 위에 경계그리고 아래로 제한됨.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 상수 부호의 간격.

여기서는 솔루션도 단축합니다.
그래프는 원점을 통과합니다.

좌표축과의 다른 교차점은 없습니다. 더욱이 부호의 불변성 간격은 명백하며 축을 그릴 필요가 없습니다. 즉, 함수의 부호는 "x"에만 의존한다는 의미입니다.
, 만약에 ;
, 만약에 .

4) 함수의 증가, 감소, 극값.


– 중요한 포인트.

점은 당연히 0을 기준으로 대칭입니다.

미분의 부호를 결정합시다.


함수는 간격에 따라 증가하고 간격에 따라 감소합니다.

함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .

재산으로 인해 (함수의 이상한 점) 최소값을 계산할 필요가 없습니다.

구간에 따라 함수가 감소하므로 그래프는 분명히 "마이너스 무한대"에 위치합니다. 아래에점근선. 간격에 따라 함수도 감소하지만 여기서는 그 반대입니다. 최대 지점을 통과한 후 선이 위에서 축에 접근합니다.

위에서부터 함수의 그래프는 "마이너스 무한대"에서 볼록하고 "플러스 무한대"에서 오목하다는 결론이 나옵니다.

이 연구 시점 이후에 함수 값의 범위가 그려졌습니다.

어떤 점에 대해 오해가 있다면 다시 한 번 노트에 좌표축을 그리고 손에 연필을 들고 작업의 각 결론을 다시 분석할 것을 촉구합니다.

5) 그래프의 볼록함, 오목함, 꼬임.

– 중요한 포인트.

점의 대칭은 유지되며 아마도 착각하지 않을 것입니다.

표지판을 정의해 봅시다:


함수의 그래프는 볼록하다 그리고 오목하다 .

극한 간격의 볼록/오목이 확인되었습니다.

모든 임계점에는 그래프에 꼬임이 있습니다. 변곡점의 세로 좌표를 찾고 함수의 홀수를 사용하여 다시 계산 수를 줄여 보겠습니다.