가장 큰 음수 루트 sinx 1. 변수를 변경하여 삼각 방정식 풀기
복잡성이 증가하는 문제에서 자주 발생합니다. 모듈러스를 포함하는 삼각 방정식. 대부분의 문제는 대부분의 학생들에게 전혀 익숙하지 않은 해결 방법에 대한 경험적 접근 방식이 필요합니다.
아래 제안된 문제는 모듈러스가 포함된 삼각 방정식을 푸는 가장 일반적인 기술을 소개하기 위한 것입니다.
문제 1. 방정식 1 + 2sin x |cos x|의 최소 양수근과 최대 음수근의 차이(도)를 구합니다. = 0.
해결책.
모듈을 확장해 보겠습니다.
1) cos x ≥ 0이면 원래 방정식은 1 + 2sin x · cos x = 0 형식을 취합니다.
이중 각도 사인 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
1 + 죄 2x = 0; 죄 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. cos x ≥ 0이므로 x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) 만약 cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – 죄 2x = 0; 죄 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. 왜냐하면 cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) 방정식의 최대 음수근: -π/4; 방정식의 최소 양수근: 5π/4.
필요한 차이: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
답: 270°.
문제 2. 방정식 |tg x|의 가장 작은 양의 근을 각도 단위로 구합니다. + 1/cos x = 황갈색 x.
해결책.
모듈을 확장해 보겠습니다.
1) tan x ≥ 0이면
황갈색 x + 1/cos x = 황갈색 x;
결과 방정식에는 근이 없습니다.
2) tg x인 경우< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 및 cos x ≠ 0.
그림 1과 조건 tg x 사용< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) 방정식의 가장 작은 양의 근은 5π/6입니다. 이 값을 각도로 변환해 보겠습니다.
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
답: 150°.
문제 3. 방정식 sin |2x|의 서로 다른 근의 개수를 구합니다. = 구간 [-π/2; π/2].
해결책.
방정식을 sin|2x| 형식으로 작성해 보겠습니다. – cos 2x = 0이고 함수 y = sin |2x| – 왜냐하면 2배. 함수가 짝수이므로 x ≥ 0에 대해 0을 찾을 것입니다.
죄 2x – cos 2x = 0; 방정식의 양변을 cos 2x ≠ 0으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
함수의 패리티를 사용하여 원래 방정식의 근이 다음 형식의 숫자임을 알 수 있습니다.
± (π/8 + πn/2), 여기서 n € Z입니다.
간격 [-π/2; π/2]는 숫자에 속합니다: -π/8; π/8.
따라서 방정식의 두 근은 주어진 구간에 속합니다.
답: 2.
이 방정식은 모듈을 열어서 풀 수도 있습니다.
문제 4. 방정식 sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x 구간 [-π; 2π].
해결책.
1) 2cos x – 1 > 0인 경우를 생각해 보십시오. 즉, cos x > 1/2이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
죄 x – 죄 2 x = 죄 2 x;
죄 x - 2sin 2 x = 0;
죄 x(1 – 2sin x) = 0;
죄 x = 0 또는 1 – 2sin x = 0;
사인 x = 0 또는 사인 x = 1/2.
그림 2와 cos x > 1/2 조건을 사용하여 방정식의 근을 찾습니다.
x = π/6 + 2πn 또는 x = 2πn, n € Z.
2) 2cos x – 1인 경우를 생각해보자< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
죄 x + 죄 2 x = 죄 2 x;
x = 2πn, n € Z.
그림 2와 cos x 조건 사용< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
두 가지 경우를 결합하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
x = π/6 + 2πn 또는 x = πn.
3) 간격 [-π; 2π]는 근에 속합니다: π/6; -π; 0; π; 2π.
따라서 주어진 구간에는 방정식의 5개 근이 포함됩니다.
답: 5.
문제 5. 방정식의 근의 수를 구합니다 (x – 0.7) 2 |sin x| + 구간 [-π에서 sin x = 0; 2π].
해결책.
1) sin x ≥ 0이면 원래 방정식은 (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0 형식을 취합니다. 괄호에서 공통 인수 sin x를 빼면 다음을 얻습니다.
죄 x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; 모든 실수 x에 대해 (x – 0.7) 2 + 1 > 0이므로 sinx = 0입니다. 즉, x = πn, n € Z.
2) 만약 죄 x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
죄 x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 또는 (x – 0.7) 2 + 1 = 0. sin x 이후< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 또는 x – 0.7 = -1, 이는 x = 1.7 또는 x = -0.3을 의미합니다.
sinx 상태를 고려하면< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0은 숫자 -0.3만이 원래 방정식의 근임을 의미합니다.
3) 간격 [-π; 2π]는 숫자에 속합니다: -π; 0; π; 2π; -0.3.
따라서 방정식은 주어진 구간에서 5개의 근을 갖습니다.
답: 5.
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사람은 새로운 정보 기술을 사용해야합니다. 정확하고 가장 중요한 것은 적절한 사용이 주제 연구에 대한 동기를 높이고 관심을 높이며 필요한 자료를 더 잘 동화하는 데 도움이 되기 때문입니다. 그러나 컴퓨터는 생각하는 법을 가르쳐주지 않으며 받은 정보를 처리하고 이해하고 기억해야 한다는 점을 잊지 마십시오. 따라서 관심 있는 문제를 해결하는 방법을 찾는 데 도움을 줄 수 있는 온라인 강사에게 도움을 요청할 수 있습니다.
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작업 번호 1
논리는 간단합니다. 이제 삼각 함수의 인수가 더 복잡해진다는 사실에 관계없이 이전에 했던 것처럼 하겠습니다!
다음 형식의 방정식을 푼다면:
그러면 우리는 다음과 같은 답을 적어보겠습니다.
아니면 (이후로)
그러나 이제 우리의 역할은 다음 표현으로 수행됩니다.
그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리의 목표는 왼쪽이 "불순물" 없이 단순하게 서 있는지 확인하는 것입니다!
점차적으로 제거합시다!
먼저 다음에서 분모를 제거해 보겠습니다. 이렇게 하려면 동등성을 다음과 같이 곱합니다.
이제 두 부분을 나누어서 제거해 보겠습니다.
이제 8개를 제거해 보겠습니다.
결과 표현식은 2개의 해법 시리즈로 작성될 수 있습니다(판별식을 더하거나 빼는 2차 방정식과 유사하게).
가장 큰 음수근을 찾아야 합니다! 우리가 정리해야 할 것은 분명합니다.
먼저 첫 번째 에피소드를 살펴보겠습니다.
우리가 취하면 결과적으로 양수를 받게 될 것이 분명하지만 우리에게는 관심이 없습니다.
그러니 부정적으로 받아들여야 합니다. 하자.
뿌리가 더 좁아지는 경우:
그리고 우리는 가장 큰 부정적인 점을 찾아야 합니다!! 이는 여기서는 더 이상 부정적인 방향으로 가는 것이 의미가 없다는 것을 의미합니다. 그리고 이 계열의 가장 큰 음수근은 다음과 같습니다.
이제 두 번째 시리즈를 살펴보겠습니다.
그리고 다시 다음을 대체합니다:
관심이 없다!
그렇다면 더 이상 늘리는 것은 의미가 없습니다! 줄여보자! 그러면:
맞다!
하자. 그 다음에
그렇다면 - 가장 큰 부정적인 뿌리!
답변:
작업 번호 2
복소 코사인 인수에 관계없이 다시 해결합니다.
이제 우리는 다시 왼쪽으로 표현합니다:
양변에 다음을 곱하세요.
양쪽을 다음과 같이 나눕니다.
남은 것은 기호를 마이너스에서 플러스로 변경하여 오른쪽으로 이동하는 것입니다.
우리는 다시 2개의 근 시리즈를 얻습니다. 하나는 with이고 다른 하나는 with입니다.
가장 큰 음수근을 찾아야 합니다. 첫 번째 에피소드를 살펴보겠습니다.
우리가 첫 번째 음수 근을 얻을 것이 분명하며, 이는 1 계열에서 가장 큰 음수 근과 같을 것입니다.
두 번째 시리즈의 경우
첫 번째 음수 근은 또한 에서 얻어지며 다음과 같습니다. 이후, then은 방정식의 가장 큰 음수근입니다.
답변: .
작업 번호 3
우리는 복잡한 접선 인수에 관계없이 문제를 해결합니다.
이제 복잡해 보이지 않죠?
이전과 마찬가지로 왼쪽에 다음과 같이 표현합니다.
글쎄요, 좋습니다. 여기에는 루트 시리즈가 하나만 있습니다! 가장 큰 부정을 다시 찾아봅시다.
내려놓으면 밝혀지는 것이 분명하다. 그리고 이 근은 동일합니다.
답변:
이제 다음 문제를 직접 해결해 보세요.
숙제 또는 3가지 과제를 독립적으로 해결하세요.
- 방정식을 푼다.
- 방정식을 푼다.
가능한 가장 작은 파이시 루트에 대한 답입니다. - 방정식을 푼다.
가능한 가장 작은 파이시 루트에 대한 답입니다.
준비가 된? 점검 해보자. 전체 솔루션 알고리즘에 대해 자세히 설명하지는 않겠으며 위에서 이미 충분히 주목을 받은 것으로 보입니다.
글쎄, 모든 게 맞나요? 아, 그 고약한 부비동에는 항상 어떤 문제가 있군요!
자, 이제 간단한 삼각 방정식을 풀 수 있습니다!
솔루션과 답변을 확인하세요.
작업 번호 1
표현해보자
다음을 넣으면 가장 작은 양의 근을 얻습니다.
답변:
작업 번호 2
가장 작은 양의 근은 에서 얻어집니다.
그것은 평등할 것이다.
답변: .
작업 번호 3
우리가 얻을 때, 우리가 가질 때.
답변: .
이 지식은 시험에서 직면하게 될 많은 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다.
"5" 등급을 신청하는 경우 해당 기사를 읽기만 하면 됩니다. 중간 수준이는 보다 복잡한 삼각 방정식을 푸는 데 전념할 것입니다(작업 C1).
평균 수준
이 기사에서는 설명하겠습니다. 더 복잡한 삼각 방정식 풀기뿌리를 선택하는 방법. 여기서는 다음 주제를 다루겠습니다.
- 초보자 수준을 위한 삼각 방정식(위 참조)
더 복잡한 삼각 방정식은 고급 문제의 기초입니다. 이를 위해서는 방정식 자체를 일반 형식으로 풀고 특정 구간에 속하는 이 방정식의 근을 찾는 것이 모두 필요합니다.
삼각 방정식을 푸는 것은 두 가지 하위 작업으로 귀결됩니다.
- 방정식 풀기
- 루트 선택
두 번째가 항상 필요한 것은 아니지만 대부분의 예에서는 여전히 선택이 필요하다는 점에 유의해야 합니다. 그러나 이것이 필요하지 않다면 우리는 당신에게 공감할 수 있습니다. 이는 방정식 자체가 상당히 복잡하다는 것을 의미합니다.
C1 문제를 분석한 내 경험에 따르면 문제는 일반적으로 다음 범주로 구분됩니다.
복잡성이 증가된 4가지 작업 범주(이전 C1)
- 인수분해로 축소되는 방정식.
- 방정식이 축소되어 형성됩니다.
- 변수를 변경하여 방정식을 풀었습니다.
- 비합리성 또는 분모로 인해 추가 근 선택이 필요한 방정식입니다.
쉽게 말하면 잡히면 처음 세 가지 유형의 방정식 중 하나, 그렇다면 자신이 운이 좋다고 생각하십시오. 이들의 경우 일반적으로 특정 간격에 속하는 루트를 추가로 선택해야 합니다.
유형 4 방정식을 발견하면 운이 좋지 않습니다. 더 길고 신중하게 수정해야 하지만 추가로 근을 선택할 필요가 없는 경우가 많습니다. 그럼에도 불구하고 나는 다음 기사에서 이러한 유형의 방정식을 분석할 것이며, 이 기사에서는 처음 세 가지 유형의 방정식을 푸는 데 전념할 것입니다.
인수분해로 축소되는 방정식
이런 유형의 방정식을 풀기 위해 기억해야 할 가장 중요한 것은
실습에서 알 수 있듯이 일반적으로 이 지식이면 충분합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예 1. 축소 및 이중 각도 사인 공식을 사용하여 인수분해로 축소된 방정식
- 방정식을 푼다
- 컷 위에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요.
여기서는 약속한 대로 축소 공식이 작동합니다.
그러면 내 방정식은 다음과 같습니다.
그러면 내 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.
근시안적인 학생은 다음과 같이 말할 수 있습니다. 이제 양변을 줄여서 가장 간단한 방정식을 구하고 인생을 즐기겠습니다! 그리고 그는 몹시 착각할 것이다!
| 기억하세요: 미지수를 포함하는 함수로 삼각 방정식의 양변을 줄일 수는 없습니다! 그래서 당신은 뿌리를 잃습니다! |
그래서 뭐 할까? 예, 간단합니다. 모든 것을 한쪽으로 옮기고 공통 인수를 꺼내십시오.
글쎄, 우리는 그것을 요인으로 고려했습니다. 만세! 이제 결정해보자:
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째:
이것으로 문제의 첫 번째 부분이 완료되었습니다. 이제 루트를 선택해야 합니다.
그 격차는 이렇습니다.
또는 다음과 같이 작성할 수도 있습니다.
글쎄, 뿌리를 살펴 보겠습니다.
먼저 첫 번째 에피소드부터 작업해 보겠습니다. (아무리 말할 것도 없이 더 간단합니다!)
우리의 간격은 완전히 음수이므로 음수가 아닌 값을 취할 필요가 없으며 여전히 음수가 아닌 근을 제공합니다.
그럼 가져 가세요. 너무 많아서 맞지 않습니다.
그럼 놔두세요. 다시는 치지 않았습니다.
한 번 더 시도해 보세요 - 그럼 - 네, 알겠습니다! 첫 번째 뿌리가 발견되었습니다!
나는 다시 쏜다: 그리고 다시 쳤다!
음, 한 번 더: : - 이것은 이미 비행입니다.
따라서 첫 번째 계열에는 간격에 속하는 2개의 근이 있습니다.
우리는 두 번째 시리즈를 작업 중입니다. 규칙에 따라 권력에):
미달!
또 그리워!
또 그리워!
알았어요!
비행!
따라서 내 간격에는 다음과 같은 뿌리가 있습니다.
이것이 다른 모든 예제를 해결하는 데 사용할 알고리즘입니다. 한 가지 예를 더 들어 함께 연습해 봅시다.
예 2. 환원 공식을 사용하여 방정식을 인수분해로 축소
- 방정식을 풀어보세요
해결책:
다시 악명 높은 축소 공식:
다시 줄이려고 하지 마세요!
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째:
이제 다시 뿌리를 검색해 보세요.
두 번째 에피소드부터 시작하겠습니다. 저는 이미 이전 예를 통해 모든 것을 알고 있습니다! 간격에 속하는 근이 다음과 같은지 확인하고 확인하세요.
이제 첫 번째 에피소드이며 더 간단해졌습니다.
만약 - 적합하다면
그것도 괜찮다면
이미 비행기라면.
그러면 뿌리는 다음과 같습니다.
독립적 인 일. 3개의 방정식.
글쎄요, 그 기술이 당신에게 명확합니까? 삼각 방정식을 푸는 것이 더 이상 어렵지 않은 것 같나요? 그런 다음 다음 문제를 빠르게 해결하고 다른 예를 해결해 보겠습니다.
- 방정식을 풀어보세요
구간 위에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾으십시오. - 방정식을 푼다
컷 위에 있는 방정식의 근을 나타냅니다. - 방정식을 푼다
두 방정식 사이에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요.
방정식 1.
그리고 다시 축소 공식은 다음과 같습니다.
첫 번째 뿌리 시리즈:
두 번째 뿌리 시리즈:
틈새에 대한 선택을 시작합니다
답변: , .
방정식 2. 독립적인 작업을 확인합니다.
꽤 까다로운 요소 그룹화입니다(이중 각도 사인 공식을 사용하겠습니다).
그럼 아니면
이것은 일반적인 해결책입니다. 이제 뿌리를 선택해야 합니다. 문제는 코사인이 1/4인 각도의 정확한 값을 알 수 없다는 것입니다. 그러므로 아크 코사인을 그냥 없앨 수는 없습니다. 정말 부끄러운 일입니다!
내가 할 수 있는 일은 그렇다면 그렇게 생각하는 것뿐이다.
테이블을 생성해 봅시다: 간격:
글쎄, 고통스러운 검색을 통해 우리는 방정식이 표시된 구간에 하나의 근을 갖는다는 실망스러운 결론에 도달했습니다. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
방정식 3: 독립적인 작업 테스트.
무섭게 보이는 방정식. 그러나 이중 각도 사인 공식을 적용하면 매우 간단하게 풀 수 있습니다.
2로 줄여보겠습니다.
첫 번째 항을 두 번째 항과, 세 번째 항을 네 번째 항과 그룹화하고 공통 인수를 제거해 보겠습니다.
첫 번째 방정식에는 근이 없다는 것이 분명합니다. 이제 두 번째 방정식을 고려해 보겠습니다.
일반적으로 이런 방정식을 푸는 방법은 조금 나중에 다루려고 했는데, 나왔으니 할 일이 없어서 풀어야 하는데…
형식의 방정식:
이 방정식은 양변을 다음과 같이 나눔으로써 해결됩니다.
따라서 우리 방정식에는 단일 계열의 근이 있습니다.
간격: 에 속하는 것을 찾아야 합니다.
이전에 했던 것처럼 다시 테이블을 만들어 보겠습니다.
답변: .
방정식은 다음 형식으로 축소됩니다.
이제 방정식의 두 번째 부분으로 넘어갈 시간입니다. 특히 새로운 유형의 삼각 방정식에 대한 해법이 무엇으로 구성되어 있는지에 대해 이미 설명했기 때문입니다. 그러나 방정식의 형식은 반복할 가치가 있습니다.
양변을 코사인으로 나누어 해결합니다.
- 방정식을 푼다
컷 위에 있는 방정식의 근을 나타냅니다. - 방정식을 푼다
그들 사이에 있는 방정식의 근을 나타냅니다.
예시 1.
첫 번째는 아주 간단합니다. 오른쪽으로 이동하여 이중 각도 코사인 공식을 적용합니다.
응! 형식의 방정식: . 나는 두 부분을 다음과 같이 나눈다.
우리는 루트 스크리닝을 수행합니다:
갭:
답변:
예시 2.
모든 것이 매우 간단합니다. 오른쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
기본 삼각법 항등식:
이중 각도의 사인:
마지막으로 우리는 다음을 얻습니다:
루트 스크리닝: 간격.
답변: .
글쎄, 그 기술은 어때? 너무 복잡하지 않니? 내가하지 희망. 우리는 즉시 예약할 수 있습니다. 순수한 형태에서 접선 방정식으로 즉시 축소되는 방정식은 매우 드뭅니다. 일반적으로 이러한 전환(코사인으로 나누기)은 더 복잡한 문제의 일부일 뿐입니다. 연습해 볼 수 있는 예는 다음과 같습니다.
- 방정식을 푼다
- 컷 위에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요.
점검 해보자:
방정식은 즉시 풀 수 있으며, 양변을 다음과 같이 나누면 충분합니다.
루트 스크리닝:
답변: .
어떤 식으로든 우리는 방금 조사한 유형의 방정식을 아직 접하지 못했습니다. 그러나 아직 하루라고 말하기에는 너무 이르다. 우리가 정리하지 못한 방정식의 "계층"이 아직 하나 더 남아 있다. 그래서:
변수를 변경하여 삼각 방정식 풀기
여기에서는 모든 것이 투명합니다. 방정식을 자세히 살펴보고, 가능한 한 단순화하고, 대입하고, 풀고, 역대입을 합니다! 말로는 모든 것이 매우 쉽습니다. 실제 사례를 살펴보겠습니다.
예.
- 방정식을 푼다: .
- 컷 위에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요.
글쎄, 여기서 교체 자체가 우리에게 제안됩니다!
그러면 우리의 방정식은 다음과 같이 바뀔 것입니다:
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째는 이렇습니다.
이제 간격에 속하는 근을 찾아 보겠습니다.
답변: .
조금 더 복잡한 예를 함께 살펴보겠습니다.
- 방정식을 푼다
- 주어진 방정식의 근이 그 사이에 놓여 있음을 나타냅니다.
여기서 교체는 즉시 눈에 띄지 않으며 더욱이 그다지 명확하지 않습니다. 먼저 생각해 봅시다: 우리는 무엇을 할 수 있습니까?
예를 들어 우리는 다음과 같은 상상을 할 수 있습니다.
그리고 동시에
그러면 내 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이제 주의를 집중하세요.
방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.
갑자기 당신과 나는 이차방정식을 갖게 되었습니다! 교체를 하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
방정식의 근은 다음과 같습니다.
불쾌한 두 번째 뿌리 시리즈이지만 아무것도 할 수 없습니다! 간격에서 뿌리를 선택합니다.
우리도 그런 점을 고려해야 해요
이후 그리고 그때
답변:
문제를 스스로 해결하기 전에 이를 강화하기 위해 다음과 같은 또 다른 연습이 있습니다.
- 방정식을 푼다
- 두 방정식 사이에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요.
여기에서 눈을 뜨고 있어야 합니다. 이제 0이 될 수 있는 분모가 있습니다! 그러므로 특히 뿌리에 세심한 주의가 필요합니다!
우선, 적절한 대체를 할 수 있도록 방정식을 다시 정리해야 합니다. 이제 사인과 코사인의 관점에서 탄젠트를 다시 작성하는 것보다 더 나은 방법은 생각할 수 없습니다.
이제 기본 삼각법 항등식을 사용하여 코사인에서 사인으로 이동하겠습니다.
마지막으로 모든 것을 공통분모로 정리하겠습니다.
이제 방정식으로 넘어갈 수 있습니다.
하지만 (즉, at)에.
이제 모든 교체 준비가 완료되었습니다.
그런 다음 또는
그러나 동시에 동시에!
누가 이것으로 고통 받습니까? 탄젠트의 문제점은 코사인이 0일 때(0으로 나누기가 발생함) 정의되지 않는다는 것입니다.
따라서 방정식의 근은 다음과 같습니다.
이제 우리는 간격에서 뿌리를 선별합니다.
| - 맞다 | |
| - 지나침 |
따라서 우리 방정식은 구간에 단일 근을 가지며 동일합니다.
알다시피, 분모의 출현(접선과 마찬가지로 뿌리에 특정 어려움이 발생합니다! 여기서는 더 조심해야 합니다!).
글쎄, 당신과 나는 삼각 방정식 분석을 거의 마쳤으며 두 가지 문제를 스스로 해결할 것이 거의 남지 않았습니다. 여기 있습니다.
- 방정식을 풀어보세요
컷 위에 있는 이 방정식의 근을 모두 찾아보세요. - 방정식을 푼다
컷 위에 있는 이 방정식의 근을 나타냅니다.
결정했다? 많이 어렵지 않나요? 점검 해보자:
- 우리는 축소 공식에 따라 작업합니다.
방정식으로 대체:
교체를 더 쉽게 하기 위해 코사인을 통해 모든 것을 다시 작성해 보겠습니다.
이제 쉽게 교체할 수 있습니다.
방정식에는 해가 없기 때문에 외래근임이 분명합니다. 그 다음에:
우리는 간격에서 필요한 뿌리를 찾고 있습니다
답변: .
여기서 교체가 즉시 표시됩니다.그런 다음 또는
- 맞다! - 맞다! - 맞다! - 맞다! - 많은! - 그것도 많이! 답변:
글쎄, 이제 그게 다야! 그러나 삼각 방정식을 푸는 것은 거기서 끝나지 않고 가장 어려운 경우, 즉 방정식에 비합리성이나 다양한 종류의 "복소 분모"가 포함되어 있는 경우에 뒤쳐집니다. 고급 수준의 기사에서 이러한 작업을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.
고급 레벨
이전 두 기사에서 논의한 삼각 방정식 외에도 훨씬 더 신중한 분석이 필요한 다른 종류의 방정식을 고려할 것입니다. 이러한 삼각법 예제에는 비합리성 또는 분모가 포함되어 있어 분석이 더 어렵습니다.. 그러나 시험지 파트 C에서 이러한 방정식을 접할 수 있습니다. 그러나 모든 구름에는 희망이 있습니다. 이러한 방정식의 경우 일반적으로 해당 루트 중 어느 것이 주어진 간격에 속하는지에 대한 질문은 더 이상 제기되지 않습니다. 수풀 주위를 두드리지 말고 바로 삼각법 예제로 넘어가겠습니다.
예시 1.
방정식을 풀고 세그먼트에 속하는 근을 찾으십시오.
해결책:
0이 되어서는 안되는 분모가 있습니다! 그러면 이 방정식을 푸는 것은 시스템을 푸는 것과 같습니다.
각 방정식을 풀어보겠습니다.
이제 두 번째는 다음과 같습니다.
이제 시리즈를 살펴 보겠습니다.
이 옵션은 우리에게 적합하지 않다는 것이 분명합니다. 이 경우 분모가 0으로 재설정되기 때문입니다(두 번째 방정식의 근에 대한 공식 참조).
그렇다면 모든 것이 정상이며 분모는 0이 아닙니다! 그러면 방정식의 근은 다음과 같습니다. , .
이제 간격에 속하는 근을 선택합니다.
| - 적합하지 않다 | - 맞다 | |
| - 맞다 | - 맞다 | |
| 지나침 | 지나침 |
그러면 뿌리는 다음과 같습니다.
보시다시피, 분모 형태의 작은 교란의 출현조차도 방정식의 해에 큰 영향을 미쳤습니다. 우리는 분모를 무효화하는 일련의 근을 버렸습니다. 비합리적인 삼각함수 예제를 발견하면 상황은 더욱 복잡해질 수 있습니다.
예시 2.
방정식을 푼다:
해결책:
글쎄요, 적어도 뿌리를 제거할 필요는 없으니 좋습니다! 먼저 비합리성에 관계없이 방정식을 풀어 보겠습니다.
그럼 그게 다야? 아니, 아쉽게도 너무 쉬울 것입니다! 루트 아래에는 음수가 아닌 숫자만 나타날 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 그 다음에:
이 불평등에 대한 해결책은 다음과 같습니다.
이제 첫 번째 방정식의 근의 일부가 부등식이 성립하지 않는 곳으로 실수로 끝났는지 여부를 알아내는 것이 남아 있습니다.
이렇게 하려면 테이블을 다시 사용할 수 있습니다.
| : , 하지만 | 아니요! | |
| 예! | ||
| 예! |
따라서 내 뿌리 중 하나가 "떨어졌습니다"! 내려놓으면 드러납니다. 그러면 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
답변:
알다시피, 뿌리에는 더 많은 주의가 필요합니다! 좀 더 복잡하게 만들어 보겠습니다. 이제 루트 아래에 삼각 함수가 있습니다.
예시 3.
이전과 마찬가지로 먼저 각 문제를 개별적으로 해결한 다음 우리가 수행한 작업에 대해 생각해 보겠습니다.
이제 두 번째 방정식은 다음과 같습니다.
이제 가장 어려운 것은 첫 번째 방정식의 근을 대입하면 산술 근 아래에서 음수 값을 얻을 수 있는지 확인하는 것입니다.
숫자는 라디안으로 이해되어야 합니다. 라디안은 대략 도 단위이므로 라디안은 도 단위입니다. 2쿼터의 코너입니다. 2분기 코사인의 부호는 무엇입니까? 마이너스. 사인은 어떻습니까? 을 더한. 그렇다면 우리는 표현에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
0보다 작습니다!
이는 방정식의 근본이 아니라는 것을 의미합니다.
이제 시간이다.
이 숫자를 0과 비교해 보겠습니다.
코탄젠트는 1/4씩 감소하는 함수입니다(인수가 작을수록 코탄젠트는 커집니다). 라디안은 대략 도입니다. 동시에
그 이후로, 그때, 그러므로
,
답변: .
더 복잡해질 수 있나요? 제발! 근이 여전히 삼각 함수이고 방정식의 두 번째 부분이 다시 삼각 함수라면 더 어려울 것입니다.
삼각법 예제가 많을수록 좋습니다. 아래를 참조하세요.
예시 4.
제한된 코사인으로 인해 루트가 적합하지 않습니다.
이제 두 번째:
동시에 루트를 정의하면 다음과 같습니다.
단위원, 즉 사인이 0보다 작은 분기를 기억해야 합니다. 이 분기는 무엇입니까? 세 번째와 네 번째. 그런 다음 우리는 3분기 또는 4분기에 있는 첫 번째 방정식의 해에 관심을 가질 것입니다.
첫 번째 시리즈는 3쿼터와 4쿼터의 교차점에 뿌리를 제공합니다. 두 번째 시리즈는 정반대이며 첫 번째와 두 번째 분기의 경계에 뿌리가 생깁니다. 그러므로 이 시리즈는 우리에게 적합하지 않습니다.
답변: ,
그리고 다시 "어려운 비합리성"이 있는 삼각법 예제. 다시 근 아래에 삼각 함수가 있을 뿐만 아니라 이제 분모에도 있습니다!
실시예 5.
글쎄, 아무것도 할 수 없습니다. 우리는 이전처럼합니다.
이제 우리는 분모를 사용하여 작업합니다.
나는 삼각 부등식을 풀고 싶지 않기 때문에 교활한 일을 할 것입니다. 일련의 근을 부등식으로 대체하겠습니다.
-가 짝수이면 다음과 같습니다.
왜냐하면 시야의 모든 각도가 4쿼터에 있기 때문입니다. 그리고 다시 신성한 질문: 4분기 사인의 부호는 무엇입니까? 부정적인. 그러면 불평등
-홀수인 경우:
각도는 어느 부분에 있습니까? 2쿼터의 코너입니다. 그러면 모든 코너킥은 다시 2쿼터의 코너킥이 됩니다. 거기의 사인은 양수입니다. 꼭 필요한 것! 따라서 시리즈는 다음과 같습니다.
맞다!
우리는 같은 방식으로 두 번째 근 계열을 다룹니다.
우리는 불평등을 다음과 같이 대체합니다.
그렇다면 - 짝수라면
1쿼터 코너킥. 사인이 양수이므로 계열이 적합하다는 의미입니다. 이제 - 홀수이면 다음과 같습니다.
너무 맞는다!
자, 이제 답을 적어보겠습니다!
답변:
글쎄, 이것은 아마도 가장 노동집약적인 사건이었을 것이다. 이제 스스로 해결해야 할 문제를 제안합니다.
훈련
- 세그먼트에 속하는 방정식의 모든 근을 풀고 찾습니다.
솔루션:
첫 번째 방정식:
또는
루트의 ODZ:두 번째 방정식:
간격에 속하는 근 선택
답변:
또는
또는
하지만
다음을 고려해 봅시다: . 그렇다면 - 짝수라면
- 안 맞아요!
만약 - 홀수, : - 적합합니다!
이는 방정식에 다음과 같은 일련의 근이 있음을 의미합니다.
또는
간격에서 근 선택:
| - 적합하지 않다 | - 맞다 | |
| - 맞다 | - 많은 | |
| - 맞다 | 많은 |
답변: , .
또는
그 이후로 접선은 정의되지 않습니다. 우리는 이 일련의 뿌리를 즉시 폐기합니다!
두 번째 부분:
동시에 DZ에 따르면 다음이 필요합니다.
첫 번째 방정식에서 찾은 근을 확인합니다.
표시가 다음과 같은 경우:
접선이 양수인 1/4각입니다. 맞지 않습니다!
표시가 다음과 같은 경우:
4쿼터 코너. 거기에서 접선은 음수입니다. 맞다. 우리는 답을 적습니다:
답변: , .
이 글에서는 복잡한 삼각함수 예제를 함께 살펴보았지만 방정식은 직접 풀어야 합니다.
요약 및 기본 공식
삼각 방정식은 미지수가 삼각 함수의 부호 아래에 있는 방정식입니다.
삼각 방정식을 푸는 방법에는 두 가지가 있습니다.
첫 번째 방법은 수식을 사용하는 것입니다.
두 번째 방법은 삼각법 원을 이용하는 것입니다.
각도를 측정하고 사인, 코사인 등을 찾을 수 있습니다.
