복잡한 로그 방정식을 푸는 방법. 로그 방정식 풀기 - 최종 강의
로그 방정식 풀기. 1 부.
로그 방정식는 로그의 부호 아래(특히 로그의 밑 부분)에 미지수가 포함되어 있는 방정식입니다.
가장 간단한 대수 방정식형식은 다음과 같습니다.
로그 방정식 풀기로그에서 로그 기호 아래의 표현으로의 전환이 포함됩니다. 그러나 이 작업은 방정식의 허용 가능한 값 범위를 확장하고 불필요한 근이 나타날 수 있습니다. 외국 뿌리의 출현을 피하기 위해, 다음 세 가지 방법 중 하나를 수행할 수 있습니다.
1. 동등한 전환 만들기원래 방정식에서 다음을 포함하는 시스템으로
어떤 불평등이냐 단순한가에 따라.
방정식의 로그 밑수에 미지수가 포함되어 있는 경우:
그런 다음 시스템으로 이동합니다.
2. 방정식의 허용 가능한 값 범위를 별도로 찾으십시오., 그런 다음 방정식을 풀고 찾은 해가 방정식을 만족하는지 확인합니다.
3. 방정식을 풀고, 확인하다:찾은 해를 원래 방정식에 대입하고 올바른 평등을 얻었는지 확인하십시오.
모든 복잡성 수준의 로그 방정식은 항상 궁극적으로 가장 간단한 로그 방정식으로 축소됩니다.
모든 로그 방정식은 네 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.
1 . 1차 거듭제곱에 대한 로그만 포함하는 방정식입니다. 변형과 사용의 도움으로 형태가 만들어집니다.
예. 방정식을 풀어 봅시다:
로그 기호 아래의 표현식을 동일시해 보겠습니다.
방정식의 근이 다음을 만족하는지 확인해 보겠습니다.
네, 만족합니다.
답: x=5
2 . 1이 아닌 거듭제곱에 대한 로그(특히 분수의 분모)를 포함하는 방정식. 이러한 방정식은 다음을 사용하여 풀 수 있습니다. 변수 변경 도입.
예.방정식을 풀어 봅시다:
ODZ 방정식을 찾아보겠습니다.
방정식에는 제곱된 로그가 포함되어 있으므로 변수 변경을 사용하여 풀 수 있습니다.
중요한! 대체를 도입하기 전에 로그의 속성을 사용하여 방정식의 일부인 로그를 "벽돌"로 "분리"해야 합니다.
로그를 "분리"할 때 로그의 속성을 매우 신중하게 사용하는 것이 중요합니다.
또한 여기에는 미묘한 점이 하나 더 있으며 일반적인 실수를 피하기 위해 중간 동등성을 사용합니다. 로그의 정도를 다음 형식으로 작성합니다.
비슷하게,
결과 표현식을 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
이제 우리는 미지수가 의 일부로 방정식에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 대체품을 소개해보자: . 실제 값을 취할 수 있으므로 변수에 제한을 두지 않습니다.
우리는 모두 초등학교 때부터 방정식에 익숙합니다. 그곳에서 우리는 가장 간단한 예를 푸는 방법도 배웠으며, 그것이 더 높은 수학에서도 적용된다는 것을 인정해야 합니다. 이차 방정식을 포함한 방정식으로 모든 것이 간단합니다. 이 주제에 대해 문제가 있는 경우 해당 주제를 검토해 보시기 바랍니다.
당신도 이미 로그를 살펴봤을 것입니다. 그러나 아직 모르는 사람들을 위해 그것이 무엇인지 알려주는 것이 중요하다고 생각합니다. 로그는 로그 기호 오른쪽에 있는 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱과 동일합니다. 모든 것이 명확해질 수 있는 예를 들어 보겠습니다.
3의 4승을 올리면 81이 됩니다. 이제 비유를 통해 숫자를 대입하면 마침내 로그가 어떻게 해결되는지 이해하게 될 것입니다. 이제 남은 것은 논의된 두 가지 개념을 결합하는 것입니다. 처음에는 상황이 매우 복잡해 보이지만 자세히 살펴보면 무게가 제자리에 있습니다. 이 짧은 기사 후에는 통합 상태 시험의 이 부분에서 문제가 발생하지 않을 것이라고 확신합니다.
오늘날 이러한 구조를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 통합 상태 시험 작업의 경우 가장 간단하고 효과적이며 적용 가능한 방법에 대해 알려 드리겠습니다. 로그 방정식을 푸는 것은 가장 간단한 예부터 시작해야 합니다. 가장 간단한 로그 방정식은 함수와 그 안에 있는 하나의 변수로 구성됩니다.
x가 인수 내부에 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. A와 b는 숫자여야 합니다. 이 경우 간단히 숫자의 거듭제곱으로 함수를 표현할 수 있습니다. 이렇게 생겼습니다.
물론, 이 방법을 이용하여 로그방정식을 풀면 정답을 얻을 수 있을 것이다. 이 경우 대다수 학생들의 문제는 무엇이 어디서 오는지 이해하지 못한다는 것입니다. 결과적으로 실수를 참아야 하고 원하는 점수를 얻지 못하게 됩니다. 가장 공격적인 실수는 글자를 혼동하는 것입니다. 이런 식으로 방정식을 풀려면 이 학교 표준 공식이 이해하기 어렵기 때문에 외워야 합니다.
더 쉽게 만들기 위해 표준 형식이라는 다른 방법을 사용할 수 있습니다. 아이디어는 매우 간단합니다. 문제에 다시 주의를 돌리십시오. 문자 a는 함수나 변수가 아니라 숫자라는 점을 기억하세요. A는 1과 같지 않고 0보다 큽니다. b에는 제한이 없습니다. 이제 모든 공식 중에서 하나를 기억해 봅시다. B는 다음과 같이 표현될 수 있다.
이에 따라 로그가 포함된 모든 원래 방정식은 다음 형식으로 표현될 수 있습니다.
이제 로그를 삭제할 수 있습니다. 그 결과는 우리가 이미 앞에서 본 단순한 디자인입니다.
이 공식의 편리함은 가장 단순한 디자인뿐만 아니라 다양한 경우에 사용할 수 있다는 사실에 있습니다.
OOF에 대해 걱정하지 마세요!
경험이 풍부한 많은 수학자들은 우리가 정의 영역에 주의를 기울이지 않았다는 것을 알게 될 것입니다. 이 규칙은 F(x)가 반드시 0보다 크다는 사실로 귀결됩니다. 아니요, 우리는 이 점을 놓치지 않았습니다. 이제 우리는 정식 형식의 또 다른 심각한 이점에 대해 이야기하고 있습니다.
여기에는 추가 뿌리가 없습니다. 변수가 한 위치에만 나타나면 범위가 필요하지 않습니다. 자동으로 수행됩니다. 이 판단을 검증하려면 몇 가지 간단한 예를 풀어보세요.
다양한 밑수를 사용하여 로그 방정식을 푸는 방법
이는 이미 복잡한 로그 방정식이므로 이를 해결하는 접근 방식은 특별해야 합니다. 여기서는 악명 높은 표준 형식으로 제한하는 것이 거의 불가능합니다. 자세한 이야기를 시작하겠습니다. 우리는 다음과 같은 구성을 가지고 있습니다.
분수에 주의하세요. 여기에는 로그가 포함되어 있습니다. 작업에서 이 내용을 본다면 한 가지 흥미로운 트릭을 기억해 두는 것이 좋습니다.
무슨 뜻이에요? 각 로그는 편리한 밑을 갖는 두 로그의 몫으로 표현될 수 있습니다. 그리고 이 공식에는 이 예에 적용할 수 있는 특별한 경우가 있습니다(c=b인 경우를 의미합니다).
이것이 바로 우리의 예에서 볼 수 있는 분수입니다. 따라서.
본질적으로 우리는 분수를 뒤집어서 좀 더 편리한 표현을 얻었습니다. 이 알고리즘을 기억하세요!
이제 로그 방정식에 다른 밑수를 포함하지 않는 것이 필요합니다. 밑을 분수로 표현해 봅시다.
수학에는 기본에서 학위를 파생할 수 있는 규칙이 있습니다. 다음과 같은 시공 결과입니다.
이제 우리의 표현을 정식 형식으로 바꾸고 간단히 해결하는 것을 방해하는 것은 무엇입니까? 그렇게 간단하지는 않습니다. 로그 앞에는 분수가 없어야 합니다. 이 상황을 해결하자! 분수를 도로 사용하는 것이 허용됩니다.
각기.
밑이 동일하면 로그를 제거하고 표현식 자체를 동일시할 수 있습니다. 이렇게 하면 상황이 이전보다 훨씬 단순해질 것입니다. 남은 것은 우리 각자가 8학년, 심지어 7학년 때 풀 수 있었던 기본 방정식입니다. 계산은 직접 할 수 있습니다.
우리는 이 로그 방정식의 유일한 정확한 근을 얻었습니다. 로그 방정식을 푸는 예는 매우 간단합니다. 그렇지 않습니까? 이제 통합 상태 시험을 준비하고 통과하기 위한 가장 복잡한 작업도 독립적으로 처리할 수 있습니다.
결과는 무엇입니까?
로그 방정식의 경우, 우리는 하나의 매우 중요한 규칙을 따릅니다. 표현을 가능한 가장 단순한 형태로 줄이는 방식으로 행동할 필요가 있습니다. 이 경우 작업을 올바르게 해결할 수 있을 뿐만 아니라 가능한 가장 간단하고 논리적인 방법으로 작업을 수행할 수 있는 더 나은 기회를 갖게 됩니다. 이것이 바로 수학자들이 항상 일하는 방식입니다.
특히 이 경우에는 어려운 경로를 찾는 것을 강력히 권장하지 않습니다. 어떤 표현이든 변형할 수 있는 몇 가지 간단한 규칙을 기억하세요. 예를 들어 로그 2~3개를 동일한 밑수로 줄이거나 밑수에서 거듭제곱을 도출하여 이에 승리합니다.
로그 방정식을 푸는 데는 지속적인 연습이 필요하다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 점차적으로 점점 더 복잡한 구조로 이동하게 되며 이를 통해 통합 상태 시험의 모든 변형 문제를 자신있게 해결할 수 있습니다. 시험을 미리 잘 준비하시고 행운을 빕니다!
로그 방정식 풀이에 관한 긴 강의 시리즈의 마지막 비디오입니다. 이번에는 주로 로그의 ODZ를 사용하여 작업할 것입니다. 이러한 문제를 해결할 때 대부분의 오류가 발생하는 것은 바로 정의 영역을 잘못 고려(또는 무시)하기 때문입니다.
이 짧은 비디오 강의에서 우리는 로그의 덧셈과 뺄셈을 위한 공식의 사용법을 살펴보고, 많은 학생들이 어려워하는 분수 유리 방정식도 다룰 것입니다.
우리는 무엇에 대해 이야기할까요? 내가 이해하고 싶은 주요 공식은 다음과 같습니다.
로그 a (f g ) = 로그 a f + 로그 a g
이는 곱에서 로그 합계로의 표준 전환과 그 반대로의 표준 전환입니다. 당신은 아마도 로그를 공부할 때부터 이 공식을 알고 있을 것입니다. 그러나 한 가지 장애가 있습니다.
변수 a, f, g가 일반 숫자인 한 문제가 발생하지 않습니다. 이 공식은 훌륭하게 작동합니다.
그러나 f와 g 대신 함수가 등장하자마자 어떤 방향으로 변환하느냐에 따라 정의 영역을 확장하거나 축소하는 문제가 발생합니다. 스스로 판단하세요. 왼쪽에 적힌 로그에서 정의 영역은 다음과 같습니다.
fg > 0
그러나 오른쪽에 적힌 금액에서 정의 영역은 이미 다소 다릅니다.
f > 0
g > 0
이 요구 사항은 원래 요구 사항보다 더 엄격합니다. 첫 번째 경우에는 옵션 f에 만족합니다.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0이 실행됩니다).
따라서 왼쪽 구성에서 오른쪽 구성으로 이동하면 정의 영역이 좁아집니다. 처음에 합계를 갖고 이를 곱의 형태로 다시 작성하면 정의 영역이 확장됩니다.
즉, 첫 번째 경우에는 뿌리를 잃을 수 있고 두 번째 경우에는 추가 뿌리를 얻을 수 있습니다. 실수 로그 방정식을 풀 때 이 점을 고려해야 합니다.
첫 번째 작업은 다음과 같습니다.
[사진 캡션] 왼쪽에는 동일한 밑수를 사용하는 로그의 합이 표시됩니다. 따라서 다음과 같은 로그를 추가할 수 있습니다.
[사진 캡션] 보시다시피 오른쪽에서는 다음 공식을 사용하여 0을 대체했습니다.
a = 로그 b b a
방정식을 좀 더 재정렬해 보겠습니다.
로그 4 (x − 5) 2 = 로그 4 1
우리 앞에는 로그 방정식의 표준 형식이 있으며, 로그 기호를 지우고 인수를 동일시할 수 있습니다.
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
참고: 모듈은 어디에서 왔습니까? 정확한 제곱의 근은 모듈러스와 동일하다는 점을 상기시켜 드리겠습니다.
[사진 캡션] 그런 다음 모듈러스를 사용하여 고전 방정식을 푼다.
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
다음은 두 가지 후보 답변입니다. 원래의 로그 방정식에 대한 해법인가요? 안 돼요!
우리는 모든 것을 그대로 두고 답을 적을 권리가 없습니다. 로그의 합을 인수 곱의 하나의 로그로 바꾸는 단계를 살펴보세요. 문제는 원래 표현식에 함수가 있다는 것입니다. 따라서 다음이 필요합니다.
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
제품을 변환하여 정확한 제곱을 얻었을 때 요구 사항이 변경되었습니다.
(x − 5) 2 > 0
이 요구 사항은 언제 충족됩니까? 예, 거의 항상 그렇습니다! x − 5 = 0인 경우를 제외합니다. 즉 불평등은 하나의 구멍이 있는 지점으로 줄어들 것입니다.
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
보시다시피 정의의 범위가 확장되었습니다. 이는 수업 초반에 이야기했던 것입니다. 결과적으로 추가 루트가 나타날 수 있습니다.
이러한 추가 루트가 나타나는 것을 어떻게 방지할 수 있습니까? 매우 간단합니다. 얻은 근을 보고 이를 원래 방정식의 정의 영역과 비교합니다. 세어보자:
x(x − 5) > 0
간격 방법을 사용하여 해결하겠습니다.
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; 엑스 = 5
결과 숫자를 줄에 표시합니다. 불평등이 엄격하기 때문에 모든 점이 누락되었습니다. 5보다 큰 임의의 숫자를 취해 다음과 같이 대체하십시오.
[사진 캡션] 우리는 간격 (−무한대; 0) ∪ (5; 무한대)에 관심이 있습니다. 세그먼트에 근을 표시하면 x = 4가 우리에게 적합하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 이 근은 원래 로그 방정식의 정의 영역 외부에 있기 때문입니다.
전체로 돌아가 x = 4의 근을 지우고 답을 적습니다: x = 6. 이것은 원래 로그 방정식에 대한 최종 답입니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.
두 번째 로그 방정식으로 넘어가겠습니다.
[사진 캡션] 해결해 봅시다. 첫 번째 항은 분수이고 두 번째 항은 동일한 분수이지만 반전되어 있습니다. lgx라는 표현에 겁먹지 마세요. 이는 단지 십진수 로그일 뿐이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
lgx = 로그 10 x
두 개의 반전된 분수가 있으므로 새 변수를 도입할 것을 제안합니다.
[사진 캡션] 따라서 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
티 + 1/티 = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
보시다시피 분수의 분자는 정확한 제곱입니다. 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다.
(t – 1) 2 = 0; 티 ≠ 0
첫 번째 방정식을 풀어보겠습니다.
t - 1 = 0;
티 = 1.
이 값은 두 번째 요구 사항을 충족합니다. 따라서 방정식을 완전히 풀었다고 말할 수 있지만 변수 t에 대해서만 풀었습니다. 이제 t가 무엇인지 기억해 봅시다:
[사진 캡션]우리는 비율을 얻었습니다.
로그x = 2 로그x + 1
2 로그x − 로그x = −1
로그x = -1
우리는 이 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다.
logx = 로그 10 −1
x = 10 −1 = 0.1
결과적으로 우리는 이론적으로 원래 방정식의 해인 단일 근을 얻었습니다. 그러나 여전히 안전하다고 생각하고 원래 방정식의 정의 영역을 작성해 보겠습니다.
[사진 캡션] 따라서 우리의 루트는 모든 요구 사항을 충족합니다. 우리는 원래의 로그 방정식에 대한 해를 찾았습니다. 답: x = 0.1. 문제가 해결되었습니다.
오늘 수업의 핵심 사항은 단 하나입니다. 곱에서 합계로 이동하고 그 반대로 이동하는 공식을 사용할 때 전환 방향에 따라 정의 범위가 좁아지거나 확장될 수 있다는 점을 고려해야 합니다.
무슨 일이 일어나고 있는지 이해하는 방법: 수축 또는 확장? 매우 간단합니다. 이전에는 기능이 함께 있었지만 지금은 분리된 경우 정의 범위가 좁아졌습니다(요구 사항이 더 많기 때문에). 처음에 기능이 별도로 존재했다가 이제는 함께 있으면 정의 영역이 확장됩니다(개별 요소보다 제품에 적용되는 요구 사항이 더 적음).
이 설명을 고려하여 두 번째 로그 방정식에는 이러한 변환이 전혀 필요하지 않습니다. 즉, 어디에도 인수를 추가하거나 곱하지 않는다는 점에 주목하고 싶습니다. 그러나 여기서는 솔루션을 크게 단순화할 수 있는 또 다른 훌륭한 기술에 주목하고 싶습니다. 변수를 교체하는 것입니다.
그러나 어떤 대체도 정의 범위에서 벗어나지 않는다는 점을 기억하십시오. 그렇기 때문에 모든 근을 찾은 후에 우리는 게으르지 않고 원래 방정식으로 돌아가서 ODZ를 찾았습니다.
종종 변수를 대체할 때 학생들이 t의 값을 찾고 해법이 완전하다고 생각할 때 짜증나는 오류가 발생합니다. 안 돼요!
t 값을 찾았으면 원래 방정식으로 돌아가서 이 문자가 정확히 무엇을 의미하는지 확인해야 합니다. 결과적으로 우리는 방정식을 하나 더 풀어야 하지만 원래 방정식보다 훨씬 간단합니다.
이것이 바로 새로운 변수를 도입하는 지점이다. 우리는 원래 방정식을 두 개의 중간 방정식으로 분할했는데, 각 방정식은 훨씬 더 간단한 해를 갖고 있습니다.
"중첩된" 로그 방정식을 푸는 방법
오늘 우리는 로그 방정식을 계속 연구하고 하나의 로그가 다른 로그의 부호 아래에 있을 때 구성을 분석할 것입니다. 우리는 표준 형식을 사용하여 두 방정식을 모두 풀 것입니다.
오늘 우리는 로그 방정식을 계속 연구하고 하나의 로그가 다른 로그의 부호 아래에 있을 때 구성을 분석할 것입니다. 우리는 표준 형식을 사용하여 두 방정식을 모두 풀 것입니다. log a f (x) = b 형식의 가장 간단한 로그 방정식이 있는 경우 이러한 방정식을 풀기 위해 다음 단계를 수행한다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 우선, 숫자 b를 바꿔야 합니다.
b = 로그 a a b
참고: a b는 인수입니다. 마찬가지로 원래 방정식에서 인수는 함수 f(x)입니다. 그런 다음 방정식을 다시 작성하고 다음 구성을 얻습니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
그런 다음 세 번째 단계를 수행할 수 있습니다. 로그 기호를 제거하고 간단히 작성하면 됩니다.
에프(x) = ab
결과적으로 우리는 새로운 방정식을 얻습니다. 이 경우 함수 f(x)에는 제한이 없습니다. 예를 들어 로그 함수도 대신할 수 있습니다. 그런 다음 우리는 다시 로그 방정식을 얻을 것이며, 이를 다시 가장 간단한 형태로 줄이고 표준 형식을 통해 풀 것입니다.
그러나 가사는 충분합니다. 실제 문제를 해결해 보겠습니다. 따라서 작업 번호 1은 다음과 같습니다.
로그 2 (1 + 3 로그 2 x ) = 2
보시다시피 간단한 로그 방정식이 있습니다. f (x)의 역할은 1 + 3 log 2 x 구성이고 숫자 b의 역할은 숫자 2입니다 (a의 역할도 2로 수행됩니다). 이 두 가지를 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
처음 두 개의 2가 로그의 밑에서 왔다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 즉, 원래 방정식에 5가 있으면 2 = log 5 5 2를 얻게 됩니다. 일반적으로 밑은 원래 문제에 제공된 로그에만 의존합니다. 그리고 우리의 경우 이것은 숫자 2입니다.
그래서 우리는 오른쪽에 있는 두 개가 실제로 로그라는 사실을 고려하여 로그 방정식을 다시 작성합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
로그 2 (1 + 3 로그 2 x ) = 로그 2 4
우리 계획의 마지막 단계인 표준 형식을 제거해 보겠습니다. 단순히 로그 표시에 줄을 그어 지운다고 말할 수도 있습니다. 그러나 수학적 관점에서 "로그를 지우는" 것은 불가능합니다. 단순히 인수를 동일시한다고 말하는 것이 더 정확할 것입니다.
1 + 3 로그 2 x = 4
여기에서 우리는 3 log 2 x를 쉽게 찾을 수 있습니다:
3 로그 2 x = 3
로그 2 x = 1
우리는 다시 가장 간단한 로그 방정식을 얻었습니다. 이를 표준 형식으로 다시 가져옵니다. 이렇게 하려면 다음과 같이 변경해야 합니다.
1 = 로그 2 2 1 = 로그 2 2
왜 밑부분에 2가 있는 걸까요? 왼쪽의 정식 방정식에는 정확히 밑이 2인 로그가 있기 때문입니다. 우리는 이 사실을 고려하여 문제를 다시 작성합니다.
로그 2 x = 로그 2 2
다시 우리는 로그 기호를 제거합니다. 즉, 단순히 인수를 동일시합니다. 베이스가 동일하고 오른쪽이나 왼쪽에서 더 이상 추가 작업이 수행되지 않았기 때문에 이를 수행할 권리가 있습니다.
그게 다야! 문제가 해결되었습니다. 우리는 로그 방정식의 해를 찾았습니다.
메모! 변수 x가 인수에 나타나더라도(즉, 정의 영역에 대한 요구 사항이 있음) 추가 요구 사항을 만들지 않습니다.
위에서 말했듯이 변수가 단 하나의 로그 중 하나의 인수에만 나타나는 경우 이 검사는 중복됩니다. 우리의 경우 x는 실제로 인수에만 나타나며 하나의 로그 기호 아래에만 나타납니다. 따라서 추가 확인이 필요하지 않습니다.
그러나 이 방법을 신뢰하지 않는다면 x = 2가 실제로 루트인지 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 숫자를 원래 방정식으로 대체하는 것으로 충분합니다.
두 번째 방정식으로 넘어가 보겠습니다. 좀 더 흥미롭습니다.
로그 2(로그 1/2(2x − 1) + 로그 2 4) = 1
함수 f (x)를 사용하여 큰 로그 내부의 표현식을 표시하면 오늘 비디오 강의를 시작한 가장 간단한 로그 방정식을 얻습니다. 그러므로 우리는 로그 2 2 1 = 로그 2 2 형식으로 단위를 표현해야 하는 표준 형식을 적용할 수 있습니다.
우리의 큰 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
로그 2 (로그 1/2 (2x − 1) + 로그 2 4) = 로그 2 2
인수를 동일시하는 로그의 부호에서 벗어나자. 우리는 이것을 할 권리가 있습니다. 왜냐하면 왼쪽과 오른쪽의 기초가 동일하기 때문입니다. 또한 로그 2 4 = 2라는 점에 유의하세요.
로그 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
로그 1/2 (2x − 1) = 0
우리 앞에는 log a f (x) = b 형식의 가장 간단한 로그 방정식이 있습니다. 즉, 로그 1/2(1/2)0 = 로그 1/2 1 형식으로 0을 나타냅니다.
방정식을 다시 작성하고 로그 기호를 제거하여 인수를 동일시합니다.
로그 1/2 (2x − 1) = 로그 1/2 1
2x − 1 = 1
이번에도 우리는 즉시 답변을 받았습니다. 원래 방정식에서는 단 하나의 로그에만 함수가 인수로 포함되어 있으므로 추가 확인이 필요하지 않습니다.
따라서 추가 확인이 필요하지 않습니다. x = 1이 이 방정식의 유일한 근이라고 안전하게 말할 수 있습니다.
그러나 두 번째 로그에 4 대신 x의 함수가 있는 경우(또는 2x가 인수에 없지만 밑수에 있는 경우) 정의 영역을 확인해야 합니다. 그렇지 않으면 추가 루트가 발생할 가능성이 높습니다.
이 여분의 뿌리는 어디에서 왔습니까? 이 점을 매우 명확하게 이해해야 합니다. 원래 방정식을 살펴보십시오. 함수 x가 로그 기호 아래에 있는 모든 곳에서. 결과적으로 우리는 로그 2 x를 기록했기 때문에 자동으로 요구 사항 x > 0을 설정합니다. 그렇지 않으면 이 항목은 의미가 없습니다.
그러나 로그 방정식을 풀면서 로그 기호를 모두 제거하고 간단한 구성을 얻게 됩니다. 선형 함수는 모든 x 값에 대해 정의되므로 여기에는 제한 사항이 설정되지 않습니다.
최종 함수가 모든 곳에서 항상 정의되지만 원래 함수가 모든 곳에서 정의되지 않고 항상 그런 것은 아닌 경우가 바로 이 문제입니다. 이것이 로그 방정식을 풀 때 추가 근이 자주 발생하는 이유입니다.
그러나 다시 한 번 반복합니다. 이것은 함수가 여러 로그에 있거나 그 중 하나의 밑수에 있는 상황에서만 발생합니다. 오늘 우리가 고려하고 있는 문제에서는 원칙적으로 정의 영역을 확장하는 데 문제가 없습니다.
다양한 사유의 사례
이 수업에서는 보다 복잡한 구조를 다룹니다. 오늘날 방정식의 로그는 더 이상 즉시 해결되지 않으며 일부 변환이 먼저 수행되어야 합니다.
우리는 서로의 정확한 거듭제곱이 아닌 완전히 다른 밑수를 사용하여 로그 방정식을 풀기 시작합니다. 그러한 문제를 두려워하지 마십시오. 위에서 논의한 가장 간단한 디자인보다 해결하기가 더 어렵지 않습니다.
그러나 문제로 직접 넘어가기 전에, 표준 형식을 사용하여 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 공식을 상기시켜 드리겠습니다. 다음과 같은 문제를 생각해 보세요.
로그 a f(x) = b
함수 f(x)는 단지 함수이고 숫자 a와 b의 역할은 숫자(변수 x 없이)여야 한다는 것이 중요합니다. 물론, 문자 그대로 잠시 후에 변수 a와 b 대신 함수가 있는 경우를 살펴보겠지만 지금은 그게 아닙니다.
우리가 기억하는 것처럼 숫자 b는 왼쪽에 있는 동일한 밑수 a에 대한 로그로 대체되어야 합니다. 이는 매우 간단하게 수행됩니다.
b = 로그 a a b
물론, "임의의 수 b"와 "임의의 수 a"라는 단어는 정의 범위를 만족하는 값을 의미한다. 특히, 이 방정식에서 우리 얘기 중이야밑은 a > 0이고 a ≠ 1입니다.
그러나 원래 문제에는 이미 a를 밑으로 하는 로그가 포함되어 있기 때문에 이 요구 사항은 자동으로 충족됩니다. 이는 확실히 0보다 크고 1과 같지 않을 것입니다. 따라서 로그 방정식을 계속해서 풀겠습니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
이러한 표기법을 표준형(canonical form)이라고 합니다. 그 편리함은 인수를 동일시하여 로그 기호를 즉시 제거할 수 있다는 사실에 있습니다.
에프(x) = ab
이제 우리가 변수 베이스를 사용하여 로그 방정식을 푸는 데 사용할 기술이 바로 이 기술입니다. 자, 가자!
로그 2 (x 2 + 4x + 11) = 로그 0.5 0.125
무엇 향후 계획? 이제 누군가는 올바른 로그를 계산하거나 동일한 밑수 또는 다른 것으로 줄여야 한다고 말할 것입니다. 그리고 실제로 이제 우리는 두 염기를 모두 2 또는 0.5라는 동일한 형태로 가져와야 합니다. 하지만 다음 규칙을 한 번만 배워 보겠습니다.
로그 방정식에 소수가 있는 경우 해당 분수를 소수에서 일반 표기법으로 변환해야 합니다. 이러한 변환을 통해 솔루션이 크게 단순화될 수 있습니다.
이러한 전환은 작업이나 변환을 수행하기 전이라도 즉시 수행되어야 합니다. 살펴보자:
로그 2 (x 2 + 4x + 11) = 로그 1 /2 1/8
그러한 기록은 우리에게 무엇을 주는가? 1/2과 1/8을 음의 지수를 갖는 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다.
[사진 캡션] 우리 앞에는 표준 형식이 있습니다. 우리는 인수를 동일시하고 고전적인 이차 방정식을 얻습니다.
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
우리 앞에는 Vieta의 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있는 다음과 같은 2차 방정식이 있습니다. 고등학교에서는 유사한 디스플레이를 문자 그대로 구두로 볼 수 있습니다.
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
그게 다야! 원래의 로그 방정식이 풀렸습니다. 우리는 두 개의 뿌리를 얻었습니다.
이 경우 변수 x를 갖는 함수는 하나의 인수에만 존재하므로 정의 영역을 결정할 필요가 없다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 따라서 정의 범위가 자동으로 수행됩니다.
따라서 첫 번째 방정식이 해결되었습니다. 두 번째로 넘어 갑시다 :
로그 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = 로그 3 1/9
로그 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = 로그 3 9 −1
이제 첫 번째 로그의 인수는 음의 지수를 갖는 거듭제곱으로 쓰여질 수도 있습니다: 1/2 = 2 −1. 그런 다음 방정식의 양쪽에 거듭제곱을 적용하고 모든 것을 -1로 나눌 수 있습니다.
[사진 캡션] 이제 우리는 로그 방정식을 푸는 데 매우 중요한 단계를 완료했습니다. 어쩌면 누군가가 뭔가를 눈치 채지 못했을 수도 있으므로 설명하겠습니다.
방정식을 보세요. 왼쪽과 오른쪽 모두 로그 기호가 있지만 왼쪽에는 밑수 2에 대한 로그가 있고 오른쪽에는 밑수 3에 대한 로그가 있습니다. 3은 다음의 정수 거듭제곱이 아닙니다. 2이고 반대로 2는 정수 각도에서 3이라고 쓸 수 없습니다.
결과적으로, 이는 단순히 거듭제곱을 더하는 것만으로는 서로 축소될 수 없는 서로 다른 밑을 갖는 로그입니다. 이러한 문제를 해결하는 유일한 방법은 이러한 로그 중 하나를 제거하는 것입니다. 이 경우 우리는 여전히 매우 간단한 문제를 고려하고 있기 때문에 오른쪽의 로그는 간단히 계산되어 가장 간단한 방정식을 얻었습니다. 바로 오늘 수업의 시작 부분에서 이야기했던 것과 똑같습니다.
오른쪽에 있는 숫자 2를 log 2 2 2 = log 2 4로 표현해 보겠습니다. 그런 다음 로그 기호를 제거하고 나면 간단히 이차 방정식만 남습니다.
로그 2 (5x 2 + 9x + 2) = 로그 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
우리 앞에는 일반적인 이차 방정식이 있지만 x 2의 계수가 1과 다르기 때문에 축소되지 않습니다. 따라서 판별식을 사용하여 이를 해결하겠습니다.
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
그게 다야! 우리는 두 근을 모두 찾았습니다. 이는 원래 로그 방정식의 해를 얻었음을 의미합니다. 실제로 원래 문제에서는 변수 x가 있는 함수가 하나의 인수에만 존재합니다. 결과적으로 정의 영역에 대한 추가 검사가 필요하지 않습니다. 우리가 찾은 두 루트 모두 가능한 모든 제한 사항을 확실히 충족합니다.
이것으로 오늘의 비디오 강의가 끝날 수 있지만 결론적으로 다시 말씀드리고 싶습니다. 로그 방정식을 풀 때는 모든 소수를 일반 분수로 변환해야 합니다. 대부분의 경우 이는 솔루션을 크게 단순화합니다.
소수를 제거하면 계산이 복잡해지는 문제가 아주 드물게 발생합니다. 그러나 이러한 방정식에서는 일반적으로 소수점 이하 자릿수를 제거할 필요가 없다는 것이 처음에는 분명합니다.
대부분의 경우(특히 대수 방정식 풀기 연습을 막 시작했다면) 자유롭게 소수를 없애고 일반 소수로 변환하세요. 실습에 따르면 이러한 방식으로 후속 솔루션과 계산이 크게 단순화됩니다.
솔루션의 미묘함과 요령
오늘 우리는 더 복잡한 문제로 넘어가서 숫자가 아닌 함수를 기반으로 하는 로그 방정식을 풀 것입니다.
그리고 이 함수가 선형이더라도 해법 체계에 작은 변경이 이루어져야 하며, 이는 로그 정의 영역에 부과된 추가 요구 사항으로 귀결됩니다.
복잡한 작업
이 튜토리얼은 꽤 길 것입니다. 여기에서 우리는 많은 학생들이 실수를 하는 문제를 해결할 때 두 가지 심각한 로그 방정식을 분석할 것입니다. 수학 교사로 실습하는 동안 나는 끊임없이 두 가지 유형의 오류에 직면했습니다.
- 로그 정의 영역의 확장으로 인해 추가 근이 나타납니다. 그러한 공격적인 실수를 피하려면 각 변환을 주의 깊게 모니터링하십시오.
- 학생이 일부 "미묘한" 사례를 고려하는 것을 잊었다는 사실로 인한 뿌리 상실 - 이것이 오늘 우리가 집중할 상황입니다.
이것은 로그 방정식에 대한 마지막 수업입니다. 시간이 좀 걸리므로 복잡한 로그 방정식을 분석하겠습니다. 편안하게 차를 마시고 시작해 보세요.
첫 번째 방정식은 매우 표준적으로 보입니다.
로그 x + 1 (x − 0.5) = 로그 x − 0.5 (x + 1)
두 로그가 서로 반전된 복사본이라는 점을 즉시 알아두겠습니다. 멋진 공식을 기억해 봅시다:
로그 a b = 1/로그 b a
그러나 이 공식에는 숫자 a와 b 대신 변수 x의 함수가 있는 경우 발생하는 여러 가지 제한 사항이 있습니다.
비 > 0
1 ≠ a > 0
이러한 요구 사항은 로그의 밑수에 적용됩니다. 반면, 분수에서는 변수 a가 로그 인수일 뿐만 아니라(따라서 a > 0) 로그 자체가 분수의 분모에 있기 때문에 1 ≠ a > 0이어야 합니다. . 그러나 log b 1 = 0이고 분모는 0이 아니어야 하므로 a ≠ 1입니다.
따라서 변수 a에 대한 제한은 그대로 유지됩니다. 하지만 변수 b는 어떻게 되나요? 한편으로 밑은 b > 0을 의미하고, 반면에 로그의 밑은 1과 달라야 하기 때문에 변수 b ≠ 1을 의미합니다. 전체적으로 공식의 오른쪽에서 보면 1 ≠이 됩니다. b > 0.
그러나 여기에 문제가 있습니다. 왼쪽 로그를 다루는 첫 번째 부등식에는 두 번째 요구 사항(b ≠ 1)이 없습니다. 즉, 이 변환을 수행할 때 우리는 다음을 수행해야 합니다. 별도로 확인하세요, 인수 b가 1과 다르다는 것입니다!
그럼 확인해 보겠습니다. 공식을 적용해 보겠습니다.
[사진 캡션] 1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
따라서 우리는 원래 로그 방정식에서 이미 a와 b가 모두 0보다 크고 1과 같지 않아야 한다는 것을 얻었습니다. 이는 로그 방정식을 쉽게 뒤집을 수 있음을 의미합니다.
새로운 변수를 도입하는 것이 좋습니다.
로그 x + 1 (x − 0.5) = t
이 경우 구성은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
(t 2 − 1)/t = 0
분자에는 제곱의 차이가 있습니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하여 제곱의 차이를 나타냅니다.
(t − 1)(t + 1)/t = 0
분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다. 그러나 분자에는 곱이 포함되어 있으므로 각 요소를 0과 동일시합니다.
t 1 = 1;
t 2 = -1;
t ≠ 0.
보시다시피 변수 t의 두 값이 모두 우리에게 적합합니다. 그러나 해결책은 여기서 끝나지 않습니다. 왜냐하면 우리는 t가 아니라 x 값을 찾아야 하기 때문입니다. 로그로 돌아가서 다음을 얻습니다.
로그 x + 1 (x − 0.5) = 1;
로그 x + 1 (x − 0.5) = −1.
이러한 각 방정식을 표준 형식으로 표현해 보겠습니다.
로그 x + 1 (x − 0.5) = 로그 x + 1 (x + 1) 1
로그 x + 1 (x − 0.5) = 로그 x + 1 (x + 1) −1
첫 번째 경우에서 로그 기호를 제거하고 인수를 동일시합니다.
x − 0.5 = x + 1;
x − x = 1 + 0.5;
이러한 방정식에는 근이 없으므로 첫 번째 로그 방정식에도 근이 없습니다. 그러나 두 번째 방정식을 사용하면 모든 것이 훨씬 더 흥미로워집니다.
(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)
비율을 풀면 다음을 얻습니다.
(x − 0.5)(x + 1) = 1
로그 방정식을 풀 때 모든 소수를 일반 분수로 사용하는 것이 훨씬 더 편리하므로 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
아래의 2차 방정식이 있는데, Vieta의 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다.
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = -1.5;
x 2 = 1.
우리는 두 개의 근을 얻었습니다. 이는 원래 로그 방정식을 풀기 위한 후보입니다. 실제로 어떤 뿌리가 답에 들어갈지 이해하기 위해 원래 문제로 돌아가 보겠습니다. 이제 각 루트를 검사하여 정의 영역에 맞는지 확인하겠습니다.
1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.
이러한 요구 사항은 이중 불평등과 동일합니다.
1 ≠ x > 0.5
여기에서 우리는 루트 x = −1.5가 우리에게 적합하지 않지만 x = 1이 우리에게 매우 적합하다는 것을 즉시 알 수 있습니다. 따라서 x = 1은 로그 방정식의 최종 해입니다.
두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.
로그 x 25 + 로그 125 x 5 = 로그 25 x 625
언뜻 보기에 모든 로그는 서로 다른 밑수와 서로 다른 주장을 갖고 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러한 구조를 어떻게 해야 할까요? 우선, 숫자 25, 5, 625는 5의 거듭제곱이라는 점에 유의하세요.
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
이제 로그의 놀라운 특성을 활용해 보겠습니다. 요점은 요인의 형태로 논증에서 거듭제곱을 추출할 수 있다는 것입니다.
로그 a b n = n ∙ 로그 a b
이 변환은 b가 함수로 대체되는 경우에도 제한이 적용됩니다. 하지만 우리에게 b는 단지 숫자일 뿐이고 추가적인 제한이 발생하지 않습니다. 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
2 ∙ 로그 x 5 + 로그 125 x 5 = 4 ∙ 로그 25 x 5
우리는 로그 기호를 포함하는 세 개의 항을 갖는 방정식을 얻었습니다. 게다가 세 로그의 인수는 모두 동일합니다.
이제 로그를 뒤집어 동일한 밑수인 5로 가져올 차례입니다. 변수 b는 상수이므로 정의 영역에서는 변화가 발생하지 않습니다. 우리는 다음과 같이 다시 작성합니다.
[사진 캡션] 예상대로 분모에는 동일한 로그가 나타났습니다. 변수를 바꾸는 것이 좋습니다.
로그 5 x = 티
이 경우 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
분자를 작성하고 괄호를 열어 보겠습니다.
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
우리 분수로 돌아 갑시다. 분자는 0이어야 합니다.
[사진 캡션] 분모는 0과 다릅니다.
t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ −2
마지막 요구사항은 모두 정수에 "연결"되어 있고 모든 답변이 비합리적이므로 자동으로 충족됩니다.
따라서 분수 유리 방정식이 풀렸고 변수 t의 값이 발견되었습니다. 로그 방정식 풀이로 돌아가서 t가 무엇인지 기억해 봅시다.
[사진 캡션] 우리는 이 방정식을 표준 형식으로 축소하고 비합리적인 숫자를 얻습니다. 이것이 당신을 혼란스럽게 하지 않도록 하십시오 - 심지어 그러한 주장도 동일시될 수 있습니다:
[사진 캡션] 우리는 두 개의 뿌리를 얻었습니다. 보다 정확하게는 두 가지 후보 답변입니다. 정의 영역을 준수하는지 확인해 보겠습니다. 로그의 밑이 변수 x이므로 다음이 필요합니다.
1 ≠ x > 0;
동일한 성공으로 우리는 x ≠ 1/125라고 주장합니다. 그렇지 않으면 두 번째 로그의 밑이 1로 바뀔 것입니다. 마지막으로 세 번째 로그의 경우 x ≠ 1/25입니다.
전체적으로 우리는 네 가지 제한 사항을 받았습니다.
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
이제 질문은: 우리의 뿌리가 이러한 요구 사항을 충족합니까? 물론 그들은 만족합니다! 5의 거듭제곱은 0보다 크고 x > 0 요구 사항이 자동으로 충족되기 때문입니다.
반면에 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3은 근에 대한 이러한 제한이 있음을 의미합니다(이는 지수에 무리수가 있음을 상기시켜 드립니다) 도 만족하며 두 답변 모두 문제에 대한 해결책입니다.
그래서 우리는 최종 답을 얻었습니다. 이 작업에는 두 가지 핵심 사항이 있습니다.
- 인수와 밑이 바뀔 때 로그를 뒤집을 때 주의하십시오. 이러한 변환은 정의 범위에 불필요한 제한을 부과합니다.
- 로그 변환을 두려워하지 마세요. 로그는 되돌릴 수 있을 뿐만 아니라 합계 공식을 사용하여 확장할 수도 있으며 일반적으로 로그 표현식을 풀 때 공부한 공식을 사용하여 변경됩니다. 그러나 항상 기억하십시오. 일부 변환은 정의 범위를 확장하고 일부는 범위를 좁힙니다.
오늘 우리는 예비 변환이나 근 선택이 필요하지 않은 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 그러나 그러한 방정식을 푸는 방법을 배우면 훨씬 쉬울 것입니다.
가장 간단한 로그 방정식은 log a f (x) = b 형식의 방정식입니다. 여기서 a, b는 숫자(a > 0, a ≠ 1)이고 f(x)는 특정 함수입니다.
모든 로그 방정식의 특징은 로그 기호 아래에 변수 x가 존재한다는 것입니다. 이것이 문제에 처음 주어진 방정식이라면 가장 간단한 방정식이라고 합니다. 다른 로그 방정식은 특수 변환을 통해 가장 간단한 방정식으로 축소됩니다(“로그의 기본 속성” 참조). 그러나 수많은 미묘함을 고려해야 합니다. 추가 근이 발생할 수 있으므로 복잡한 로그 방정식은 별도로 고려됩니다.
그러한 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까? 등호 오른쪽에 있는 숫자를 왼쪽과 같은 밑수의 로그로 바꾸는 것으로 충분합니다. 그런 다음 로그의 부호를 제거할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
로그 a f (x) = b ⇒ 로그 a f (x) = 로그 a a b ⇒ f (x) = a b
우리는 일반적인 방정식을 얻었습니다. 그 근은 원래 방정식의 근입니다.
학위 취득
겉보기에 복잡하고 위협적으로 보이는 로그 방정식은 복잡한 수식을 사용하지 않고 단 몇 줄만으로 해결되는 경우가 많습니다. 오늘 우리는 그러한 문제를 살펴볼 것입니다. 여기서 필요한 것은 공식을 정식 형식으로 조심스럽게 줄이고 로그 정의 영역을 검색할 때 혼동하지 않는 것입니다.
오늘은 제목에서 짐작하셨겠지만, 정식 형식으로의 전환 공식을 사용하여 로그 방정식을 풀어보겠습니다. 이 비디오 강의의 주요 "비결"은 학위를 가지고 작업하거나 오히려 근거와 주장에서 학위를 추론하는 것입니다. 규칙을 살펴보겠습니다:
마찬가지로 베이스에서 차수를 파생할 수 있습니다.
보시다시피, 로그 인수에서 차수를 제거할 때 앞에 추가 요소가 있는 경우 밑에서 차수를 제거하면 인수뿐만 아니라 반전된 인수도 얻게 됩니다. 이것을 기억해야합니다.
마지막으로 가장 흥미로운 점입니다. 이 공식을 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
물론 이러한 전환을 할 때 정의 범위의 확장 가능성 또는 반대로 정의 범위의 축소와 관련된 특정 함정이 있습니다. 스스로 판단하십시오.
로그 3 x 2 = 2 ∙ 로그 3 x
첫 번째 경우에 x가 0이 아닌 임의의 숫자일 수 있다면, 즉 요구사항 x ≠ 0이면 두 번째 경우에 우리는 x만으로 만족합니다. x는 같지 않을 뿐만 아니라 0보다 엄격하게 큽니다. 로그의 정의는 인수가 엄격하게 0보다 커야 한다는 것입니다. 따라서 저는 8~9학년 대수 과정에서 배운 멋진 공식을 상기시켜 드리겠습니다.
즉, 우리는 다음과 같이 공식을 작성해야 합니다.
로그 3 x 2 = 2 ∙ 로그 3 |x |
그러면 정의 범위가 좁아지지 않습니다.
하지만 오늘의 비디오 튜토리얼에는 사각형이 없습니다. 우리가 하는 일을 보면 뿌리만 보일 뿐입니다. 그러므로 우리는 이 규칙을 적용하지 않을 것이지만, 적절한 순간에 인수나 로그의 밑에서 이차 함수를 볼 때 이 규칙을 기억하고 모든 작업을 수행할 수 있도록 명심해야 합니다. 올바르게 변환합니다.
따라서 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다.
이 문제를 해결하기 위해 공식에 존재하는 각 용어를 주의 깊게 살펴볼 것을 제안합니다.
첫 번째 항을 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 다시 작성해 보겠습니다.
두 번째 항인 log 3 (1 − x)를 살펴보겠습니다. 여기서는 아무것도 할 필요가 없습니다. 모든 것이 이미 여기에서 변환되었습니다.
마지막으로 0, 5입니다. 이전 수업에서 말했듯이 로그 방정식과 공식을 풀 때 소수에서 일반 분수로 이동하는 것이 좋습니다. 이렇게 해보자:
0,5 = 5/10 = 1/2
결과 항을 고려하여 원래 공식을 다시 작성해 보겠습니다.
로그 3 (1 − x ) = 1
이제 정식 형식으로 넘어가겠습니다.
로그 3 (1 − x ) = 로그 3 3
인수를 동일시하여 로그 기호를 제거합니다.
1 − x = 3
-x = 2
x = -2
그게 다입니다. 우리는 방정식을 풀었습니다. 그러나 여전히 안전하게 플레이하고 정의 영역을 찾아보겠습니다. 이를 위해 원래 공식으로 돌아가서 다음을 살펴보겠습니다.
1 – x > 0
-x > -1
엑스< 1
근 x = −2는 이 요구 사항을 충족하므로 x = −2는 원래 방정식의 해입니다. 이제 우리는 엄격하고 분명한 정당성을 얻었습니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.
두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.
각 용어를 별도로 살펴보겠습니다.
첫 번째 것을 작성해 보겠습니다.
우리는 첫 번째 용어를 변형했습니다. 우리는 두 번째 용어로 작업합니다.
마지막으로 등호 오른쪽에 있는 마지막 항은 다음과 같습니다.
결과 공식의 항 대신 결과 표현식을 대체합니다.
로그 3 x = 1
표준 형식으로 넘어가겠습니다.
로그 3 x = 로그 3 3
인수를 동일시하여 로그 기호를 제거하면 다음을 얻습니다.
엑스 = 3
다시 말하지만, 안전을 위해 원래 방정식으로 돌아가서 살펴보겠습니다. 원래 수식에서 변수 x는 인수에만 존재하므로,
x > 0
두 번째 로그에서 x는 근 아래에 있지만 다시 인수에서 근은 0보다 커야 합니다. 즉, 근호 표현은 0보다 커야 합니다. 우리는 근 x = 3을 봅니다. 분명히, 이 요구 사항을 충족합니다. 따라서 x = 3은 원래 로그 방정식의 해입니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.
오늘의 비디오 튜토리얼에는 두 가지 핵심 사항이 있습니다.
1) 로그 변환을 두려워하지 말고, 특히 기본 공식을 기억하면서 로그 부호에서 거듭제곱을 빼는 것을 두려워하지 마세요. 논증에서 거듭제곱을 제거할 때 변경 없이 단순히 빼냅니다. 승수로 사용되며 베이스에서 거듭제곱을 제거하면 이 거듭제곱이 반전됩니다.
2) 두 번째 요점은 표준 형식 자체와 관련이 있습니다. 우리는 로그 방정식 공식의 변환이 끝날 때 표준 형식으로 전환했습니다. 다음 공식을 상기시켜 드리겠습니다.
a = 로그 b b a
물론, "모든 숫자 b"라는 표현은 로그 기반에 부과된 요구 사항을 충족하는 숫자를 의미합니다.
1 ≠ b > 0
그러한 b에 대해서는 우리가 이미 기초를 알고 있으므로 이 요구 사항은 자동으로 충족됩니다. 그러나 그러한 b(이 요구 사항을 충족하는 모든 것)에 대해 이 전환이 수행될 수 있으며 로그 부호를 제거할 수 있는 표준 형식을 얻게 됩니다.
정의 영역과 추가 뿌리 확장
로그 방정식을 변환하는 과정에서 정의 영역의 암묵적인 확장이 발생할 수 있습니다. 종종 학생들은 이를 알아차리지도 못하는데, 이는 실수와 오답으로 이어집니다.
가장 단순한 디자인부터 시작해 보겠습니다. 가장 간단한 로그 방정식은 다음과 같습니다.
로그 a f(x) = b
x는 하나의 로그 중 하나의 인수에만 존재한다는 점에 유의하세요. 그러한 방정식을 어떻게 해결합니까? 우리는 정식 형식을 사용합니다. 이를 위해 숫자 b = log a a b를 상상해 보십시오. 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
이 항목을 표준 형식이라고 합니다. 오늘 수업뿐만 아니라 모든 독립적인 테스트 작업에서도 접하게 될 모든 로그 방정식을 줄여야 합니다.
표준 형식에 도달하는 방법과 사용할 기술은 실습의 문제입니다. 이해해야 할 가장 중요한 점은 그러한 기록을 받는 즉시 문제가 해결되었다고 생각할 수 있다는 것입니다. 다음 단계는 다음과 같이 작성하는 것이기 때문입니다.
에프(x) = ab
즉, 로그 기호를 제거하고 단순히 인수를 동일시합니다.
왜 이 얘기가 다 나오나요? 사실은 표준 형식이 가장 단순한 문제뿐만 아니라 다른 모든 문제에도 적용 가능하다는 것입니다. 특히 오늘 우리가 결정할 것입니다. 한번 살펴보자.
첫 번째 작업:
이 방정식의 문제점은 무엇입니까? 사실은 함수가 한 번에 두 개의 로그에 있다는 것입니다. 문제는 단순히 한 로그에서 다른 로그를 빼면 가장 간단하게 줄일 수 있습니다. 그러나 정의 영역에 문제가 발생합니다. 추가 루트가 나타날 수 있습니다. 이제 로그 중 하나를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
이 항목은 정식 형식과 훨씬 더 유사합니다. 그러나 한 가지 더 뉘앙스가 있습니다. 정식 형식에서는 인수가 동일해야 합니다. 그리고 왼쪽에는 3진법의 로그가 있고 오른쪽에는 1/3진법의 로그가 있습니다. 그는 이 기지들을 같은 숫자로 가져와야 한다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어, 부정적인 힘이 무엇인지 기억해 봅시다.
그런 다음 로그 외부의 "-1" 지수를 승수로 사용합니다.
참고: 베이스에 있던 정도가 뒤집어서 분수로 변합니다. 우리는 다른 진수를 제거하여 거의 표준적인 표기법을 얻었지만 그 대가로 오른쪽에 "-1" 인수를 얻었습니다. 이 요소를 거듭제곱으로 바꾸어 논증에 포함시켜 보겠습니다.
물론, 정식 형식을 받은 후 우리는 대담하게 로그 기호를 지우고 인수를 동일시합니다. 동시에, "-1"승으로 올리면 분수가 단순히 뒤집어지고 비율이 얻어짐을 상기시켜 드리겠습니다.
비례의 기본 속성을 사용하여 이를 십자형으로 곱해 보겠습니다.
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
위의 2차 방정식이 있으므로 Vieta의 공식을 사용하여 이를 풉니다.
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
그게 다야. 방정식이 풀렸다고 생각하시나요? 아니요! 이러한 해법의 경우 원래 방정식에 변수 x를 갖는 두 개의 로그가 포함되어 있으므로 0점을 받게 됩니다. 그러므로 정의 영역을 고려할 필요가 있다.
그리고 이것이 재미가 시작되는 곳입니다. 대부분의 학생들은 혼란스러워합니다. 로그 정의 영역은 무엇입니까? 물론 모든 인수(두 개가 있음)는 0보다 커야 합니다.
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
이러한 불평등 각각을 풀어 직선으로 표시하고 교차한 다음 교차점에 어떤 뿌리가 있는지 확인해야 합니다.
솔직히 말해서 이 기술은 존재할 권리가 있고 신뢰할 수 있으며 정답을 얻을 수 있지만 불필요한 단계가 너무 많습니다. 그럼 우리의 솔루션을 다시 살펴보고 범위를 정확히 어디에 적용해야 합니까? 즉, 정확히 언제 여분의 뿌리가 나타나는지 명확하게 이해해야 합니다.
- 처음에는 두 개의 로그가 있었습니다. 그런 다음 그 중 하나를 오른쪽으로 이동했지만 정의 영역에는 영향을 미치지 않았습니다.
- 그런 다음 밑에서 거듭제곱을 제거하지만 여전히 두 개의 로그가 있고 각 로그에는 변수 x가 있습니다.
- 마지막으로, 로그의 부호를 지우고 고전적인 분수 유리 방정식을 얻습니다.
정의의 범위가 확장되는 것은 마지막 단계입니다! 로그 기호를 제거하고 분수-유리 방정식으로 이동하자마자 변수 x에 대한 요구 사항이 극적으로 변경되었습니다!
결과적으로 정의 영역은 솔루션의 시작 부분이 아니라 언급된 단계(인수를 직접 동일시하기 전)에서만 고려할 수 있습니다.
여기에 최적화의 기회가 있습니다. 한편으로는 두 인수가 모두 0보다 커야 합니다. 반면에 우리는 이러한 주장을 더 동일시합니다. 따라서 그 중 적어도 하나가 긍정적이면 두 번째도 긍정적일 것입니다!
따라서 두 가지 불평등을 동시에 충족하도록 요구하는 것은 과잉이라는 것이 밝혀졌습니다. 이 분수 중 하나만 고려하는 것으로 충분합니다. 어느 것? 더 간단한 것. 예를 들어 오른쪽 분수를 살펴보겠습니다.
(x − 5)/(2x − 1) > 0
이는 전형적인 분수 합리적 부등식으로, 간격 방법을 사용하여 이를 해결합니다.
표지판을 배치하는 방법? 우리의 모든 근보다 분명히 더 큰 숫자를 선택해 봅시다. 예를 들어 10억 그리고 우리는 그 분수를 대체합니다. 우리는 양수를 얻습니다. 루트 x = 5의 오른쪽에는 더하기 기호가 있습니다.
그런 다음 기호는 번갈아 나타납니다. 왜냐하면 어디에도 다양성의 뿌리가 없기 때문입니다. 우리는 함수가 양수인 구간에 관심이 있습니다. 따라서 x ∈ (−무한대; −1/2)∪(5; +무한대)입니다.
이제 답을 기억해 봅시다: x = 8 및 x = 2. 엄밀히 말하면 이것은 아직 답이 아니며 답의 후보일 뿐입니다. 지정된 세트에 속하는 것은 무엇입니까? 물론 x = 8입니다. 그러나 x = 2는 정의 영역 측면에서 우리에게 적합하지 않습니다.
전체적으로 첫 번째 로그 방정식의 답은 x = 8이 됩니다. 이제 우리는 정의 영역을 고려한 유능하고 기초가 튼튼한 솔루션을 갖게 되었습니다.
두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
로그 5 (x − 9) = 로그 0.5 4 − 로그 5 (x − 5) + 3
방정식에 소수 부분이 있으면 이를 제거해야 함을 상기시켜 드리겠습니다. 즉, 0.5를 공분수로 다시 써보겠습니다. 우리는 이 밑을 포함하는 로그가 쉽게 계산된다는 것을 즉시 알 수 있습니다.
이것은 매우 중요한 순간입니다! 기본과 인수 모두에 학위가 있는 경우 다음 공식을 사용하여 이러한 학위의 표시기를 파생할 수 있습니다.
원래의 로그 방정식으로 돌아가서 다시 작성해 보겠습니다.
로그 5(x − 9) = 1 − 로그 5(x − 5)
우리는 표준 형식에 매우 가까운 디자인을 얻었습니다. 그러나 우리는 등호 오른쪽에 있는 용어와 빼기 기호로 인해 혼란을 겪습니다. 하나를 밑수 5에 대한 로그로 표현해 보겠습니다.
로그 5 (x − 9) = 로그 5 5 1 − 로그 5 (x − 5)
오른쪽의 로그를 뺍니다(이 경우 인수가 나누어집니다).
로그 5 (x − 9) = 로그 5 5/(x − 5)
아주 멋진. 그래서 우리는 정식 형식을 얻었습니다! 로그 기호를 지우고 인수를 동일시합니다.
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
이것은 십자형으로 곱하면 쉽게 풀 수 있는 비율입니다.
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
분명히, 우리는 축소된 이차 방정식을 가지고 있습니다. Vieta의 공식을 사용하면 쉽게 풀 수 있습니다.
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
우리는 두 개의 뿌리를 얻었습니다. 그러나 이는 최종 답변이 아니라 단지 후보일 뿐입니다. 로그 방정식에는 정의 영역도 확인해야 하기 때문입니다.
상기시켜드립니다. 언제 검색할 필요가 없습니다. 모든인수 중 0보다 클 것입니다. 하나의 인수(x − 9 또는 5/(x − 5))가 0보다 크도록 요구하는 것으로 충분합니다. 첫 번째 인수를 고려하십시오.
x − 9 > 0
x > 9
분명히 x = 10만이 이 요구 사항을 충족합니다. 이것이 최종 답입니다. 모든 문제가 해결되었습니다.
다시 한 번, 오늘 수업의 핵심 생각은 다음과 같습니다.
- 변수 x가 여러 로그에 나타나자마자 방정식은 더 이상 기본이 아니며 이에 대한 정의 영역을 계산해야 합니다. 그렇지 않으면 답에 추가 루트를 쉽게 쓸 수 있습니다.
- 부등식을 즉시 작성하지 않고 로그 표시를 제거하는 순간에 정확하게 작성하면 도메인 자체 작업이 크게 단순화될 수 있습니다. 결국, 인수가 서로 동일할 때 인수 중 하나만 0보다 크도록 요구하는 것으로 충분합니다.
물론 불평등을 형성하기 위해 어떤 주장을 사용할지는 우리 스스로 선택하므로 가장 간단한 주장을 선택하는 것이 논리적입니다. 예를 들어, 두 번째 방정식에서 우리는 분수 유리수 두 번째 인수와 반대로 선형 함수인 인수 (x − 9)를 선택했습니다. 동의하세요. 부등식 x − 9 > 0을 푸는 것이 5/(x − 5) > 0보다 훨씬 쉽습니다. 결과는 동일하지만.
이 설명은 ODZ 검색을 크게 단순화하지만 주의하세요. 인수가 정확하게 일치하는 경우에만 두 개의 부등식 대신 하나의 부등식을 사용할 수 있습니다. 서로 동등하다!
물론 이제 누군가는 이렇게 묻습니다. 무엇이 다르게 일어나는가? 네, 가끔요. 예를 들어, 단계 자체에서 변수가 포함된 두 개의 인수를 곱할 때 불필요한 근이 나타날 위험이 있습니다.
스스로 판단하십시오. 먼저 각 인수가 0보다 커야 하지만 곱한 후에는 곱이 0보다 커도 충분합니다. 결과적으로, 이들 분수 각각이 음수인 경우는 누락됩니다.
따라서 복잡한 로그 방정식을 이해하기 시작한 경우 어떤 상황에서도 변수 x가 포함된 로그를 곱하지 마십시오. 이로 인해 불필요한 근이 나타나는 경우가 너무 많습니다. 한 단계 더 나아가 한 용어를 다른 쪽으로 이동하고 표준 형식을 만드는 것이 좋습니다.
음, 그러한 로그를 곱하지 않고는 할 수 없는 경우 어떻게 해야 하는지에 대해서는 다음 비디오 강의에서 논의하겠습니다. :)
방정식의 거듭제곱에 대해 다시 한 번
오늘 우리는 로그 방정식, 더 정확하게는 로그의 논증과 밑수에서 거듭제곱을 제거하는 것과 관련된 다소 미끄러운 주제를 조사할 것입니다.
실수 로그 방정식을 풀 때 발생하는 대부분의 어려움은 짝수 거듭제곱에서 발생하기 때문에 짝수 거듭제곱 제거에 대해서도 이야기할 것이라고 말하고 싶습니다.
정식 형식부터 시작하겠습니다. log a f (x) = b 형식의 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 b = log a a b 공식을 사용하여 숫자 b를 다시 씁니다. 다음이 밝혀졌습니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
그런 다음 인수를 동일시합니다.
에프(x) = ab
두 번째 공식을 표준 형식이라고 합니다. 언뜻보기에는 아무리 복잡하고 무섭게 보일지라도 로그 방정식을 줄이려고 노력하는 것은 바로 이것입니다.
그럼 한번 시도해 보겠습니다. 첫 번째 작업부터 시작해 보겠습니다.
예비 참고 사항: 이미 말했듯이 로그 방정식의 모든 소수는 일반 분수로 변환하는 것이 더 좋습니다.
0,5 = 5/10 = 1/2
이 사실을 고려하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 1/1000과 100은 모두 10의 거듭제곱이라는 점에 유의하세요. 그런 다음 인수와 로그의 밑에서까지 거듭제곱을 꺼내보겠습니다.
그리고 여기에서 많은 학생들이 "오른쪽 모듈은 어디서 왔나요?"라는 질문을 가지고 있습니다. 실제로 단순히 (x − 1)이라고 쓰면 어떨까요? 물론 이제 우리는 (x − 1)을 쓸 것이지만 정의 영역을 고려하면 그러한 표기법에 대한 권리가 제공됩니다. 결국, 또 다른 로그에는 이미 (x − 1)이 포함되어 있으므로 이 표현식은 0보다 커야 합니다.
그러나 로그의 밑에서 제곱을 제거할 때 우리는 정확히 모듈을 밑으로 남겨두어야 합니다. 이유를 설명하겠습니다.
사실, 수학적 관점에서 학위를 취득하는 것은 뿌리를 내리는 것과 같습니다. 특히, (x − 1) 2라는 표현을 제곱하면 본질적으로 두 번째 근을 취하게 됩니다. 그러나 제곱근은 모듈러스에 지나지 않습니다. 정확히 기준 치수, 표현식 x − 1이 음수이더라도 제곱하면 "마이너스"가 여전히 소진되기 때문입니다. 루트를 추가로 추출하면 마이너스 없이 양수를 얻을 수 있습니다.
일반적으로 공격적인 실수를 피하려면 다음 사항을 영원히 기억하십시오.
동일한 거듭제곱으로 거듭제곱된 모든 함수의 짝수 거듭제곱의 근은 함수 자체와 동일하지 않고 모듈러스와 동일합니다.
로그 방정식으로 돌아가 보겠습니다. 모듈에 관해 말하면서 저는 모듈을 고통 없이 제거할 수 있다고 주장했습니다. 이것은 사실이다. 이제 그 이유를 설명하겠습니다. 엄밀히 말하면 우리는 두 가지 옵션을 고려해야 했습니다.
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
이러한 각 옵션을 해결해야 합니다. 그러나 한 가지 문제가 있습니다. 원래 공식에는 모듈러스 없이 함수 (x − 1)가 이미 포함되어 있다는 것입니다. 그리고 로그 정의 영역을 따르면, 우리는 즉시 x − 1 > 0이라고 쓸 수 있습니다.
이 요구 사항은 솔루션 프로세스에서 수행하는 모듈 및 기타 변환에 관계없이 충족되어야 합니다. 따라서 두 번째 옵션을 고려할 필요가 없습니다. 결코 발생하지 않습니다. 이 불평등 부분을 해결하면서 몇 가지 숫자를 얻더라도 최종 답에는 여전히 포함되지 않습니다.
이제 우리는 로그 방정식의 표준 형식에서 문자 그대로 한 단계 떨어져 있습니다. 단위를 다음과 같이 표현해보자.
1 = 로그 x − 1 (x − 1) 1
또한 오른쪽에 있는 인수 −4를 인수에 도입합니다.
로그 x − 1 10 −4 = 로그 x − 1 (x − 1)
우리 앞에는 로그 방정식의 정식 형태가 있습니다. 로그 기호를 제거합니다.
10 −4 = x − 1
그러나 밑이 함수(소수가 아님)였으므로 추가로 이 함수가 0보다 크고 1이 아니어야 합니다. 결과 시스템은 다음과 같습니다.
요구사항 x − 1 > 0이 자동으로 충족되므로(결국 x − 1 = 10 −4) 부등식 중 하나가 시스템에서 삭제될 수 있습니다. x − 1 = 0.0001이므로 두 번째 조건도 지울 수 있습니다.< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
이는 로그 정의 영역의 모든 요구 사항을 자동으로 충족하는 유일한 근입니다(그러나 문제의 조건에서 명백히 충족되므로 모든 요구 사항이 제거되었습니다).
따라서 두 번째 방정식은 다음과 같습니다.
3 로그 3 x x = 2 로그 9 x x 2
이 방정식은 이전 방정식과 근본적으로 어떻게 다른가요? 로그의 밑(3x와 9x)이 서로의 자연 거듭제곱이 아니기 때문이라면 말이죠. 따라서 이전 솔루션에서 사용한 전환은 불가능합니다.
최소한 학위는 없애자. 우리의 경우 유일한 정도는 두 번째 인수에 있습니다.
3 로그 3 x x = 2 ∙ 2 로그 9 x |x |
그러나 변수 x도 밑수에 있으므로 모듈러스 기호를 제거할 수 있습니다. x > 0 ⇒ |x| =x. 로그 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
3 로그 3 x x = 4 로그 9 x x
우리는 인수는 동일하지만 밑이 다른 로그를 얻었습니다. 다음에 무엇을할지? 여기에는 많은 옵션이 있지만 그중 가장 논리적인 두 가지 옵션만 고려할 것이며 가장 중요한 것은 대부분의 학생들에게 빠르고 이해하기 쉬운 기술이라는 것입니다.
우리는 이미 첫 번째 옵션을 고려했습니다. 불확실한 상황에서는 밑이 가변적인 로그를 상수 밑으로 변환합니다. 예를 들어 듀스로. 전환 공식은 간단합니다.
물론, 변수 c의 역할은 정규수(1 ≠ c > 0)여야 합니다. 우리의 경우 c = 2라고 가정합니다. 이제 우리 앞에는 일반적인 분수 유리 방정식이 있습니다. 왼쪽의 모든 요소를 수집합니다.
분명히 log 2 x 요소는 첫 번째와 두 번째 분수에 모두 존재하므로 제거하는 것이 좋습니다.
로그 2 x = 0;
3 로그 2 9x = 4 로그 2 3x
각 로그를 두 가지 용어로 나눕니다.
로그 2 9x = 로그 2 9 + 로그 2 x = 2 로그 2 3 + 로그 2 x;
로그 2 3x = 로그 2 3 + 로그 2 x
다음 사실을 고려하여 평등의 양쪽을 다시 작성해 보겠습니다.
3 (2 로그 2 3 + 로그 2 x ) = 4 (로그 2 3 + 로그 2 x )
6 로그 2 3 + 3 로그 2 x = 4 로그 2 3 + 4 로그 2 x
2 로그 2 3 = 로그 2 x
이제 남은 것은 로그 기호 아래에 2를 입력하는 것입니다(이것은 거듭제곱으로 변합니다: 3 2 = 9).
로그 2 9 = 로그 2 x
고전적인 정식 형식이 나오기 전에 로그 기호를 제거하고 다음을 얻습니다.
예상대로 이 근은 0보다 큰 것으로 나타났습니다. 정의 영역을 확인하는 것이 남아 있습니다. 이유를 살펴보겠습니다:
그러나 루트 x = 9는 이러한 요구 사항을 충족합니다. 따라서 이것이 최종 결정입니다.
이 솔루션의 결론은 간단합니다. 긴 계산을 두려워하지 마세요! 처음에 우리는 새로운 기지를 무작위로 선택했고 이로 인해 프로세스가 상당히 복잡해졌습니다.
그러나 질문이 생깁니다. 근거는 무엇입니까? 최적의? 이에 대해서는 두 번째 방법에서 이야기하겠습니다.
원래 방정식으로 돌아가 보겠습니다.
3 로그 3x x = 2 로그 9x x 2
3 로그 3x x = 2 ∙ 2 로그 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 로그 3 x x = 4 로그 9 x x
이제 조금 생각해 봅시다. 어떤 숫자나 함수가 최적의 기초가 될까요? 분명히 가장 좋은 옵션은 c = x - 이미 인수에 있는 것입니다. 이 경우 공식 log a b = log c b /log c a는 다음과 같은 형식을 취합니다.
즉, 표현이 단순히 반전된 것입니다. 이 경우 논거와 근거가 바뀌게 된다.
이 공식은 매우 유용하며 복잡한 로그 방정식을 푸는 데 자주 사용됩니다. 그러나 이 공식을 사용할 때 매우 심각한 함정이 하나 있습니다. 기준 대신 변수 x를 대체하면 이전에 관찰되지 않았던 제한 사항이 적용됩니다.
원래 방정식에는 그러한 제한이 없었습니다. 따라서 x = 1인 경우를 별도로 확인해야 합니다. 이 값을 방정식에 대입합니다.
3 로그 3 1 = 4 로그 9 1
우리는 올바른 수치 평등을 얻습니다. 따라서 x = 1은 근입니다. 우리는 솔루션 시작 부분의 이전 방법에서 정확히 동일한 루트를 찾았습니다.
그러나 이제 이 특별한 경우를 별도로 고려했으므로 x ≠ 1이라고 안전하게 가정합니다. 그러면 로그 방정식은 다음 형식으로 다시 작성됩니다.
3로그 x 9x = 4로그 x 3x
이전과 동일한 공식을 사용하여 두 로그를 모두 확장합니다. 로그 x x = 1입니다.
3 (로그 x 9 + 로그 x x ) = 4 (로그 x 3 + 로그 x x )
3로그 x 9 + 3 = 4로그 x 3 + 4
3 로그 x 3 2 − 4 로그 x 3 = 4 − 3
2로그 x 3 = 1
그래서 우리는 정식 형식에 이르렀습니다.
로그 x 9 = 로그 x x 1
x=9
우리는 두 번째 루트를 얻었습니다. 이는 x ≠ 1 요구 사항을 충족합니다. 따라서 x = 1과 함께 x = 9가 최종 답입니다.
보시다시피 계산량이 약간 감소했습니다. 그러나 실제 로그 방정식을 풀 때는 각 단계를 그렇게 자세히 설명할 필요가 없기 때문에 단계 수도 훨씬 적습니다.
오늘 수업의 핵심 규칙은 다음과 같습니다. 문제에 동일한 차수의 근이 추출되는 짝수 차수가 포함되어 있으면 출력은 모듈러스가 됩니다. 그러나 로그 정의 영역에 주의를 기울이면 이 모듈을 제거할 수 있습니다.
하지만 조심하세요. 이 수업이 끝나면 대부분의 학생들은 모든 것을 이해했다고 생각합니다. 그러나 실제 문제를 해결할 때 전체 논리 체인을 재현할 수는 없습니다. 결과적으로 방정식은 불필요한 근을 얻게 되며 답은 잘못된 것으로 판명됩니다.
이 단원에서는 로그에 대한 기본적인 이론적 사실을 검토하고 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 고려할 것입니다.
중심 정의, 즉 로그의 정의를 떠올려 보겠습니다. 여기에는 지수 방정식을 푸는 작업이 포함됩니다. 이 방정식은 단일 근을 가지며, 이를 밑수 a에 대한 b의 로그라고 합니다.
정의:
밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다.
상기시켜드리겠습니다 기본 로그 항등.
식(식 1)은 방정식(식 2)의 근입니다. x 대신 표현식 1의 값 x를 표현식 2로 대체하고 주요 로그 항등식을 얻습니다.
따라서 우리는 각 값이 값과 연관되어 있음을 알 수 있습니다. b를 x()로, c를 y로 표시하여 로그 함수를 얻습니다.
예를 들어: 
로그 함수의 기본 속성을 기억해 보겠습니다.
로그 아래에는 로그의 밑수로서 엄격하게 긍정적인 표현이 있을 수 있으므로 여기서 다시 한 번 주목해 보겠습니다.
쌀. 1. 다양한 밑수를 갖는 로그 함수 그래프
함수의 그래프는 검정색으로 표시됩니다. 쌀. 1. 인수가 0에서 무한대로 증가하면 함수는 마이너스에서 플러스 무한대로 증가합니다.
함수의 그래프는 빨간색으로 표시됩니다. 쌀. 1.
이 기능의 속성:
도메인: ;
값 범위: ;
이 함수는 전체 정의 영역에서 단조롭습니다. 단조롭게(엄격하게) 증가하는 경우 인수 값이 클수록 함수 값도 커집니다. 단조적으로(엄격하게) 감소하는 경우 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.
로그 함수의 속성은 다양한 로그 방정식을 푸는 열쇠입니다.
가장 간단한 로그 방정식을 생각해 봅시다. 일반적으로 다른 모든 로그 방정식은 이 형식으로 축소됩니다.
로그의 밑과 로그 자체가 동일하므로 로그 아래의 함수도 동일하지만 정의 영역을 놓쳐서는 안 됩니다. 로그 아래에는 양수만 나타날 수 있습니다.
우리는 함수 f와 g가 동일하다는 것을 알았으므로 ODZ를 준수하려면 부등식 중 하나를 선택하는 것으로 충분합니다.
따라서 방정식과 부등식이 있는 혼합 시스템이 있습니다.
원칙적으로 부등식을 풀 필요는 없으며 방정식을 풀고 찾은 근을 부등식에 대입하여 검사를 수행하면 충분합니다.
가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 공식화해 보겠습니다.
로그의 밑을 균등화합니다.
하위 대수 함수를 동일시합니다.
점검을 수행하십시오.
구체적인 예를 살펴 보겠습니다.
예 1 - 방정식 풀기:
로그의 밑은 처음에 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 첫 번째 로그를 선택합니다.
예 2 - 방정식 풀기:
이 방정식은 로그의 밑이 1보다 작다는 점에서 이전 방정식과 다르지만 이는 어떤 식으로든 해에 영향을 미치지 않습니다.
루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.
잘못된 부등식을 받았습니다. 이는 발견된 루트가 ODZ를 충족하지 않음을 의미합니다.
예 3 - 방정식 풀기:
로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 두 번째 로그를 선택합니다.
루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.
분명히 첫 번째 루트만이 ODZ를 만족합니다.
