로그 부등식은 음수 값을 갖습니다. 로그 부등식 – 지식 하이퍼마켓
로그의 정의수학적으로 작성하는 가장 쉬운 방법은 다음과 같습니다.
로그의 정의는 다른 방식으로 작성할 수 있습니다.
로그 기반에 적용되는 제한 사항에 주의하세요( ㅏ) 및 하위 대수 표현 ( 엑스). 앞으로 이러한 조건은 OD에 대한 중요한 제한 사항으로 바뀔 것이며 로그를 사용하여 방정식을 풀 때 고려해야 할 사항입니다. 따라서 이제 ODZ에 대한 제한으로 이어지는 표준 조건(짝수의 근 아래 표현의 긍정성, 0이 아닌 분모 등) 외에도 다음 조건도 고려해야 합니다.
- 부분대수 표현은 양수만 가능합니다..
- 로그의 밑은 양수일 수 있으며 1과 같지 않을 수 있습니다..
로그의 밑수나 부분로그 표현은 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 로그 값 자체는 가능한 모든 값을 가질 수 있습니다. 로그는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다. 로그는 거듭제곱의 속성과 로그의 정의에 따라 다양한 속성을 갖습니다. 그것들을 나열해 봅시다. 따라서 로그의 속성은 다음과 같습니다.
제품의 로그:
분수의 로그:
로그 기호에서 차수를 빼면 다음과 같습니다.
학위를 취득한 후 모듈러스 기호가 나타나는 마지막 나열된 속성에 특히 세심한 주의를 기울이십시오. 로그 기호 외부, 로그 아래 또는 밑수에 짝수 거듭제곱을 배치할 때 모듈러스 기호를 남겨 두어야 한다는 것을 잊지 마십시오.
로그의 다른 유용한 속성:
마지막 속성은 복잡한 로그 방정식과 부등식에 자주 사용됩니다. 그는 종종 잊혀지긴 하지만 다른 모든 사람과 마찬가지로 기억되어야 합니다.
가장 간단한 로그 방정식은 다음과 같습니다.
그리고 그 해는 로그의 정의를 직접 따르는 공식으로 제공됩니다.
다른 가장 간단한 로그 방정식은 대수 변환과 위의 공식 및 로그 속성을 사용하여 다음 형식으로 축소될 수 있는 방정식입니다.
ODZ를 고려한 방정식의 해는 다음과 같습니다.
기타 밑수에 변수가 있는 로그 방정식다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.
이러한 로그 방정식에서 해의 일반 형태는 로그 정의에서 직접적으로 따릅니다. 이 경우에만 DZ에 대해 고려해야 할 추가 제한 사항이 있습니다. 결과적으로 밑수에 변수가 있는 로그 방정식을 풀려면 다음 시스템을 풀어야 합니다.
위에 제시된 방정식 중 하나로 환원될 수 없는 보다 복잡한 로그 방정식을 풀 때에도 적극적으로 사용됩니다. 변수 교체 방법. 평소와 같이 이 방법을 사용할 때 대체를 도입한 후에는 방정식이 단순화되어야 하며 더 이상 이전 미지수가 포함되지 않아야 한다는 점을 기억해야 합니다. 또한 변수의 역치환을 수행하는 것도 기억해야 합니다.
때로는 로그 방정식을 풀 때 다음을 사용해야 하는 경우도 있습니다. 그래픽 방법. 이 방법은 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 함수의 그래프를 하나의 좌표 평면에 최대한 정확하게 구성한 후 도면에서 교차점의 좌표를 찾는 방식으로 구성됩니다. 이런 방식으로 얻은 근은 원래 방정식에 대입하여 확인해야 합니다.
로그 방정식을 풀 때 종종 유용합니다. 그룹화 방법. 이 방법을 사용할 때 기억해야 할 가장 중요한 점은 여러 요인의 곱이 0이 되려면 그 중 적어도 하나가 0과 같아야 한다는 것입니다. 그리고 나머지는 존재했다. 요인이 로그 또는 로그가 포함된 괄호인 경우, 유리수식처럼 변수가 포함된 괄호가 아닌 경우 오류가 많이 발생할 수 있습니다. 로그는 존재하는 지역에 많은 제한이 있기 때문입니다.
결정할 때 대수 방정식 시스템대부분의 경우 대체 방법이나 변수 대체 방법을 사용해야 합니다. 그러한 가능성이 있다면 로그 방정식 시스템을 풀 때 시스템의 각 방정식이 로그 방정식에서 다음으로 전환할 수 있는 형태로 개별적으로 가져오도록 노력해야 합니다. 합리적인 것.
가장 간단한 로그 부등식은 유사한 방정식과 거의 같은 방식으로 해결됩니다. 먼저, 대수적 변환과 로그의 속성을 사용하여 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 로그가 동일한 밑을 갖는 형식으로 가져오도록 노력해야 합니다. 다음 형식의 불평등을 얻습니다.
그런 다음 이 전환을 다음과 같이 수행해야 한다는 점을 고려하여 합리적인 부등식으로 이동해야 합니다. 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호를 변경할 필요가 없으며, 로그의 밑이 1보다 작으면 부등식의 부호를 반대 방향으로 변경해야 합니다(이는 "less"를 "more"로 변경하거나 그 반대로 변경하는 것을 의미합니다). 이 경우 이전에 배운 규칙을 우회하여 빼기 기호를 더하기 기호로 변경할 필요가 없습니다. 이러한 전환을 수행한 결과 무엇을 얻게 되는지 수학적으로 적어 보겠습니다. 밑이 1보다 크면 다음을 얻습니다.
로그의 밑이 1보다 작으면 부등식의 부호를 변경하고 다음 시스템을 얻습니다.
보시다시피, 로그 부등식을 풀 때 평소와 같이 ODZ도 고려됩니다(이것은 위 시스템의 세 번째 조건입니다). 더욱이, 이 경우 두 하위 대수 표현의 긍정성을 요구하지 않고 그 중 더 작은 것의 긍정성만 요구하는 것이 가능합니다.
결정할 때 밑수에 변수가 있는 로그 부등식로그의 경우 두 옵션(밑이 1보다 작고 1보다 큰 경우)을 독립적으로 고려하고 이러한 경우의 솔루션을 세트로 결합해야 합니다. 동시에 DL을 잊어서는 안됩니다. 밑수식과 모든 하위 대수식은 모두 양수여야 한다는 사실에 대해 설명합니다. 따라서 형식의 부등식을 풀 때:
우리는 다음과 같은 시스템 세트를 얻습니다.
더 복잡한 로그 부등식은 변수 변경을 사용하여 풀 수도 있습니다. 일부 다른 로그 부등식(예: 로그 방정식)을 풀려면 부등식이나 방정식의 양쪽에 로그를 취하는 절차가 필요합니다. 따라서 로그 부등식을 사용하여 이러한 절차를 수행할 때 미묘함이 있습니다. 1보다 큰 밑수에 로그를 취하면 부등호가 바뀌지 않지만, 밑수가 1보다 작으면 부등호가 반전됩니다.
로그 부등식을 합리적인 부등식으로 줄일 수 없거나 대체를 사용하여 풀 수 없는 경우 이 경우 다음을 사용해야 합니다. 일반화된 간격 방법, 이는 다음과 같습니다:
- DL을 정의합니다.
- 오른쪽에 0이 있도록 부등식을 변환합니다(가능한 경우 왼쪽에서 공통 분모로 축소, 인수분해 등).
- 분자와 분모의 근을 모두 찾아 숫자 축에 플롯하고, 부등식이 엄격하지 않으면 분자의 근을 칠하되, 어떤 경우에도 분모의 근은 점선으로 남겨둡니다.
- 주어진 구간의 숫자를 변환된 부등식에 대입하여 각 구간에서 전체 표현식의 부호를 찾습니다. 이 경우 축의 점을 통과할 때 어떤 방식으로든 기호를 교체하는 것이 더 이상 불가능합니다. 각 간격에 대해 간격의 값을 이 표현식에 대입하여 각 간격에 대한 표현식의 부호를 결정해야 합니다. 이는 더 이상 가능하지 않습니다(대체로 일반화된 간격 방법과 일반적인 방법의 차이입니다).
- 부등식을 만족하는 ODZ와 간격의 교차점을 찾으되, 부등식을 만족하는 개별 점(비엄격 부등식의 분자 근)을 잃지 말고, 답에서 모든 근을 제외하는 것을 잊지 마십시오. 모든 불평등의 분모.
- 뒤쪽에
- 앞으로
물리학 및 수학 분야의 CT를 성공적으로 준비하는 방법은 무엇입니까?
물리 및 수학 분야의 CT를 성공적으로 준비하려면 무엇보다도 세 가지 가장 중요한 조건을 충족해야 합니다.
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- 물리학의 모든 공식과 법칙, 수학의 공식과 방법을 알아보세요. 실제로 이것은 매우 간단합니다. 물리학에는 필요한 공식이 약 200개만 있고 수학에는 그보다 조금 더 적습니다. 이러한 각 주제에는 기본 수준의 복잡성 문제를 해결하기 위한 약 12가지 표준 방법이 있으며, 이를 학습하여 어려움 없이 완전히 자동으로 해결할 수도 있습니다. 적절한 순간대부분의 DH. 그 후에는 가장 어려운 작업에 대해서만 생각하면 됩니다.
- 물리학과 수학의 세 단계 리허설 테스트에 모두 참석하세요. 각 RT를 두 번 방문하여 두 옵션을 모두 결정할 수 있습니다. 다시 말하지만, CT에서는 문제를 빠르고 효율적으로 해결하는 능력과 공식 및 방법에 대한 지식 외에도 시간을 적절하게 계획하고 힘을 분배할 수 있어야 하며 가장 중요한 것은 답안 양식을 올바르게 작성할 수 있어야 합니다. 정답과 문제의 수, 또는 자신의 성을 혼동합니다. 또한, RT 중에는 문제에 대해 질문하는 스타일에 익숙해지는 것이 중요합니다. 이는 DT에서 준비되지 않은 사람에게는 매우 이례적으로 보일 수 있습니다.
이 세 가지 사항을 성공적이고 부지런하며 책임감 있게 구현하면 CT에서 자신이 할 수 있는 최대치인 탁월한 결과를 보여줄 수 있습니다.
실수를 발견하셨나요?
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소개
로그는 계산 속도를 높이고 단순화하기 위해 발명되었습니다. 로그의 아이디어, 즉 숫자를 동일한 밑수로 표현하는 아이디어는 Mikhail Stiefel의 것입니다. 하지만 스티펠 시대에는 수학이 그다지 발달하지 않았고 로그 개념도 발달하지 않았습니다. 로그는 나중에 스코틀랜드 과학자 존 네이피어(1550-1617)와 스위스의 잡스트 부르기(1552-1632)에 의해 동시에 독립적으로 발명되었으며, 네이피어는 1614년에 이 작품을 최초로 출판했습니다. "놀라운 로그 테이블에 대한 설명"이라는 제목으로 네이피어의 로그 이론이 상당히 완전한 책으로 제공되었으며 로그 계산 방법이 가장 간단했기 때문에 로그 발명에 대한 네이피어의 장점은 Bürgi의 장점보다 컸습니다. Burgi는 Napier와 동시에 테이블 작업을 했지만 오랫동안 비밀로 유지했으며 1620년에야 출판했습니다. 네이피어는 1594년경 로그의 개념을 터득했습니다. 비록 그 표는 20년 후에 출판되었지만. 처음에 그는 자신의 로그를 "인공수"라고 불렀고 그 후에야 이러한 "인공수"를 한 단어 "로그"로 부르겠다고 제안했습니다. 이는 그리스어에서 번역된 "상관수"를 의미하며 하나는 산술 수열에서, 다른 하나는 산술 수열에서 가져옵니다. 이를 위해 특별히 선택된 기하학적 진행. 러시아어로 된 첫 번째 표는 1703년에 출판되었습니다. 18세기의 훌륭한 선생님의 참여로. L. F. Magnitsky. 상트페테르부르크 학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 연구는 로그 이론의 발전에 매우 중요했습니다. 그는 최초로 로그를 거듭제곱의 역수로 간주하여 "로그 밑"과 "가수"라는 용어를 소개했습니다. Briggs는 밑이 10인 로그 테이블을 편집했습니다. 소수 테이블은 실제 사용에 더 편리합니다. 그들의 이론은 다음과 같습니다. 네이피어 로그보다 간단합니다. 따라서 십진 로그를 Briggs 로그라고도 합니다. "특성화"라는 용어는 Briggs에 의해 도입되었습니다.
현자들이 처음으로 알 수 없는 수량을 포함하는 평등에 대해 생각하기 시작한 그 먼 시대에는 아마도 동전이나 지갑이 없었을 것입니다. 하지만 거기에는 더미는 물론, 냄비와 바구니도 있었는데, 알 수 없는 개수의 물건을 담을 수 있는 보관 캐시 역할에 딱 맞는 것들이었습니다. 메소포타미아, 인도, 중국, 그리스의 고대 수학 문제에서는 알 수 없는 양이 정원에 있는 공작새의 수, 무리에 있는 황소의 수, 재산을 나눌 때 고려하는 것의 총합을 표현했습니다. 비밀 지식에 입문한 서기관, 관리 및 성직자는 회계 과학에 대해 잘 훈련되어 그러한 작업에 매우 성공적으로 대처했습니다.
우리에게 도달한 소식통에 따르면 고대 과학자들은 양을 알 수 없는 문제를 해결하기 위한 몇 가지 일반적인 기술을 가지고 있었습니다. 그러나 파피루스나 점토판에는 이러한 기술에 대한 설명이 포함되어 있지 않습니다. 저자는 때때로 "보세요!", "이것을 해보세요!", "올바른 것을 찾았습니다."와 같은 빈약한 설명으로 수치 계산을 제공했습니다. 이러한 의미에서 예외는 그리스 수학자 알렉산드리아의 디오판토스(3세기)의 "산술"입니다. 이는 솔루션을 체계적으로 표현하여 방정식을 구성하는 문제 모음입니다.
그러나 널리 알려진 최초의 문제 해결 매뉴얼은 9세기 바그다드 과학자의 작품이었다. 무함마드 빈 무사 알콰리즈미. 이 논문의 아랍어 이름인 "Kitab al-jaber wal-mukabala"( "복원 및 반대의 책")에서 "al-jabr"이라는 단어는 시간이 지남에 따라 잘 알려진 단어 "algebra"로 바뀌었고 al- 크와리즈미의 연구 자체는 방정식 풀이 과학 발전의 출발점이 되었습니다.
로그 방정식과 부등식
1. 대수방정식
로그 기호 아래 또는 밑수에 미지수가 포함된 방정식을 로그 방정식이라고 합니다.
가장 간단한 로그 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.
통나무 ㅏ 엑스 = 비 . (1)
진술 1. 만약에 ㅏ > 0, ㅏ≠ 1, 임의의 실수에 대한 방정식 (1) 비독특한 솔루션을 가지고 있습니다 엑스 = a b .
예 1. 방정식을 푼다:
a) 로그 2 엑스= 3, b) 로그 3 엑스= -1, c)
해결책. 진술 1을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다. 엑스= 2 3 또는 엑스= 8; 비) 엑스= 3 -1 또는 엑스= 1/3 ; 씨)
또는 엑스 = 1.로그의 기본 특성을 제시해 보겠습니다.
P1. 기본 로그 항등식:
어디 ㅏ > 0, ㅏ≠ 1 및 비 > 0.
P2. 양의 요소를 곱한 로그는 다음 요소의 로그의 합과 같습니다.
통나무 ㅏ N 1 · N 2 = 로그 ㅏ N 1 + 로그 ㅏ N 2 (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
논평. 만약에 N 1 · N 2 > 0이면 속성 P2는 다음 형식을 취합니다.
통나무 ㅏ N 1 · N 2 = 로그 ㅏ |N 1 | + 로그 ㅏ |N 2 | (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. 두 양수의 몫의 로그는 피제수와 제수 로그의 차이와 같습니다.
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
논평. 만약에
, (동등한 N 1 N 2 > 0) 속성 P3은 다음 형식을 취합니다.
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. 양수의 거듭제곱의 로그는 지수와 이 숫자의 로그의 곱과 같습니다.
통나무 ㅏ N 케이 = 케이통나무 ㅏ N (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N > 0).
논평. 만약에 케이- 짝수 ( 케이 = 2에스), 저것
통나무 ㅏ N 2에스 = 2에스통나무 ㅏ |N | (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N ≠ 0).
P5. 다른 기지로 이동하는 공식:
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, 비
> 0, 비
≠ 1, N
> 0),
특히 만약에 N = 비, 우리는 얻는다
(ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 비 ≠ 1). (2)속성 P4 및 P5를 사용하면 다음 속성을 쉽게 얻을 수 있습니다.
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, 비
> 0, 씨
≠ 0), (3)
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, 비
> 0, 씨
≠ 0), (4)
(ㅏ
> 0, ㅏ
≠ 1, 비
> 0, 씨
≠ 0), (5)
그리고 만약 (5)에 있다면 씨- 짝수 ( 씨 = 2N), 발생
(비
> 0, ㅏ
≠ 0, |ㅏ
| ≠ 1). (6)
로그 함수의 주요 속성을 나열해 보겠습니다. 에프 (엑스) = 로그 ㅏ 엑스 :
1. 로그 함수의 정의 영역은 양수의 집합입니다.
2. 로그 함수의 값 범위는 실수의 집합입니다.
3. 언제 ㅏ> 1 로그 함수는 엄격하게 증가합니다(0< 엑스 1 < 엑스 2로그 ㅏ 엑스 1 < logㅏ 엑스 2), 그리고 0에서< ㅏ < 1, - строго убывает (0 < 엑스 1 < 엑스 2로그 ㅏ 엑스 1 > 로그 ㅏ 엑스 2).
4.로그 ㅏ 1 = 0 및 로그 ㅏ ㅏ = 1 (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1).
5. 만약에 ㅏ> 1이면 로그 함수는 음수입니다. 엑스(0;1) 및 양수 엑스(1;+무한대), 그리고 0인 경우< ㅏ < 1, то логарифмическая функция положительна при 엑스 (0;1) 및 음수 엑스 (1;+∞).
6. 만일 ㅏ> 1이면 로그 함수는 위쪽으로 볼록하며, ㅏ(0;1) - 아래쪽으로 볼록합니다.
로그 방정식을 풀 때 다음 명령문(예를 들어 참조)이 사용됩니다.
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통합 상태 시험 전에 아직 시간이 있고 준비할 시간이 있다고 생각하십니까? 아마도 그럴 것입니다. 그러나 어쨌든 학생이 일찍 준비를 시작할수록 시험에 더 성공적으로 합격할 수 있습니다. 오늘 우리는 로그 부등식에 관한 기사를 쓰기로 결정했습니다. 이것은 과제 중 하나이며, 이는 추가 학점을 얻을 수 있는 기회를 의미합니다.
로그가 무엇인지 이미 알고 있나요? 우리는 정말로 그렇게 되기를 바랍니다. 하지만 이 질문에 대한 답이 없더라도 문제는 되지 않습니다. 로그가 무엇인지 이해하는 것은 매우 간단합니다.
왜 4개인가요? 81을 얻으려면 숫자 3을 이 거듭제곱으로 올려야 합니다. 원리를 이해하고 나면 더 복잡한 계산을 진행할 수 있습니다.
당신은 몇 년 전에 불평등을 겪었습니다. 그 이후로 당신은 수학에서 그것들을 끊임없이 접해왔습니다. 불평등을 해결하는 데 문제가 있는 경우 해당 섹션을 확인하세요.
이제 개별적으로 개념에 익숙해졌으므로 전반적인 개념을 살펴보겠습니다.
가장 간단한 로그 부등식.
가장 단순한 로그 부등식은 이 예에만 국한되지 않고 부호만 다른 세 가지가 더 있습니다. 이것이 왜 필요한가요? 로그를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 더 잘 이해합니다. 이제 좀 더 적용 가능한 예를 들어 보겠습니다. 여전히 매우 간단합니다. 복잡한 로그 부등식은 나중에 다루도록 하겠습니다.
이 문제를 해결하는 방법은 무엇입니까? 모든 것은 ODZ에서 시작됩니다. 불평등을 항상 쉽게 해결하려면 이에 대해 더 많이 아는 것이 좋습니다.
ODZ란 무엇인가요? 로그 부등식에 대한 ODZ
약어는 허용 가능한 값의 범위를 나타냅니다. 이 공식은 통합 상태 시험 과제에 자주 등장합니다. ODZ는 로그 부등식의 경우에만 유용할 것입니다.
위의 예를 다시 살펴보세요. 우리는 이를 기반으로 ODZ를 고려하여 원리를 이해하고 로그 부등식을 푸는 것이 질문을 제기하지 않도록 할 것입니다. 로그의 정의에 따르면 2x+4는 0보다 커야 합니다. 우리의 경우 이는 다음을 의미합니다.
정의에 따르면 이 숫자는 양수여야 합니다. 위에 제시된 부등식을 해결합니다. 이는 말로도 가능합니다. 여기서는 X가 2보다 작을 수 없다는 것이 분명합니다. 불평등에 대한 해결책은 허용 가능한 값의 범위를 정의하는 것입니다.
이제 가장 간단한 로그 부등식을 해결해 보겠습니다.
우리는 부등식의 양쪽에서 로그 자체를 버립니다. 그 결과 우리에게 남은 것은 무엇입니까? 단순한 불평등.
해결하는 것은 어렵지 않습니다. X는 -0.5보다 커야 합니다. 이제 얻은 두 값을 시스템으로 결합합니다. 따라서,
이는 고려중인 로그 부등식에 대해 허용 가능한 값의 범위입니다.
왜 ODZ가 필요한가요? 이는 부정확하고 불가능한 답변을 걸러낼 수 있는 기회입니다. 대답이 허용 가능한 값 범위 내에 있지 않으면 대답은 의미가 없습니다. 통합 상태 시험에서는 ODZ를 검색해야 하는 경우가 많고 로그 부등식뿐만 아니라 관련이 있기 때문에 오랫동안 기억할 가치가 있습니다.
로그 부등식을 해결하기 위한 알고리즘
솔루션은 여러 단계로 구성됩니다. 먼저, 허용 가능한 값의 범위를 찾아야 합니다. ODZ에는 두 가지 의미가 있습니다. 위에서 이에 대해 논의했습니다. 다음으로 불평등 자체를 해결해야 합니다. 해결 방법은 다음과 같습니다.
- 승수 대체 방법;
- 분해;
- 합리화 방법.
상황에 따라 위의 방법 중 하나를 사용하는 것이 좋습니다. 솔루션으로 직접 이동해 보겠습니다. 거의 모든 경우에 통합 상태 시험 문제를 해결하는 데 적합한 가장 널리 사용되는 방법을 공개하겠습니다. 다음으로 분해방법을 살펴보겠습니다. 특히 까다로운 불평등을 발견하면 도움이 될 수 있습니다. 따라서 로그 부등식을 해결하는 알고리즘입니다.
솔루션의 예 :
우리가 이러한 불평등을 받아들인 것은 아무것도 아닙니다! 베이스에 주의하세요. 기억하십시오: 1보다 크면 허용 가능한 값의 범위를 찾을 때 부호가 동일하게 유지됩니다. 그렇지 않으면 부등호를 변경해야 합니다.
결과적으로 우리는 불평등을 얻습니다.
이제 우리는 좌변을 0과 같은 방정식의 형태로 줄입니다. "보다 작음" 기호 대신 "같음"을 넣고 방정식을 풉니다. 따라서 우리는 ODZ를 찾을 것입니다. 이렇게 간단한 방정식을 푸는 데 문제가 없기를 바랍니다. 답은 -4와 -2입니다. 그게 다가 아닙니다. 그래프에 "+"와 "-"를 배치하여 이러한 점을 표시해야 합니다. 이를 위해 무엇을 해야 합니까? 간격의 숫자를 표현식으로 대체하십시오. 값이 양수이면 거기에 "+"를 넣습니다.
답변: x는 -4보다 크고 -2보다 작을 수 없습니다.
이제 왼쪽에 대해서만 허용되는 값의 범위를 찾았으니 이제 오른쪽에 대해서도 허용되는 값의 범위를 찾아야 합니다. 이것은 훨씬 쉽습니다. 답: -2. 우리는 두 결과 영역을 모두 교차합니다.
그리고 이제서야 우리는 불평등 그 자체를 다루기 시작했습니다.
쉽게 풀 수 있도록 최대한 단순화시켜 보겠습니다.
우리는 다시 솔루션에서 간격 방법을 사용합니다. 계산을 건너뛰겠습니다. 이전 예에서 모든 것이 이미 명확해졌습니다. 답변.
그러나 이 방법은 로그 부등식의 밑이 동일한 경우에 적합합니다.
서로 다른 밑수를 사용하여 로그 방정식과 부등식을 풀려면 초기에 동일한 밑수로 축소해야 합니다. 다음으로 위에서 설명한 방법을 사용하십시오. 그러나 더 복잡한 경우가 있습니다. 가장 복잡한 유형의 로그 부등식 중 하나를 고려해 보겠습니다.
가변 밑수를 사용한 대수 부등식
그러한 특성을 지닌 불평등을 해결하는 방법은 무엇입니까? 예, 그러한 사람들은 통합 국가 시험에서 찾을 수 있습니다. 다음과 같은 방법으로 불평등을 해결하면 교육 과정에도 유익한 영향을 미칠 것입니다. 문제를 자세히 살펴보겠습니다. 이론을 버리고 바로 실천에 들어가겠습니다. 로그 부등식을 풀려면 예제를 한 번만 익히면 충분합니다.
제시된 형식의 로그 부등식을 풀려면 우변을 동일한 밑을 갖는 로그로 줄이는 것이 필요합니다. 원리는 등가 전이와 유사합니다. 결과적으로 불평등은 다음과 같습니다.
실제로 남은 것은 로그 없는 불평등 시스템을 만드는 것뿐입니다. 합리화 방법을 사용하여 등가 불평등 시스템으로 이동합니다. 적절한 값을 대체하고 변경 사항을 추적하면 규칙 자체를 이해하게 됩니다. 시스템에는 다음과 같은 불평등이 있습니다.
부등식을 풀 때 합리화 방법을 사용할 때 다음 사항을 기억해야 합니다. 밑수에서 하나를 빼야 하고, 로그 정의에 따라 x를 부등식의 양쪽에서 빼고(오른쪽에서 왼쪽으로), 두 표현식을 곱합니다. 0과 관련된 원래 기호 아래에 설정됩니다.
추가 솔루션은 간격 방법을 사용하여 수행되며 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 해결 방법의 차이점을 이해하는 것이 중요합니다. 그러면 모든 것이 쉽게 해결되기 시작할 것입니다.
로그 부등식에는 많은 뉘앙스가 있습니다. 그 중 가장 간단한 것은 해결하기 매우 쉽습니다. 어떻게 문제 없이 각각의 문제를 해결할 수 있습니까? 당신은 이미 이 글의 모든 답변을 받았습니다. 이제 당신 앞에는 오랜 연습이 남아 있습니다. 시험에서 다양한 문제를 풀면서 꾸준히 연습하면 가장 높은 점수를 얻을 수 있을 것입니다. 어려운 일에 행운을 빕니다!
사용의 대수 불평등
세친 미하일 알렉산드로비치
카자흐스탄 공화국 학생들을 위한 소규모 과학 아카데미 "Iskatel"
MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11학년, 타운. 소베츠키 소베츠키 지구
시립 예산 교육 기관 "Sovetskaya Secondary School No. 1"의 교사 Gunko Lyudmila Dmitrievna
소베츠키 지구
작업의 목표:비표준 방법을 사용하여 로그 부등식 C3을 해결하기 위한 메커니즘 연구, 로그에 대한 흥미로운 사실 식별.
연구 주제:
3) 비표준 방법을 사용하여 특정 로그 부등식 C3을 해결하는 방법을 배웁니다.
결과:
콘텐츠
소개..........................................................................................................................4
제1장. 문제의 이력...................................................................................5
제2장. 대수부등식의 수집 ............................................. 7
2.1. 등가 천이와 일반화된 간격 방법 .............. 7
2.2. 합리화 방법.......................................................................................... 15
2.3. 비표준 대체 ............................................................................. ............ ..... 22
2.4. 트랩이 있는 작업..........................................................................27
결론.......................................................................................................... 30
문학……………………………………………………………………. 31
소개
저는 11학년이고 핵심 과목이 수학인 대학에 입학할 계획입니다. 그렇기 때문에 파트 C에서 문제를 많이 해결합니다. 작업 C3에서는 일반적으로 로그와 관련된 비표준 부등식 또는 부등식 시스템을 풀어야 합니다. 시험을 준비할 때 C3에서 제공하는 시험 로그 부등식을 해결하기 위한 방법과 기술이 부족하다는 문제에 직면했습니다. 이 주제에 대해 학교 커리큘럼에서 연구되는 방법은 C3 과제 해결을 위한 기초를 제공하지 않습니다. 수학 선생님은 나에게 그녀의 지도 하에 독립적으로 C3 과제를 수행할 것을 제안했습니다. 또한 나는 우리 삶에서 로그를 만나는가?라는 질문에 관심이 있었습니다.
이를 염두에 두고 주제를 선택했습니다.
"통합 상태 시험의 대수 불평등"
작업의 목표:비표준 방법을 사용하여 C3 문제를 해결하는 메커니즘을 연구하고 로그에 대한 흥미로운 사실을 식별합니다.
연구 주제:
1) 로그 부등식을 해결하기 위한 비표준 방법에 대해 필요한 정보를 찾습니다.
2) 로그에 대한 추가 정보를 찾아보세요.
3) 비표준 방법을 사용하여 특정 C3 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.
결과:
실질적인 의미는 C3 문제를 해결하기 위한 장치의 확장에 있습니다. 이 자료는 일부 수업, 클럽 및 수학 선택 수업에서 사용될 수 있습니다.
프로젝트 제품은 "솔루션을 사용한 C3 대수 불평등" 컬렉션이 될 것입니다.
제1장 배경
16세기 전반에 걸쳐 주로 천문학 분야에서 대략적인 계산의 수가 급격히 증가했습니다. 장비 개선, 행성 운동 연구 및 기타 작업에는 막대한 계산이 필요했으며 때로는 수년에 걸친 계산이 필요했습니다. 천문학은 성취되지 않은 계산에 빠져 죽을 위험에 처해 있었습니다. 보험업 등 다른 분야에서는 다양한 금리에 대해 복리표가 필요해 어려움이 생겼다. 가장 어려운 점은 여러 자리 수, 특히 삼각함수의 곱셈과 나눗셈이었습니다.
로그의 발견은 16세기 말에 잘 알려진 수열의 성질에 기초를 두고 있었습니다. 아르키메데스는 시편에서 기하학적 수열 q, q2, q3, ...의 항과 지수 1, 2, 3,...의 산술 수열 사이의 연관성에 대해 말했습니다. 또 다른 전제 조건은 차수 개념을 음수 및 분수 지수로 확장하는 것이었습니다. 많은 저자들은 기하 수열의 곱셈, 나눗셈, 지수화 및 근 추출이 산술(같은 순서), 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 해당한다는 점을 지적했습니다.
지수로서의 로그에 대한 아이디어는 다음과 같습니다.
대수 교리의 발전 역사에서 여러 단계를 거쳤습니다.
스테이지 1
로그는 1594년 이전에 스코틀랜드의 네이피어 남작(1550-1617)에 의해 독립적으로 발명되었으며, 10년 후 스위스 기계공 부르기(1552-1632)에 의해 발명되었습니다. 두 사람 모두 이 문제에 서로 다른 방식으로 접근했지만 새롭고 편리한 산술 계산 수단을 제공하기를 원했습니다. 네이피어는 로그 함수를 운동학적으로 표현함으로써 함수 이론의 새로운 분야에 진입했습니다. Bürgi는 개별적인 진행을 고려하는 기반을 유지했습니다. 그러나 두 가지 모두에 대한 로그의 정의는 현대의 로그 정의와 유사하지 않습니다. "로그"(logarithmus)라는 용어는 네이피어에 속합니다. 이는 그리스 단어인 로고스(logos) - "관계"와 ariqmo - "관계 수"를 의미하는 "숫자"의 조합에서 유래되었습니다. 처음에 Napier는 Numeri Naturalts - "자연수"와 반대로 Numeri Artificiales - "인공수"라는 다른 용어를 사용했습니다.
1615년 런던 Gresh College의 수학 교수인 Henry Briggs(1561-1631)와의 대화에서 네이피어는 1의 로그로 0을 사용하고 10의 로그로 100을 사용하도록 제안했습니다. 딱 1개입니다. 이것이 십진 로그와 최초의 로그 테이블이 인쇄된 방법입니다. 나중에 Briggs의 테이블은 네덜란드 서점이자 수학 애호가인 Adrian Flaccus(1600-1667)에 의해 보완되었습니다. 네이피어와 브릭스는 비록 다른 사람들보다 먼저 로그에 도달했지만 다른 사람들보다 늦게(1620년) 테이블을 출판했습니다. 로그 및 로그 기호는 1624년 I. Kepler에 의해 소개되었습니다. “자연 로그”라는 용어는 1659년 Mengoli에 의해 소개되었고, 1668년 N. Mercator가 뒤를 이어 런던의 교사인 John Speidel이 “New Logarithms”라는 이름으로 1부터 1000까지의 숫자에 대한 자연 로그 표를 출판했습니다.
최초의 로그표는 1703년에 러시아어로 출판되었습니다. 그러나 모든 로그표에는 계산 오류가 있었습니다. 최초의 오류 없는 표는 독일 수학자 K. Bremiker(1804-1877)에 의해 처리되어 1857년 베를린에서 출판되었습니다.
2단계
로그 이론의 추가 개발은 분석 기하학 및 극소 미적분학의 광범위한 적용과 관련됩니다. 그 무렵에는 등변 쌍곡선의 구적법과 자연 로그 사이의 연결이 확립되었습니다. 이 시기의 로그 이론은 여러 수학자들의 이름과 연관되어 있습니다.
독일 수학자, 천문학자, 엔지니어 니콜라우스 메르카토르(Nikolaus Mercator) 에세이
"Logarithmotechnics"(1668)는 다음에서 ln(x+1)의 확장을 제공하는 시리즈를 제공합니다.
x의 거듭제곱:
이 표현은 물론 그의 사고 방식과 정확히 일치하지만 d, ... 기호를 사용하지 않았지만 더 번거로운 상징을 사용했습니다. 로그 계열의 발견으로 로그 계산 기술이 변경되었습니다. 로그는 무한 계열을 사용하여 결정되기 시작했습니다. F. Klein은 1907-1908년에 열린 "더 높은 관점에서 본 초등 수학" 강의에서 로그 이론을 구성하기 위한 출발점으로 공식을 사용할 것을 제안했습니다.
3단계
역함수로서의 로그 함수 정의
지수, 주어진 밑수의 지수로서의 로그
즉시 공식화되지 않았습니다. 레온하르트 오일러(1707-1783)의 에세이
"무한소 분석 입문"(1748)은
로그 함수 이론의 개발. 따라서,
로그가 처음 도입된 지 134년이 지났습니다.
(1614년부터 계산), 수학자들이 정의에 도달하기 전
이제 학교 과정의 기초가 된 로그의 개념.
제2장. 대수부등식의 수집
2.1. 등가 전이 및 일반화된 간격 방법.
동등한 전환
, a > 1인 경우
, 0인 경우 <
а <
1
일반화된 간격 방법
이 방법은 거의 모든 유형의 불평등을 해결하는 데 가장 보편적입니다. 솔루션 다이어그램은 다음과 같습니다.
1. 부등식을 좌변의 함수가 있는 형태로 가져옵니다. 
, 그리고 오른쪽에는 0이 있습니다.
2. 함수의 정의역 찾기 .
3. 함수의 0을 찾으세요 즉, 방정식을 푼다. 
(그리고 방정식을 푸는 것이 일반적으로 부등식을 푸는 것보다 쉽습니다).
4. 정의역과 함수의 영점을 수직선에 그립니다.
5. 함수의 부호를 결정합니다. 얻은 간격에 따라.
6. 함수가 필요한 값을 취하는 간격을 선택하고 답을 적습니다.
예시 1.
해결책:
간격법을 적용해보자
어디
이러한 값의 경우 로그 기호 아래의 모든 표현식은 양수입니다.
답변:
예시 2.
해결책:
1위 방법 . ADL은 불평등에 의해 결정됩니다 엑스> 3. 이에 대해 로그를 취합니다. 엑스 10진법에서 우리는 다음을 얻습니다.
마지막 부등식은 확장 규칙을 적용하여 해결할 수 있습니다. 즉, 요인을 0과 비교합니다. 그러나 이 경우 함수의 상수 부호 간격을 결정하는 것은 쉽습니다.
따라서 간격 방법을 적용할 수 있습니다.
기능 에프(엑스) = 2엑스(엑스- 3.5) 이글 엑스- 3Ω은 다음에서 연속이다. 엑스> 3이고 지점에서 사라집니다. 엑스 1 = 0, 엑스 2 = 3,5, 엑스 3 = 2, 엑스 4 = 4. 따라서 우리는 함수의 상수 부호 간격을 결정합니다 에프(엑스):
답변:
두 번째 방법 . 간격 방법의 아이디어를 원래 부등식에 직접 적용해 보겠습니다.
이렇게 하려면 다음 표현을 기억하세요. ㅏ비- ㅏ c 및 ( ㅏ - 1)(비- 1) 하나의 표지판이 있습니다. 그렇다면 우리의 불평등은 엑스> 3은 불평등과 동일합니다.
또는
마지막 부등식은 간격 방법을 사용하여 해결됩니다.
답변:
예시 3.
해결책:
간격법을 적용해보자
답변:
예시 4.
해결책:
2 이후 엑스 2 - 3엑스+ 3 > 0 모든 실수 엑스, 저것
두 번째 부등식을 해결하기 위해 간격 방법을 사용합니다.
첫 번째 부등식에서 우리는 대체를 수행합니다.
그런 다음 우리는 불평등 2y 2 - 와이 - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те 와이, 이는 부등식 -0.5를 만족합니다.< 와이 < 1.
어디서부터, 왜냐면
우리는 불평등을 얻습니다
언제 수행되는지 엑스, 2개 엑스 2 - 3엑스 - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
이제 시스템의 두 번째 부등식에 대한 해법을 고려하여 마침내 다음을 얻습니다.
답변:
실시예 5.
해결책:
불평등은 시스템의 집합과 동일하다
또는
간격 방법을 사용하거나
답변:
실시예 6.
해결책:
불평등은 시스템과 같다
허락하다
그 다음에 와이 > 0,
그리고 첫 번째 부등식
시스템은 형태를 취한다
아니면 펼쳐지는
이차 삼항 인수분해,
마지막 부등식에 간격법을 적용하면,
우리는 조건을 만족하는 솔루션을 봅니다. 와이> 0은 모두 와이 > 4.
따라서 원래 부등식은 다음 시스템과 동일합니다.
따라서 불평등에 대한 해결책은 모두
2.2. 합리화 방법.
이전에는 합리화 방법을 사용하여 불평등이 해결되지 않았으며 알려지지 않았습니다. 이것은 "지수 및 로그 부등식을 해결하기 위한 새롭고 현대적인 효과적인 방법"입니다(S.I. Kolesnikova의 저서에서 인용).
그리고 교사가 그를 알고 있더라도 두려움이있었습니다. 통합 상태 시험 전문가가 그를 알고 있는데 왜 학교에서 그를주지 않습니까? 선생님이 학생에게 "어디서 구했어? 앉으세요 - 2"라고 말하는 상황이 있었습니다.
이제 이 방법은 모든 곳에서 홍보되고 있습니다. 그리고 전문가를 위한 이 방법과 관련된 지침이 있으며 솔루션 C3의 "가장 완전한 표준 옵션..."에서 이 방법이 사용됩니다.
훌륭한 방법입니다!
"마법의 테이블"
다른 출처에서
만약에 a >1이고 b >1이면 a b >0 및 (a -1)(b -1)>0을 기록합니다.
만약에 a >1과 0 0이면<ㅏ<1 и b
>1, 그런 다음 a b를 기록합니다.<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
0이면<ㅏ<1 и 00이고 (a-1)(b-1)>0이다. 수행된 추론은 간단하지만 로그 부등식의 해결을 상당히 단순화합니다. 예시 4.
로그 x (x 2 -3)<0
해결책:
실시예 5.
로그 2 x (2x 2 -4x +6) ≤로그 2 x (x 2 +x ) 해결책: 실시예 6.
이 부등식을 풀기 위해 분모 대신 (x-1-1)(x-1)을 쓰고, 분자 대신 곱 (x-1)(x-3-9 + x)를 씁니다. 실시예 7.
실시예 8.
2.3. 비표준 대체. 예시 1.
예시 2.
예시 3.
예시 4.
실시예 5.
실시예 6.
실시예 7.
로그 4 (3 x -1)로그 0.25 y=3 x -1;로 대체해 보겠습니다. 그러면 이 불평등은 다음과 같은 형태를 취할 것입니다. 로그 4 로그 0.25 왜냐하면 로그 0.25 t =log 4 y를 대체하고 부등식 t 2 -2t +≥0을 구해 보겠습니다. 그 해는 간격 - 따라서 y 값을 찾기 위해 두 가지 간단한 부등식 세트가 있습니다. 따라서 원래 부등식은 두 개의 지수 부등식의 집합과 같습니다. 이 집합의 첫 번째 부등식에 대한 해는 구간 0입니다.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 실시예 8.
해결책:
불평등은 시스템과 같다 ODZ를 정의하는 두 번째 부등식에 대한 해결책은 다음과 같습니다. 엑스,
무엇을 위해 엑스 > 0.
첫 번째 부등식을 해결하기 위해 대체를 수행합니다. 그러면 우리는 불평등을 얻습니다. 또는 마지막 부등식에 대한 해의 집합은 다음 방법으로 구합니다. 간격: -1< 티 < 2. Откуда, возвращаясь к переменной 엑스, 우리는 얻는다 또는 그 중 많은 것 엑스, 이는 마지막 부등식을 만족합니다. ODZ( 엑스> 0) 따라서 시스템에 대한 해입니다. 따라서 원래의 불평등이 발생합니다. 답변: 2.4. 함정이 있는 작업. 예시 1.
해결책.부등식의 ODZ는 조건 0을 만족하는 모든 x입니다. 예시 2.
로그 2(2 x +1-x 2)>로그 2(2 x-1 +1-x)+1.
답변. (0; 0.5)U.
답변 :
(3;6)
.
= -로그 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y 이면 마지막 부등식을 2log 4 y -log 4 2 y ≤로 다시 씁니다.
이 세트의 해는 간격 0입니다.<у≤2 и 8≤у<+.
즉, 집계 
. 따라서 구간 0부터 x의 모든 값에 대해 원래 부등식이 충족됩니다.<х≤1 и 2≤х<+.
.
. 따라서 모든 x는 구간 0에 속합니다.
결론
다양한 교육 소스에서 C3 문제를 해결하기 위한 구체적인 방법을 찾는 것은 쉽지 않았습니다. 작업을 진행하는 동안 복잡한 로그 부등식을 해결하기 위한 비표준 방법을 연구할 수 있었습니다. 이는 등가 전이 및 일반화된 간격 방법, 합리화 방법입니다. , 비표준 대체 , ODZ의 트랩이 있는 작업. 이러한 방법은 학교 커리큘럼에 포함되어 있지 않습니다.
저는 다양한 방법을 사용하여 파트 C, 즉 C3의 통합 상태 시험에서 제안된 27개의 불평등을 해결했습니다. 방법에 따른 솔루션의 불평등은 내 활동의 프로젝트 제품이 된 "솔루션을 통한 C3 대수 불평등" 컬렉션의 기초를 형성했습니다. 프로젝트 초기에 제시했던 가설은 확증되었습니다. C3 문제는 이러한 방법을 알면 효과적으로 해결할 수 있습니다.
게다가 로그에 관한 흥미로운 사실도 발견했습니다. 이 일을 하는 것이 나에게는 흥미로웠다. 내 프로젝트 제품은 학생과 교사 모두에게 유용할 것입니다.
결론:
이로써 프로젝트 목표가 달성되었고 문제도 해결되었습니다. 그리고 저는 작업의 모든 단계에서 가장 완전하고 다양한 프로젝트 활동 경험을 얻었습니다. 프로젝트를 진행하는 동안 나의 주요 발달 영향은 정신 능력, 논리적 정신 작업과 관련된 활동, 창의적 능력 개발, 개인 주도성, 책임감, 인내 및 활동에 있었습니다.
연구 프로젝트 생성 시 성공 보장 나는 상당한 학교 경험, 다양한 출처에서 정보를 얻고, 그 신뢰성을 확인하고, 중요도에 따라 순위를 매기는 능력을 얻었습니다.
수학에 대한 직접적인 주제 지식 외에도 컴퓨터 과학 분야에서 실용 기술을 확장하고 심리학 분야에서 새로운 지식과 경험을 얻었으며 급우들과 접촉하고 어른들과 협력하는 법을 배웠습니다. 프로젝트 활동을 통해 조직적, 지적, 의사소통적 일반 교육 기술이 개발되었습니다.
문학
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. 변수가 하나인 불평등 시스템(표준 작업 C3).
2. Malkova A. G. 수학 통합 국가 시험 준비.
3. Samarova S. S. 대수 부등식 풀기.
4. 수학. A.L.이 편집한 교육 작품 모음 Semenov 및 I.V. 야쉬첸코. -M.: MTsNMO, 2009. - 72p.-
