방정식 시스템의 주제를 설명합니다. 두 방정식 시스템의 표준 형식

24.09.2019

이 기사의 자료는 방정식 시스템을 처음 접하기 위한 것입니다. 여기에서는 방정식 시스템의 정의와 그 해를 소개하고 가장 일반적인 유형의 방정식 시스템도 고려합니다. 평소와 같이 설명적인 예를 제시하겠습니다.

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방정식 시스템이란 무엇입니까?

우리는 방정식 시스템의 정의에 점진적으로 접근할 것입니다. 첫째, 두 가지 점을 나타내는 것이 편리하다고 가정 해 보겠습니다. 첫째, 녹음 유형, 둘째, 이 녹음에 담긴 의미입니다. 차례로 살펴보고 방정식 시스템의 정의에 대한 추론을 일반화해 보겠습니다.

우리 앞에 몇 개가 있게 해주세요. 예를 들어, 2 x+y=−3 및 x=5라는 두 방정식을 생각해 보겠습니다. 아래에 하나씩 쓰고 왼쪽에 중괄호를 사용하여 결합해 보겠습니다.

한 열에 배열되고 왼쪽에 중괄호로 통합된 여러 방정식인 이 유형의 레코드는 방정식 시스템의 레코드입니다.

그러한 항목은 무엇을 의미합니까? 그들은 각 방정식의 해인 시스템의 방정식에 대한 모든 해의 집합을 정의합니다.

다른 말로 표현해도 나쁠 것 없습니다. 첫 번째 방정식의 일부 해가 시스템의 다른 모든 방정식의 해라고 가정해 보겠습니다. 따라서 시스템 기록은 단지 이를 의미합니다.

이제 우리는 방정식 시스템의 정의를 적절하게 받아들일 준비가 되었습니다.

정의.

방정식 시스템호출 레코드는 서로 아래에 위치한 방정식으로, 왼쪽에 중괄호로 통합되어 있으며, 이는 시스템의 각 방정식에 대한 해이기도 한 방정식에 대한 모든 해의 집합을 나타냅니다.

유사한 정의가 교과서에 나와 있지만 일반적인 경우가 아니라 두 개의 변수가 있는 두 개의 유리 방정식에 대해 나와 있습니다.

주요 유형

무한한 수의 다양한 방정식이 있다는 것이 분명합니다. 당연히 이를 사용하여 컴파일된 방정식 시스템도 무한히 많습니다. 따라서 방정식 시스템을 연구하고 작업하는 편의를 위해 유사한 특성에 따라 그룹으로 나눈 다음 개별 유형의 방정식 시스템을 고려하는 것이 좋습니다.

첫 번째 분할은 시스템에 포함된 방정식의 수로 나타납니다. 두 개의 방정식이 있으면 두 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있고, 세 개가 있으면 세 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있습니다. 이 경우 본질적으로 시스템이 아니라 방정식 자체를 다루고 있기 때문에 하나의 방정식 시스템에 대해 이야기하는 것이 의미가 없다는 것이 분명합니다.

다음 나눗셈은 시스템의 방정식을 작성하는 데 관련된 변수의 수를 기반으로 합니다. 변수가 하나 있으면 변수가 하나인 방정식 시스템(하나의 미지수가 있음)을 다루고, 변수가 두 개 있으면 변수가 두 개(미지수가 두 개임)가 있는 방정식 시스템을 처리합니다. 예를 들어, 는 두 개의 변수 x와 y를 갖는 방정식 시스템입니다.

이는 기록에 관련된 모든 다양한 변수의 수를 나타냅니다. 한 번에 각 방정식의 기록에 모두 포함될 필요는 없으며 적어도 하나의 방정식에 존재하면 충분합니다. 예: 는 세 개의 변수 x, y 및 z를 갖는 방정식 시스템입니다. 첫 번째 방정식에는 변수 x가 명시적으로 존재하고 y와 z는 암시적이며(이 변수는 0이라고 가정할 수 있음) 두 번째 방정식에는 x와 z가 있지만 변수 y는 명시적으로 제시되지 않습니다. 즉, 첫 번째 방정식은 다음과 같이 볼 수 있습니다. , 두 번째는 x+0·y−3·z=0입니다.

방정식 시스템이 다른 세 번째 점은 방정식 자체의 유형입니다.

학교에서 방정식 시스템에 대한 연구는 다음과 같이 시작됩니다. 두 변수의 두 선형 방정식 시스템. 즉, 이러한 시스템은 두 개의 선형 방정식을 구성합니다. 다음은 몇 가지 예입니다. 그리고 . 그들은 방정식 시스템 작업의 기본을 배웁니다.

더 복잡한 문제를 풀 때 세 개의 미지수가 있는 세 개의 선형 방정식 시스템을 접할 수도 있습니다.

또한 9학년에서는 비선형 방정식이 두 변수가 있는 두 방정식 시스템에 추가됩니다. 대부분은 2차 전체 방정식이며 덜 자주-더 높은 차수입니다. 이러한 시스템을 비선형 방정식 시스템이라고 하며 필요한 경우 방정식과 미지수의 수가 지정됩니다. 이러한 비선형 방정식 시스템의 예를 보여드리겠습니다. 그리고 .

그리고 시스템에는 예를 들어 . 이는 일반적으로 어떤 방정식을 지정하지 않고 단순히 방정식 시스템이라고 합니다. 여기서는 대부분의 방정식 시스템이 단순히 "방정식 시스템"으로 지칭되며 필요한 경우에만 설명이 추가된다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

고등학교에서는 자료를 연구하면서 비합리적, 삼각함수, 로그 및 지수 방정식이 시스템에 침투합니다. , , .

1학년 대학 커리큘럼을 더 자세히 살펴보면 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템, 즉 왼쪽에 1차 다항식이 포함된 방정식의 연구와 해법에 중점을 두고 있습니다. 오른쪽에는 특정 숫자가 포함되어 있습니다. 그러나 학교와 달리 더 이상 두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식을 사용하지 않고 임의의 수의 변수가 있는 임의의 수의 방정식을 사용하며 이는 종종 방정식 수와 일치하지 않습니다.

연립방정식의 해는 무엇입니까?

"방정식 시스템의 해"라는 용어는 방정식 시스템을 직접적으로 의미합니다. 학교에서는 두 개의 변수를 사용하여 방정식 시스템을 푸는 것에 대한 정의가 제공됩니다. :

정의.

두 변수를 사용하여 연립방정식 풀기시스템의 각 방정식을 올바른 방정식으로 바꾸는 이러한 변수의 값 쌍, 즉 시스템의 각 방정식에 대한 해를 호출합니다.

예를 들어, 한 쌍의 변수 값 x=5, y=2((5, 2)로 쓸 수 있음)는 정의에 따라 방정식 시스템에 대한 해입니다. 왜냐하면 시스템의 방정식은 x= 5, y=2가 이에 대입되어 각각 올바른 수치 동등성 5+2=7 및 5−2=3으로 변합니다. 그러나 x=3, y=0 값 쌍은 이 시스템의 솔루션이 아닙니다. 왜냐하면 이 값을 방정식에 대입하면 첫 번째 값이 잘못된 평등 3+0=7로 바뀌기 때문입니다.

변수가 1개인 시스템뿐만 아니라 3개, 4개 등의 시스템에 대해서도 유사한 정의를 공식화할 수 있습니다. 변수.

정의.

변수가 하나인 연립방정식 풀기시스템의 모든 방정식의 근본이 되는 변수의 값이 있을 것입니다. 즉, 모든 방정식을 올바른 수치 평등으로 바꾸는 것입니다.

예를 들어 보겠습니다. 다음 형식의 하나의 변수 t를 갖는 연립방정식을 생각해 보세요. . (−2) 2 =4와 5·(−2+2)=0이 모두 진정한 수치 동등이기 때문에 숫자 −2가 그 해입니다. 그리고 t=1은 시스템에 대한 해가 아닙니다. 이 값을 대체하면 두 개의 잘못된 등식 1 2 =4 및 5·(1+2)=0이 제공되기 때문입니다.

정의.

3, 4 등으로 시스템을 해결합니다. 변수 3, 4 등으로 불린다. 변수의 값은 각각 시스템의 모든 방정식을 진정한 평등으로 바꿉니다.

따라서 정의에 따르면 변수 x=1, y=2, z=0 값의 3배는 시스템에 대한 해입니다. , 2·1=2, 5·2=10, 1+2+0=3이 진정한 수치동등이기 때문입니다. 그리고 (1, 0, 5)는 이 시스템의 해가 아닙니다. 왜냐하면 이러한 변수 값을 시스템의 방정식에 대입하면 두 번째는 잘못된 평등 5·0=10으로 바뀌고 세 번째는 역시 1+0+5=3입니다.

연립방정식에는 해가 없을 수도 있고, 유한한 수의 해(예: 1, 2, ...)가 있을 수도 있고, 무한히 많은 해가 있을 수도 있습니다. 주제를 더 깊이 파고들면 이 내용을 보게 될 것입니다.

방정식 시스템의 정의와 해당 솔루션을 고려하면 방정식 시스템에 대한 솔루션은 모든 방정식의 솔루션 집합의 교차점이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

결론적으로 몇 가지 관련 정의는 다음과 같습니다.

정의.

비관절, 솔루션이 없으면 시스템이 호출됩니다. 관절.

정의.

방정식 시스템은 다음과 같습니다. 불확실한, 무한히 많은 솔루션이 있는 경우 확실한, 유한한 수의 해가 있거나 전혀 없는 경우.

예를 들어 이러한 용어는 교과서에 소개되어 있지만 학교에서는 거의 사용되지 않으며 고등 교육 기관에서는 더 자주 듣습니다.

서지.

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1. 대체방법: 시스템의 모든 방정식에서 우리는 미지수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

일.방정식 시스템을 푼다:

해결책.우리가 표현하는 시스템의 첫 번째 방정식으로부터 ~에~을 통해 엑스이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입합니다. 시스템을 갖추자 원본과 동일합니다.

유사한 용어를 가져온 후 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

두 번째 방정식에서 우리는 다음을 찾습니다: . 이 값을 방정식에 대입하면 ~에 = 2 - 2엑스, 우리는 얻는다 ~에= 3. 따라서 이 연립방정식의 해는 숫자 쌍입니다.

2. 대수적 덧셈 방법: 두 개의 방정식을 추가하면 변수가 하나인 방정식이 생성됩니다.

일.시스템 방정식을 푼다:

해결책.두 번째 방정식의 양변에 2를 곱하면 다음 시스템을 얻습니다. 원본과 동일합니다. 이 시스템의 두 방정식을 추가하면 시스템에 도달합니다.

비슷한 용어를 가져온 후 이 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 두 번째 방정식에서 우리는 를 찾습니다. 이 값을 방정식 3에 대입하면 엑스 + 4~에= 5, 우리는 얻는다 , 어디 . 따라서 이 시스템의 해는 숫자 쌍입니다.

3. 새로운 변수를 도입하는 방법: 우리는 시스템에서 새로운 변수로 표시할 몇 가지 반복적인 표현을 찾고 있으며 이를 통해 시스템의 모양을 단순화합니다.

일.방정식 시스템을 푼다:

해결책.이 시스템을 다르게 작성해 보겠습니다.

허락하다 x + y = 너, XY = V.그럼 우리는 시스템을 얻을

치환법을 이용하여 풀어보자. 우리가 표현하는 시스템의 첫 번째 방정식으로부터 유~을 통해 V이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입합니다. 시스템을 갖추자 저것들.

우리가 찾은 시스템의 두 번째 방정식에서 V 1 = 2, V 2 = 3.

이 값을 방정식에 대입하면 유 = 5 - V, 우리는 얻는다 유 1 = 3,
유 2 = 2. 그러면 우리는 두 개의 시스템을 갖게 됩니다.

첫 번째 시스템을 풀면 두 쌍의 숫자 (1; 2), (2; 1)를 얻습니다. 두 번째 시스템에는 솔루션이 없습니다.

독립적인 작업을 위한 연습

1. 대입법을 사용하여 연립방정식을 푼다.

선형 대수 방정식(SLAE) 시스템을 푸는 것은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정에서 가장 중요한 주제입니다. 수학의 모든 분야에서 발생하는 수많은 문제는 선형 방정식 시스템의 해결로 귀결됩니다. 이러한 요소가 이 기사의 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성되었습니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
선택한 방법의 이론을 연구하고,
일반적인 예와 문제에 대한 자세한 솔루션을 고려하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

기사 자료에 대한 간략한 설명입니다.

먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지 변수의 수와 동일하고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 방법을 고려할 것입니다. 먼저 Cramer의 방법에 초점을 맞추고, 두 번째로 이러한 연립방정식을 풀기 위한 행렬법을 보여주고, 세 번째로 Gauss 방법(미지 변수를 순차적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다양한 방식으로 해결할 것입니다.

그런 다음 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 단수인 일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 방법으로 넘어갑니다. SLAE의 호환성을 확립할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 행렬의 기초 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환 가능한 경우)을 분석해 보겠습니다. 또한 가우스 방법을 고려하고 예제에 대한 솔루션을 자세히 설명합니다.

우리는 선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션의 구조에 대해 확실히 설명할 것입니다. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제시하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션이 어떻게 작성되는지 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 선형 방정식으로 축소할 수 있는 방정식 시스템과 SLAE가 발생하는 솔루션의 다양한 문제를 고려할 것입니다.

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정의, 개념, 지정.

우리는 다음 형식의 n개의 미지 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수 - 계수(일부 실수 또는 복소수) - 자유 항(실수 또는 복소수).

이러한 형태의 녹음 SLAE를 SLAE라고 합니다. 동등 어구.

안에 행렬 형태이 방정식 시스템을 작성하면 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 - 시스템의 주 행렬 - 알 수 없는 변수의 열 행렬 - 자유 항의 열 행렬

자유 항의 행렬 열을 행렬 A에 (n+1)번째 열로 추가하면 소위 다음을 얻습니다. 확장 행렬선형 방정식 시스템. 일반적으로 확장 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 용어 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다.

선형 대수 방정식 시스템 풀기시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 알 수 없는 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식이 됩니다.

연립방정식에 적어도 하나의 해가 있는 경우 이를 다음이라고 합니다. 관절.

방정식 시스템에 해가 없으면 이를 호출합니다. 비관절.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 SLAE라고 합니다. 확실한; 솔루션이 두 개 이상인 경우 – 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유항이 0인 경우 , 시스템이 호출됩니다. 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템을 해결합니다.

시스템의 방정식 수가 알 수 없는 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE가 호출됩니다. 초등학교. 이러한 방정식 시스템은 고유한 해를 가지며, 동차 시스템의 경우 모든 미지 변수는 0과 같습니다.

우리는 고등학교 때부터 그러한 SLAE를 연구하기 시작했습니다. 문제를 풀 때 우리는 하나의 방정식을 선택하고, 하나의 미지 변수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 나머지 방정식에 대입한 다음, 다음 방정식을 선택하고, 다음 미지 변수를 표현하고 이를 다른 방정식에 대체하는 등의 작업을 수행했습니다. 또는 그들은 추가 방법을 사용했습니다. 즉, 일부 알려지지 않은 변수를 제거하기 위해 두 개 이상의 방정식을 추가했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 Gauss 방법을 수정한 것이므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법으로는 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법이 있습니다. 그것들을 정리해보자.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

여기서 방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

시스템의 주요 행렬의 결정자가 되도록 하고, - 대체에 의해 A로부터 얻은 행렬의 행렬식 첫째, 둘째, ..., n번째열을 자유 멤버 열에 각각:

이 표기법을 사용하면 미지 변수는 다음과 같은 Cramer 방법의 공식을 사용하여 계산됩니다. . 이것이 Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템의 해를 구하는 방법입니다.

예.

크레이머의 방법 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 행렬식을 계산해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 해를 갖습니다.

필요한 행렬식을 구성하고 계산해 봅시다 (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬식은 두 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬 A의 세 번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다.) :

수식을 사용하여 알려지지 않은 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템의 방정식 수가 3개보다 많은 경우 행렬식을 계산하는 것이 복잡하다는 것입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어지며, 여기서 행렬 A는 n x n 차원을 갖고 행렬식은 0이 아닙니다.

, 행렬 A는 가역행렬이므로, 즉 역행렬이 있습니다. 등식의 양쪽에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 행렬 열을 찾는 공식을 얻습니다. 이것이 행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 얻은 방법입니다.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 매트릭스 방법.

해결책.

방정식 시스템을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그러면 SLAE는 행렬 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템의 해는 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A 요소의 대수적 추가로 얻은 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

역행렬을 곱하여 알려지지 않은 변수의 행렬을 계산하는 것이 남아 있습니다. 무료 회원의 매트릭스 열에 (필요한 경우 기사 참조):

답변:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 때 주요 문제는 특히 3차보다 높은 차수의 정사각 행렬의 경우 역행렬을 찾는 것이 복잡하다는 것입니다.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다.

n개의 알 수 없는 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수의 순차적 제외로 구성됩니다. 먼저 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 x 1을 제외하고 세 번째부터 시작하여 x 2를 모든 방정식에서 제외하는 식으로 계속해서 알 수 없는 변수 x n만 나타납니다. 마지막 방정식에 남아 있습니다. 미지의 변수를 순차적으로 제거하기 위해 시스템 방정식을 변환하는 과정을 호출합니다. 직접 가우스 방법. 가우시안 방법의 전진 스트로크를 완료한 후 마지막 방정식에서 xn을 찾고, 두 번째 방정식에서 이 값을 사용하여 xn-1을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. 계의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지수를 계산하는 과정을 소위 가우스 방법의 반대.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘에 대해 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 항상 시스템의 방정식을 재배열함으로써 이를 달성할 수 있기 때문에 이라고 가정합니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 알 수 없는 변수 x 1을 제거해 보겠습니다. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식에 추가하고 첫 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지 변수로 표현하고 결과 표현식을 다른 모든 방정식에 대입했다면 동일한 결과에 도달했을 것입니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 비슷한 방식으로 진행하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 네 번째 방정식에 추가하고 두 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 두 번째 방정식을 곱한 를 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로, 알려지지 않은 x 3 제거를 진행하면서 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 진행을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 반대를 시작합니다. 마지막 방정식에서 xn을 다음과 같이 계산하고, 얻은 xn 값을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 찾습니다. .

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우스 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지 변수 x 1을 제외해 보겠습니다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 양쪽에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 각각 곱한 값을 추가합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제거합니다.

이로써 가우스 방법의 전방향 스트로크가 완료되고 역방향 스트로크가 시작됩니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식으로부터 우리는 를 얻습니다.

첫 번째 방정식에서 나머지 미지의 변수를 찾아 가우스 방법의 역을 완성합니다.

답변:

X 1 = 4, X 2 = 0, X 3 = -1.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형 및 단수인 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템의 해를 찾기 전에 호환성을 확립해야 합니다. SLAE가 호환되는 경우와 일관성이 없는 경우에 대한 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 동일할 수 있음)가 있는 p 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같아야 합니다. 즉, , 순위(A)=순위(T).

일례로 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위해 Kronecker-Capelli 정리를 적용하는 것을 고려해 보겠습니다.

예.

선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보세요. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 활용해보자. 두 번째 순서의 마이너 제로와는 다릅니다. 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

3차 경계에 있는 모든 마이너는 0이므로 주 행렬의 순위는 2와 같습니다.

확장된 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 미성년자는 3차이므로 3과 같습니다.

제로와는 다릅니다.

따라서, 따라서 Rang(A)는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

시스템에는 해결책이 없습니다.

그래서 우리는 크로네커-카펠리 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 확립하는 방법을 배웠습니다.

하지만 호환성이 확립된 경우 SLAE에 대한 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기저 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

0과 다른 행렬 A의 가장 높은 차수의 마이너를 호출합니다. 기초적인.

기초 마이너의 정의에 따르면 그 순서는 행렬의 순위와 동일합니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 여러 개의 기본 마이너가 있을 수 있으며 항상 하나의 마이너 기본이 있습니다.

예를 들어, 행렬을 고려해보세요 .

이 행렬의 세 번째 행 요소는 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이므로 이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다.

다음 2차 미성년자는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차 행렬의 순위가 r과 같으면 선택된 기저 마이너를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 다음을 형성하는 해당 행(및 열) 요소로 선형적으로 표현됩니다. 기초 마이너.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 말해주는가?

Kronecker-Capelli 정리에 따라 시스템의 호환성을 확립한 경우 시스템의 기본 행렬의 기본 마이너(차수는 r과 동일)를 선택하고 다음을 수행하는 모든 방정식을 시스템에서 제외합니다. 선택된 기초 미성년자를 형성하지 않습니다. 이러한 방식으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래 방정식과 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합입니다).

결과적으로 시스템의 불필요한 방정식을 버린 후에는 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템의 방정식 r의 수가 미지 변수의 수와 같으면 이는 명확해지며 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 찾을 수 있습니다.

예.

해결책.

시스템의 주요 매트릭스 순위 마이너가 2차이므로 2와 같습니다. 제로와는 다릅니다. 확장된 매트릭스 순위 유일한 3차 마이너가 0이기 때문에 는 2와 같습니다.

위에서 고려한 2차 마이너는 0과 다릅니다. 크로네커-카펠리 정리에 기초하여 순위(A)=순위(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기본 미성년자로서 우리는 . 이는 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.

시스템의 세 번째 방정식은 기초 마이너 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위에 대한 정리를 기반으로 하는 시스템에서 이를 제외합니다.

이것이 우리가 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻은 방법입니다. Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

답변:

x 1 = 1, x 2 = 2.

결과 SLAE의 방정식 수 r이 알 수 없는 변수 n의 수보다 적으면 방정식의 왼쪽에 기저 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 반대 부호를 갖는 시스템의 방정식.

방정식의 왼쪽에 남아 있는 미지 변수(r개)를 호출합니다. 기본.

오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(n – r개 조각이 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 취할 수 있는 반면, r개의 주요 미지 변수는 고유한 방식으로 자유 미지 변수를 통해 표현될 것이라고 믿습니다. 그 표현은 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 결과 SLAE를 풀어서 찾을 수 있습니다.

예를 들어 살펴 보겠습니다.

예.

선형 대수 방정식 시스템 풀기 .

해결책.

시스템의 주요 행렬의 순위를 찾아봅시다 미성년자를 경계하는 방법으로. 1 1 = 1을 1차의 0이 아닌 마이너로 가정해 보겠습니다. 이 마이너와 경계를 이루는 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너 검색을 시작해 보겠습니다.

이것이 우리가 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너를 찾은 방법입니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 경계 미성년자를 검색해 보겠습니다.

따라서 메인 매트릭스의 랭크는 3이다. 확장 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관성이 있습니다.

발견된 3차의 0이 아닌 마이너를 기본으로 사용합니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 구성하는 요소를 표시합니다.

우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기저 마이너와 관련된 항을 남겨두고 반대 기호가 있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.

무료로 알려지지 않은 변수 x 2 및 x 5에 임의의 값을 부여해 보겠습니다. 즉, 다음을 받아들입니다. , 임의의 숫자는 어디에 있습니까? 이 경우 SLAE는 다음과 같은 형식을 취합니다.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식의 결과 기본 시스템을 풀어 보겠습니다.

따라서, .

답변에 알 수 없는 무료 변수를 표시하는 것을 잊지 마세요.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 결정합니다. 기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 호환되지 않는다고 결론을 내립니다.

기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 마이너를 선택하고 선택된 기본 마이너의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 폐기합니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기초 미성년자의 차수가 알려지지 않은 변수의 수보다 적다면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 제공합니다. 무료 알려지지 않은 변수. 선형 방정식의 결과 시스템에서 우리는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법은 일관성을 먼저 테스트하지 않고도 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비호환성에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 존재하면 이를 찾는 것도 가능해집니다.

계산적인 관점에서는 가우스 방법이 더 바람직합니다.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 가우스 방법 문서에서 자세한 설명과 분석된 예를 참조하세요.

기본 해 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비동차 선형 대수 시스템에 대한 일반 해를 작성합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 해를 갖는 선형 대수 방정식의 동차 및 비동차 동시 시스템에 대해 설명합니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

솔루션의 기본 시스템 n개의 미지 변수를 갖는 p 선형 대수 방정식의 동차 시스템은 이 시스템의 (n – r) 선형 독립 해의 모음입니다. 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기저 마이너 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 해를 X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) 은 원주형으로 표시하면 차원 n x 1의 행렬) 이 동종 시스템의 일반 해는 임의의 상수 계수 C 1, C 2, ..., C (n-r)을 갖는 기본 해 시스템 벡터의 선형 조합으로 표시됩니다. 이다, .

동질적인 선형 대수 방정식 시스템의 일반해(oroslau)라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식은 원래 SLAE의 가능한 모든 솔루션을 지정합니다. 즉, 공식을 사용하여 임의의 상수 C 1, C 2, ..., C (n-r) 값 세트를 취합니다. 원래 동종 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻습니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

동질적인 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기초 마이너를 선택하고, 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고, 자유 미지수를 포함하는 모든 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 자유 미지수 변수에 1,0,0,...,0 값을 부여하고 예를 들어 Cramer 방법을 사용하여 어떤 방식으로든 선형 방정식의 기본 시스템을 풀어서 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 그러면 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)이 생성됩니다. 무료 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 제공하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등등. 0.0,…,0.1 값을 자유 미지수에 할당하고 주요 미지수를 계산하면 X(n-r)을 얻습니다. 이러한 방식으로 동종 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템이 구축되고 이에 대한 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 불균일 시스템의 경우 일반 해는 다음 형식으로 표시됩니다. 여기서 는 해당 동차 시스템의 일반 해이고 는 원래 불균일 SLAE의 특정 해입니다. 이는 자유 미지수에 값을 제공하여 얻습니다. 0,0,…,0 및 주요 미지수의 값을 계산합니다.

예를 살펴 보겠습니다.

예.

해의 기본 시스템과 선형 대수 방정식의 동차 시스템의 일반 해 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동차 시스템의 기본 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 마이너 경계법을 이용하여 메인행렬의 랭크를 구해보자. 1차의 0이 아닌 마이너로서 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 사용합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 경계에 있는 마이너를 찾아보겠습니다.

0이 아닌 2차의 마이너가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

모든 3차 경계 마이너는 0이므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2입니다. 해 보자 . 명확성을 위해 이를 구성하는 시스템 요소를 살펴보겠습니다.

원본 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 마이너 구성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

주요 미지수를 포함하는 항은 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항은 우변으로 옮깁니다.

원래의 동차 선형 방정식 시스템에 대한 기본 해 시스템을 구축해 보겠습니다. 이 SLAE의 기본 솔루션 시스템은 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 원래 SLAE에는 4개의 미지 변수가 포함되어 있고 기본 마이너의 차수는 2와 같기 때문입니다. X (1)을 찾기 위해 무료 미지 변수에 x 2 = 1, x 4 = 0 값을 제공한 다음 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

시스템을 해결하다두 개의 미지수가 있는 경우 - 이는 주어진 방정식을 각각 만족하는 변수 값의 모든 쌍을 찾는 것을 의미합니다. 이러한 각 쌍을 호출합니다. 시스템 솔루션.

예:
값 쌍 $x=3$;$y=-1$은 첫 번째 시스템에 대한 솔루션입니다. 왜냐하면 이 3과 마이너스 1을 시스템에 $x$ 및 \ 대신 대체할 때 때문입니다. (y\)이면 두 방정식 모두 올바른 등식 $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( 경우)$

하지만 $x=1$; $y=-2$ - 치환 후 두 번째 방정식이 "수렴하지 않기" 때문에 첫 번째 시스템에 대한 해가 아닙니다. $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(건수)$

이러한 쌍은 종종 더 짧게 작성된다는 점에 유의하십시오. "$x=3$; $y=-1$" 대신 다음과 같이 작성합니다: $(3;-1)$.

선형 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

선형 방정식 시스템을 푸는 세 가지 주요 방법이 있습니다.

대체 방법.

$\begin(케이스)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(케이스)$$\Leftrightarrow$ $\begin(케이스)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(건수)$$\Leftrightarrow$

이 변수 대신 결과 표현식을 시스템의 다른 방정식으로 대체하십시오.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(사례)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(사례)$

두 번째 방정식에서는 각 항이 짝수이므로 $2$로 나누어 방정식을 단순화합니다.

$\begin(케이스)13x+9y=17\\6x-y=13\end(케이스)$

이 시스템은 다음 방법 중 하나로 해결할 수 있지만 여기서는 대체 방법이 가장 편리한 것 같습니다. 두 번째 방정식에서 y를 표현해보자.

$\begin(케이스)13x+9y=17\\y=6x-13\end(케이스)$

첫 번째 방정식에 $y$ 대신 $6x-13$을 대입해 보겠습니다.

$\begin(케이스)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(케이스)$

첫 번째 방정식은 일반적인 방정식으로 바뀌었습니다. 해결해 봅시다.

먼저 괄호를 열어 보겠습니다.

$\begin(케이스)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(케이스)$

$117$을 오른쪽으로 이동시켜 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

$\begin(케이스)67x=134\\y=6x-13\end(케이스)$

첫 번째 방정식의 양변을 $67$로 나누어 보겠습니다.

$\begin(케이스)x=2\\y=6x-13\end(케이스)$

만세, $x$를 찾았습니다! 그 값을 두 번째 방정식에 대입하고 $y$를 구해 보겠습니다.

$\begin(케이스)x=2\\y=12-13\end(케이스)$$\Leftrightarrow$$\begin(케이스)x=2\\y=-1\end(케이스 )$

답을 적어보자.

이 비디오를 통해 방정식 시스템에 관한 일련의 수업을 시작합니다. 오늘 우리는 선형 방정식 시스템을 푸는 방법에 대해 이야기하겠습니다. 첨가방법- 이것은 가장 간단한 방법 중 하나이지만 동시에 가장 효과적인 방법 중 하나입니다.

추가 방법은 세 가지 간단한 단계로 구성됩니다.

시스템을 살펴보고 각 방정식에서 동일한(또는 반대) 계수를 갖는 변수를 선택하십시오.
서로 방정식의 대수적 뺄셈(반대 숫자의 경우 - 덧셈)을 수행한 다음 유사한 용어를 가져옵니다.
두 번째 단계 이후에 얻은 새로운 방정식을 풀어보세요.

모든 것이 올바르게 완료되면 출력에서 단일 방정식을 얻게 됩니다. 하나의 변수로— 해결하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 그런 다음 남은 것은 발견된 루트를 원래 시스템으로 대체하고 최종 답변을 얻는 것입니다.

그러나 실제로는 모든 것이 그렇게 간단하지 않습니다. 여기에는 몇 가지 이유가 있습니다.

덧셈 방법을 사용하여 방정식을 풀면 모든 선에는 계수가 같거나 반대인 변수가 포함되어야 합니다. 이 요구 사항이 충족되지 않으면 어떻게 해야 합니까?
항상 그런 것은 아니지만, 표시된 방식으로 방정식을 더하거나 빼면 쉽게 풀 수 있는 아름다운 구조를 얻게 됩니다. 어떻게든 계산을 단순화하고 계산 속도를 높일 수 있습니까?

이러한 질문에 대한 답을 얻고 동시에 많은 학생들이 실패하는 몇 가지 추가 세부 사항을 이해하려면 내 비디오 강의를 시청하세요.

이번 수업으로 우리는 방정식 시스템에 관한 일련의 강의를 시작합니다. 그리고 가장 간단한 것, 즉 두 개의 방정식과 두 개의 변수를 포함하는 것부터 시작하겠습니다. 그들 각각은 선형이 될 것입니다.

시스템은 7학년 자료이지만, 이 수업은 이 주제에 대한 지식을 복습하려는 고등학생에게도 유용할 것입니다.

일반적으로 이러한 시스템을 해결하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

추가 방법;
하나의 변수를 다른 변수로 표현하는 방법.

오늘 우리는 첫 번째 방법을 다룰 것입니다 - 우리는 뺄셈과 덧셈의 방법을 사용할 것입니다. 하지만 이렇게 하려면 다음 사실을 이해해야 합니다. 두 개 이상의 방정식이 있으면 그 중 두 개를 선택하여 서로 추가할 수 있습니다. 회원별로 추가됩니다. "X"에 "X"를 더해 유사한 것을 부여하고, "Y"와 "Y"를 다시 유사하게 하고, 등호 오른쪽에 있는 것도 서로 추가하고, 거기에도 유사한 것을 부여한다. .

그러한 계략의 결과는 새로운 방정식이 될 것이며, 만약 그것이 뿌리를 가지고 있다면 그것은 확실히 원래 방정식의 뿌리 중 하나일 것입니다. 따라서 우리의 임무는 $x$ 또는 $y$가 사라지는 방식으로 뺄셈이나 덧셈을 수행하는 것입니다.

이를 달성하는 방법과 이를 위해 사용할 도구에 대해 지금 이야기하겠습니다.

덧셈을 사용하여 쉬운 문제 풀기

그래서 우리는 두 가지 간단한 표현의 예를 사용하여 덧셈 방법을 사용하는 방법을 배웁니다.

작업 번호 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\end(align) \right.\]

$y$의 계수는 첫 번째 방정식에서 $-4$이고 두 번째 방정식에서는 $+4$입니다. 그들은 서로 반대이므로 합산하면 결과 합계에서 "게임"이 서로 파괴될 것이라고 가정하는 것이 논리적입니다. 그것을 추가하고 얻으십시오:

가장 간단한 구성을 해결해 보겠습니다.

좋습니다. 'x'를 찾았습니다. 이제 어떻게 해야 할까요? 우리는 이를 어떤 방정식으로든 대체할 권리가 있습니다. 첫 번째를 대체해 보겠습니다.

\[-4y=12\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]

답: $\left(2;-3 \right)$.

문제 2번

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\end(align) \right.\]

여기의 상황은 "X"만 제외하면 완전히 유사합니다. 그것들을 더해 봅시다:

가장 간단한 선형 방정식이 있습니다. 이를 풀어보겠습니다.

이제 $x$를 찾아봅시다:

답: $\left(-3;3 \right)$.

중요사항

그래서 우리는 덧셈법을 사용하여 두 가지 간단한 선형 방정식 시스템을 풀었습니다. 다시 한 번 핵심 사항:

변수 중 하나에 대해 반대 계수가 있는 경우 방정식에 모든 변수를 추가해야 합니다. 이 경우 그 중 하나가 파괴됩니다.
발견된 변수를 시스템 방정식 중 하나에 대체하여 두 번째 변수를 찾습니다.
최종 응답 기록은 다양한 방식으로 표시될 수 있습니다. 예를 들어 - $x=...,y=...$ 또는 점 좌표 형태 - $\left(...;... \right)$와 같습니다. 두 번째 옵션이 바람직합니다. 기억해야 할 가장 중요한 점은 첫 번째 좌표가 $x$이고 두 번째 좌표가 $y$라는 것입니다.
점 좌표 형식으로 답을 작성하는 규칙이 항상 적용되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 변수가 $x$ 및 $y$가 아닌 경우, 예를 들어 $a$ 및 $b$인 경우에는 사용할 수 없습니다.

다음 문제에서는 계수가 반대가 아닐 때의 뺄셈 기술을 고려해 보겠습니다.

뺄셈법을 이용한 쉬운 문제 풀기

작업 번호 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\end(align) \right.\]

여기에는 반대 계수가 없지만 동일한 계수가 있습니다. 따라서 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺍니다.

이제 $x$ 값을 시스템 방정식에 대체합니다. 먼저 가자:

답: $\left(2;5\right)$.

문제 2번

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\end(align) \right.\]

첫 번째와 두 번째 방정식에서 $x$에 대한 동일한 계수 $5$를 다시 볼 수 있습니다. 따라서 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼야 한다고 가정하는 것이 논리적입니다.

우리는 하나의 변수를 계산했습니다. 이제 두 번째 구성에 $y$ 값을 대체하여 두 번째 구성을 찾아보겠습니다.

답: $\left(-3;-2 \right)$.

솔루션의 뉘앙스

그래서 우리는 무엇을 봅니까? 본질적으로 이 계획은 이전 시스템의 솔루션과 다르지 않습니다. 유일한 차이점은 방정식을 더하는 것이 아니라 빼는 것입니다. 우리는 대수적 뺄셈을 하고 있습니다.

즉, 두 개의 미지수에 두 개의 방정식으로 구성된 시스템을 보자마자 가장 먼저 살펴봐야 할 것은 계수입니다. 어디에서나 같으면 방정식을 빼고, 반대이면 덧셈법을 사용합니다. 이는 항상 그 중 하나가 사라지도록 수행되며, 뺄셈 후에 남는 최종 방정식에서는 변수 하나만 남습니다.

물론 그게 전부는 아닙니다. 이제 우리는 방정식이 일반적으로 일관성이 없는 시스템을 고려해 보겠습니다. 저것들. 그 안에는 같거나 반대되는 변수가 없습니다. 이 경우 이러한 시스템을 해결하기 위해 각 방정식에 특수 계수를 곱하는 추가 기술이 사용됩니다. 그것을 찾는 방법과 그러한 시스템을 일반적으로 해결하는 방법에 대해 지금 이야기하겠습니다.

계수를 곱하여 문제 해결

예시 #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\end(align) \right.\]

우리는 $x$나 $y$에 대해 계수가 서로 반대일 뿐만 아니라 다른 방정식과 전혀 상관 관계가 없다는 것을 알 수 있습니다. 이 계수는 방정식을 서로 더하거나 빼더라도 어떤 식으로든 사라지지 않습니다. 그러므로 곱셈을 적용할 필요가 있다. $y$ 변수를 제거해 보겠습니다. 이를 위해 첫 번째 방정식에 두 번째 방정식의 $y$ 계수를 곱하고, 두 번째 방정식에 첫 번째 방정식의 $y$ 계수를 부호를 건드리지 않고 곱합니다. 우리는 곱하여 새로운 시스템을 얻습니다.

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\end(align) \right.\]

살펴보겠습니다. $y$에서는 계수가 반대입니다. 이러한 상황에서는 추가 방법을 사용할 필요가 있습니다. 다음을 추가해 보겠습니다.

이제 $y$를 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 $x$를 첫 번째 표현식으로 대체하세요.

\[-9y=18\왼쪽| :\왼쪽(-9 \오른쪽) \오른쪽.\]

답: $\left(4;-2 \right)$.

예 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\end(align) \right.\]

다시 말하지만, 모든 변수에 대한 계수는 일관성이 없습니다. $y$의 계수를 곱해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

새로운 시스템은 이전 시스템과 동일하지만 $y$의 계수는 서로 반대이므로 여기서 덧셈 방법을 적용하는 것은 쉽습니다.

이제 첫 번째 방정식에 $x$를 대입하여 $y$를 찾아보겠습니다.

답: $\left(-2;1 \right)$.

솔루션의 뉘앙스

여기서 핵심 규칙은 다음과 같습니다. 우리는 항상 양수로만 곱합니다. 이렇게 하면 표지판 변경과 관련된 어리 석고 공격적인 실수를 피할 수 있습니다. 일반적으로 솔루션 구성표는 매우 간단합니다.

우리는 시스템을 살펴보고 각 방정식을 분석합니다.
$y$도 $x$도 아닌 경우 계수가 일관됩니다. 즉, 같지도 반대도 아닌 경우 다음을 수행합니다. 제거해야 할 변수를 선택한 다음 이러한 방정식의 계수를 살펴봅니다. 첫 번째 방정식에 두 번째 방정식의 계수를 곱하고 두 번째 방정식에 첫 번째 방정식의 계수를 곱하면 결국 이전 방정식과 완전히 동일한 시스템과 $의 계수를 얻게 됩니다. y$는 일관성이 있습니다. 우리의 모든 행동이나 변환은 하나의 방정식에서 하나의 변수를 얻는 것을 목표로 합니다.
우리는 하나의 변수를 발견합니다.
발견된 변수를 시스템의 두 방정식 중 하나로 대체하고 두 번째 방정식을 찾습니다.
변수 $x$ 및 $y$가 있는 경우 점 좌표 형식으로 답을 작성합니다.

그러나 이러한 간단한 알고리즘에도 고유한 미묘함이 있습니다. 예를 들어 $x$ 또는 $y$의 계수는 분수 및 기타 "추악한" 숫자가 될 수 있습니다. 이제 이러한 경우를 별도로 고려할 것입니다. 왜냐하면 표준 알고리즘에 따라 다르게 행동할 수 있기 때문입니다.

분수 문제 해결

예시 #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\end(align) \right.\]

먼저, 두 번째 방정식에 분수가 포함되어 있다는 점에 유의하세요. 하지만 $4$를 $0.8$로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요. 우리는 $5$를 받게 됩니다. 두 번째 방정식에 $5$를 곱해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\end(align) \right.\]

우리는 방정식을 서로 뺍니다.

$n$을 찾았습니다. 이제 $m$을 세어보겠습니다.

답: $n=-4;m=5$

예 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ 오른쪽.\]

여기에는 이전 시스템과 마찬가지로 분수 계수가 있지만 어떤 변수에 대해서도 계수가 정수 횟수로 서로 맞지 않습니다. 따라서 우리는 표준 알고리즘을 사용합니다. $p$ 제거:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\end(align) \right.\]

우리는 빼기 방법을 사용합니다.

두 번째 구성에 $k$를 대체하여 $p$를 찾아보겠습니다.

답: $p=-4;k=-2$.

솔루션의 뉘앙스

그게 전부 최적화입니다. 첫 번째 방정식에서는 아무것도 곱하지 않았지만 두 번째 방정식에는 $5$를 곱했습니다. 결과적으로 우리는 첫 번째 변수에 대해 일관되고 동일한 방정식을 얻었습니다. 두 번째 시스템에서는 표준 알고리즘을 따랐습니다.

그런데 방정식에 곱할 숫자를 어떻게 찾나요? 결국, 분수를 곱하면 새로운 분수를 얻게 됩니다. 따라서 분수에 새로운 정수를 제공하는 숫자를 곱한 다음 표준 알고리즘에 따라 변수에 계수를 곱해야 합니다.

결론적으로, 응답을 기록하는 형식에 주목하고 싶습니다. 이미 말했듯이 여기에는 $x$ 및 $y$가 아니라 다른 값이 있으므로 다음 형식의 비표준 표기법을 사용합니다.

복잡한 방정식 시스템 풀기

오늘 비디오 튜토리얼의 마지막으로 정말 복잡한 시스템 몇 가지를 살펴보겠습니다. 그들의 복잡성은 왼쪽과 오른쪽 모두에 변수가 있다는 사실로 구성됩니다. 따라서 이를 해결하려면 전처리를 적용해야 합니다.

시스템 No.1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

각 방정식에는 특정 복잡성이 있습니다. 그러므로 각 표현식을 정규 선형 구성으로 처리해 보겠습니다.

전체적으로 우리는 원래 시스템과 동일한 최종 시스템을 얻습니다.

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\end(align) \right.\]

$y$의 계수를 살펴보겠습니다. $3$는 $6$에 두 번 적합하므로 첫 번째 방정식에 $2$를 곱해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\end(align) \right.\]

$y$의 계수는 이제 동일하므로 첫 번째 방정식에서 두 번째를 뺍니다. $$

이제 $y$를 찾아봅시다:

답: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

시스템 2번

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

첫 번째 표현식을 변형해 보겠습니다.

두 번째 것을 다루겠습니다.

\[-3\왼쪽(b-2a \오른쪽)-12=2\왼쪽(a-5 \오른쪽)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

전체적으로 우리의 초기 시스템은 다음과 같은 형태를 취합니다:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

$a$의 계수를 살펴보면 첫 번째 방정식에 $2$를 곱해야 한다는 것을 알 수 있습니다.

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

첫 번째 구성에서 두 번째 구성을 뺍니다.

이제 $a$를 찾아봅시다:

답: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

그게 다야. 이 비디오 튜토리얼이 이 어려운 주제, 즉 간단한 선형 방정식 시스템을 해결하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 앞으로 이 주제에 대해 더 많은 교훈이 있을 것입니다. 우리는 더 많은 변수가 있고 방정식 자체가 비선형인 더 복잡한 예를 살펴볼 것입니다. 또 보자!