함수의 최대값과 최소값

함수의 가장 큰 값은 가장 큰 값이고, 가장 작은 값은 모든 값 중에서 가장 작은 값입니다.

함수에는 가장 큰 값과 가장 작은 값이 하나씩만 있을 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다. 연속 함수의 최대값과 최소값을 찾는 것은 이러한 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다.

1) 특정 구간(유한 또는 무한)에서 함수 y=f(x)가 연속이고 극값이 하나만 있고 이것이 최대(최소)인 경우 함수의 가장 큰(최소) 값이 됩니다. 이 간격에.

2) 함수 f(x)가 특정 세그먼트에서 연속적이면 반드시 이 세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 갖습니다. 이 값은 세그먼트 내부에 있는 극점이나 이 세그먼트의 경계에서 도달됩니다.

세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1. 파생상품을 찾아보세요.

2. =0 또는 존재하지 않는 함수의 임계점을 찾습니다.

3. 임계점과 세그먼트 끝에서 함수 값을 찾아 그 중에서 가장 큰 f max와 가장 작은 f max를 선택합니다.

적용된 문제, 특히 최적화 문제를 해결할 때 간격 X에서 함수의 최대값과 최소값(전역 최대값 및 전역 최소값)을 찾는 문제가 중요합니다. 이러한 문제를 해결하려면 조건을 기반으로 해야 합니다. , 독립변수를 선택하고 이 변수를 통해 연구중인 값을 표현합니다. 그런 다음 결과 함수의 원하는 최대값 또는 최소값을 찾습니다. 이 경우 유한하거나 무한할 수 있는 독립변수의 변화 간격도 문제의 조건에 따라 결정된다.

예.상단이 개방되어 있고 하단이 정사각형이고 직육면체 모양인 탱크는 내부에 주석을 입혀야 합니다. 용량이 108 리터인 경우 탱크의 크기는 얼마입니까? 주석 도금 비용이 최소화되도록 물을 사용합니까?

해결책.주어진 용량에 대해 표면적이 최소화되면 주석으로 탱크를 코팅하는 비용이 최소화됩니다. 베이스의 측면을 adm, 탱크의 높이를 bdm으로 표시하겠습니다. 그러면 표면의 면적 S는 다음과 같습니다.

그리고

결과 관계는 저장소 S의 표면적(함수)과 밑면 a(인수) 사이의 관계를 설정합니다. 극값에 대한 함수 S를 살펴보겠습니다. 1차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀어보겠습니다.

따라서 a = 6입니다. (a) > 0(a > 6인 경우), (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

예. 함수의 최대값과 최소값 찾기 간격에.

해결책: 주어진 함수는 전체 수직선을 따라 연속됩니다. 함수의 파생

에 대한 파생어 및 . 다음 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

.

주어진 간격의 끝 부분에 있는 함수의 값은 동일합니다. 따라서 함수의 가장 큰 값은 at 과 같고, 함수의 가장 작은 값은 at 과 같습니다.

자가 테스트 질문

1. 형태의 불확실성을 드러내는 로피탈의 법칙을 공식화합니다. 로피탈의 법칙을 사용하여 해결할 수 있는 다양한 유형의 불확실성을 나열하십시오.

2. 함수의 증가 및 감소의 신호를 공식화합니다.

3. 함수의 최대값과 최소값을 정의합니다.

4. 극한의 존재에 필요한 조건을 공식화하십시오.

5. 논증의 어떤 가치(어떤 점)를 비판적이라고 부르나요? 이 포인트를 찾는 방법은 무엇입니까?

6. 함수의 극값이 존재한다는 충분한 신호는 무엇입니까? 1차 도함수를 사용하여 극값에서 함수를 연구하는 방식을 개략적으로 설명합니다.

7. 2차 도함수를 사용하여 극값에서 함수를 연구하는 방식을 개략적으로 설명합니다.

8. 곡선의 볼록함과 오목함을 정의합니다.

9. 함수 그래프의 변곡점을 무엇이라고 하나요? 이러한 점을 찾는 방법을 나타냅니다.

10. 주어진 세그먼트에서 곡선의 볼록함과 오목함의 필요하고 충분한 표시를 공식화합니다.

11. 곡선의 점근선을 정의합니다. 함수 그래프의 수직, 수평 및 경사 점근선을 찾는 방법은 무엇입니까?

12. 함수를 연구하고 그래프를 구성하는 일반적인 계획을 개략적으로 설명하십시오.

13. 주어진 구간에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 규칙을 공식화합니다.

함수의 극값은 무엇이며 극값의 필요 조건은 무엇입니까?

함수의 극값은 함수의 최대값과 최소값입니다.

함수의 최대값과 최소값(극값)에 대한 필요 조건은 다음과 같습니다. 함수 f(x)가 x = a 지점에서 극값을 갖는 경우 이 지점에서 도함수는 0이거나 무한하거나 그렇지 않습니다. 존재하다.

이 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. x = a 지점에서의 도함수는 0, 무한대로 갈 수 있고, 이 지점에서 극값을 갖는 함수가 없으면 존재하지 않을 수도 있습니다.

함수의 극값(최대값 또는 최소값)에 대한 충분조건은 무엇입니까?

첫 번째 조건:

점 x = a에 충분히 근접한 경우 도함수 f?(x)가 a의 왼쪽에서는 양수이고 a의 오른쪽에서는 음수이면 점 x = a에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최고

점 x = a에 충분히 근접한 경우 도함수 f?(x)가 a의 왼쪽에서는 음수이고 a의 오른쪽에서는 양수이면 점 x = a에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최저한의단, 여기서 함수 f(x)는 연속입니다.

대신, 함수의 극값에 대해 두 번째 충분 조건을 사용할 수 있습니다.

x = a 지점에서 1차 도함수 f?(x)가 사라지도록 하세요. 2차 도함수 f??(a)가 음수이면 함수 f(x)는 x = a 지점에서 최대값을 갖고, 양수이면 최소값을 갖습니다.

함수의 임계점은 무엇이며 이를 찾는 방법은 무엇입니까?

이는 함수가 극값(즉, 최대값 또는 최소값)을 갖는 함수 인수의 값입니다. 그것을 찾으려면 당신이 필요합니다 파생상품을 찾아보세요함수 f?(x)를 0으로 동일시하면, 방정식을 풀다 f?(x) = 0. 이 방정식의 근과 이 함수의 도함수가 존재하지 않는 지점은 임계점, 즉 극값이 있을 수 있는 인수의 값입니다. 를 보면 쉽게 식별할 수 있습니다. 미분 그래프: 우리는 함수 그래프가 가로축(Ox 축)과 교차하는 인수 값과 그래프가 불연속성을 겪는 인수 값에 관심이 있습니다.

예를 들어 찾아보자 포물선의 극점.

함수 y(x) = 3x2 + 2x - 50.

함수의 파생: y?(x) = 6x + 2

방정식을 푼다: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

이 경우 임계점은 x0=-1/3입니다. 함수는 이 인수 값을 사용합니다. 극한의. 그에게 찾다, 표현식에서 찾은 숫자를 "x" 대신 함수로 대체합니다.

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

함수의 최대값과 최소값을 결정하는 방법, 즉 가장 큰 값과 가장 작은 값은 무엇입니까?

임계점 x0을 통과할 때 도함수의 부호가 "플러스"에서 "마이너스"로 변경되면 x0은 다음과 같습니다. 최대 포인트; 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌면 x0은 다음과 같습니다. 최소 포인트; 부호가 변경되지 않으면 x0 지점에는 최대값도 최소값도 없습니다.

고려된 예의 경우:

임계점 왼쪽에 있는 임의의 인수 값을 취합니다: x = -1

x = -1에서 도함수 값은 y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4입니다(즉, 부호는 "마이너스"임).

이제 우리는 임계점 오른쪽에 있는 인수의 임의 값을 취합니다: x = 1

x = 1에서 도함수 값은 y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8이 됩니다(즉, 부호는 "플러스"입니다).

보시다시피 미분은 임계점을 통과할 때 마이너스에서 플러스로 부호가 바뀌었습니다. 이는 임계값 x0에 최소점이 있다는 것을 의미합니다.

함수의 최대값과 최소값 간격에(세그먼트에서)는 동일한 절차를 사용하여 발견되며, 아마도 모든 임계점이 지정된 간격 내에 있지는 않다는 사실만 고려합니다. 간격을 벗어나는 임계점은 고려 대상에서 제외되어야 합니다. 간격 내에 임계점이 하나만 있는 경우 최대값 또는 최소값을 갖게 됩니다. 이 경우 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정하기 위해 간격 끝의 함수 값도 고려합니다.

예를 들어 함수의 최대값과 최소값을 찾아보겠습니다.

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

간격을 두고:

따라서 함수의 미분은 다음과 같습니다.

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

우리는 방정식 3cos(x) - 0.5 = 0을 푼다.

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

간격 [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (구간에 포함되지 않음)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = 아크코사인(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = 아크코사인(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = 아크코사인(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163(구간에 포함되지 않음)

인수의 중요한 값에서 함수 값을 찾습니다.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

간격 [-9; 9] 함수는 x = -4.88에서 가장 큰 값을 갖습니다.

x = -4.88, y = 5.398,

가장 작은 것 - x = 4.88에서:

x = 4.88, y = -5.398.

간격 [-6; -3] 중요한 점은 단 하나뿐입니다: x = -4.88. x = -4.88에서의 함수 값은 y = 5.398과 같습니다.

구간 끝에서 함수의 값을 찾습니다.

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

간격 [-6; -3] 우리는 함수의 가장 큰 가치를 가지고 있습니다

x = -4.88에서 y = 5.398

가장 작은 값 -

x = -3에서 y = 1.077

함수 그래프의 변곡점을 찾고 볼록한 면과 오목한 면을 결정하는 방법은 무엇입니까?

y = f(x) 선의 모든 변곡점을 찾으려면 2차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시하고(방정식을 풀고) 2차 도함수가 0인 모든 x 값을 테스트해야 합니다. 무한하거나 존재하지 않습니다. 이러한 값 중 하나를 통과할 때 2차 도함수의 부호가 변경되면 함수 그래프는 이 지점에서 변곡점을 갖습니다. 변하지 않으면 굴곡이 없는 것입니다.

방정식 f의 근원은 무엇입니까? (x) = 0, 함수 및 2차 도함수의 불연속 지점은 함수 정의 영역을 여러 간격으로 나눕니다. 각 간격의 볼록성은 2차 도함수의 부호에 의해 결정됩니다. 연구 중인 구간의 한 점에서 2차 도함수가 양수이면 선 y = f(x)는 위쪽으로 오목하고, 음수이면 아래쪽으로 오목합니다.

두 변수의 함수의 극값을 찾는 방법은 무엇입니까?

지정 영역에서 미분 가능한 함수 f(x,y)의 극값을 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 임계점을 찾고 이를 위해 방정식 시스템을 해결합니다.

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) 각 임계점 P0(a;b)에 대해 차이의 부호가 변경되지 않은 상태로 유지되는지 조사합니다.

P0에 충분히 가까운 모든 점(x;y)에 대해. 차이가 양수로 유지되면 P0 지점에 최소값이 있고, 음수이면 최대값이 있습니다. 차이의 부호가 유지되지 않으면 점 P0에 극값이 없습니다.

함수의 극값은 더 많은 수의 인수에 대해 유사하게 결정됩니다.

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먼저 주요 사항에 대해 간략히 설명합니다. 에 관한 수업에서 기능의 연속성나는 한 점에서의 연속성과 간격에서의 연속성의 정의를 제시했습니다. 세그먼트에 대한 함수의 예시적인 동작은 유사한 방식으로 공식화됩니다. 다음과 같은 경우 함수는 일정 간격으로 연속적입니다.

1) 구간에서 연속적이다.
2) 한 지점에서 연속적 오른쪽에그리고 그 시점에서 왼쪽.

두 번째 단락에서 우리는 소위 말하는 것에 대해 이야기했습니다. 일방적인 연속성한 지점에서 기능합니다. 이를 정의하는 데는 여러 가지 접근 방식이 있지만 앞서 시작한 방식을 고수하겠습니다.

함수는 해당 지점에서 연속적입니다. 오른쪽에, 주어진 지점에서 정의되고 오른쪽 극한이 주어진 지점에서 함수의 값과 일치하는 경우: . 그 지점에서 연속적이다 왼쪽, 주어진 지점에서 정의되고 왼쪽 극한이 이 지점의 값과 같다면:

녹색 점이 마법의 탄력 있는 밴드가 붙어 있는 못이라고 상상해 보세요.

정신적으로 빨간 선을 손에 넣으십시오. 분명히 그래프를 축을 따라 위아래로 얼마나 멀리 늘려도 함수는 여전히 유지됩니다. 제한된– 상단에 울타리, 하단에 울타리, 당사 제품은 방목장에서 풀을 뜯습니다. 따라서, 구간에서 연속인 함수는 그것에 유계가 있습니다.. 겉으로는 단순해 보이는 이 사실이 수학적 분석 과정에서 명시되고 엄격하게 입증됩니다. Weierstrass의 첫 번째 정리....많은 사람들이 기초적인 진술이 수학에서 지루하게 입증된다는 사실에 짜증을 내지만 이는 중요한 의미를 갖습니다. 테리 중세 시대의 특정 주민이 가시성의 한계를 넘어 하늘로 그래프를 끌어당겼다고 가정해 보겠습니다. 망원경이 발명되기 전에는 우주에서의 제한된 기능이 전혀 분명하지 않았습니다! 정말로, 지평선 너머에 무엇이 우리를 기다리고 있는지 어떻게 알 수 있습니까? 결국 지구는 한때 평평한 것으로 간주되었으므로 오늘날 일반 순간 이동에도 증거가 필요합니다 =)

에 따르면 Weierstrass의 두 번째 정리, 세그먼트에서 연속기능이 도달 정확한 상한그리고 당신 것 정확한 하단 가장자리 .

번호도 불려요 세그먼트에 대한 함수의 최대값및 은 로 표시되며, 숫자는 세그먼트에 대한 함수의 최소값표시됨.

우리의 경우:

메모 : 이론적으로는 녹음이 일반적이다 .

대략적으로 말하면, 그래프에서 가장 높은 점이 있는 곳이 가장 큰 값이고, 가장 낮은 점이 있는 곳이 가장 작은 값입니다.

중요한!이미 기사에서 강조했듯이 함수의 극값, 가장 큰 함수 값그리고 가장 작은 함수 값 – 동일하지 않음, 무엇 최대 기능그리고 최소 기능. 따라서 고려중인 예에서 숫자는 함수의 최소값이지만 최소값은 아닙니다.

그런데 세그먼트 외부에서는 어떤 일이 발생합니까? 예, 고려중인 문제의 맥락에서 홍수라도 이것은 우리에게 전혀 관심이 없습니다. 이 작업에는 두 개의 숫자만 찾는 것이 포함됩니다. 그리고 그게 다야!

게다가 솔루션은 순전히 분석적이므로 그림을 그릴 필요가 없어!

알고리즘은 표면에 있으며 위 그림에서 자체적으로 제안됩니다.

1) 다음에서 함수의 값을 찾습니다. 임계점, 이 세그먼트에 속하는.

또 다른 보너스를 잡아라: 여기서는 극한값에 대한 충분조건을 확인할 필요가 없다. 방금 보인 것처럼 최소값이나 최대값이 존재하기 때문이다. 아직 보장하지 않습니다, 최소값 또는 최대값은 얼마입니까? 데모 기능은 최대치에 도달하고 운명의 의지에 따라 동일한 숫자가 세그먼트에서 기능의 가장 큰 값입니다. 그러나 물론 그러한 우연의 일치가 항상 발생하는 것은 아닙니다.

따라서 첫 번째 단계에서는 극한값이 있는지 여부를 고려하지 않고 세그먼트에 속하는 임계점에서 함수 값을 계산하는 것이 더 빠르고 쉽습니다.

2) 세그먼트 끝의 함수 값을 계산합니다.

3) 1번과 2번 문단에 나온 함수값 중 가장 작은 숫자와 가장 큰 숫자를 선택하여 답을 적어주세요.

우리는 푸른 바다 기슭에 앉아 발꿈치로 얕은 물을 밟습니다.

실시예 1

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값 찾기

해결책:
1) 이 세그먼트에 속하는 임계점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

두 번째 임계점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

2) 세그먼트 끝의 함수 값을 계산해 보겠습니다.

3) 지수와 로그를 사용하여 "굵은" 결과를 얻었으므로 비교가 상당히 복잡해졌습니다. 그러므로 다음 사항을 잊지 말고 계산기나 엑셀을 사용하여 대략적인 값을 계산해 봅시다.

이제 모든 것이 명확해졌습니다.

답변:

독립 솔루션을 위한 분수-합리적 인스턴스:

실시예 6

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값 찾기

함수의 극값은 무엇이며 극값의 필요 조건은 무엇입니까?

함수의 극값은 함수의 최대값과 최소값입니다.

함수의 최대값과 최소값(극값)에 대한 필요 조건은 다음과 같습니다. 함수 f(x)가 x = a 지점에서 극값을 갖는 경우 이 지점에서 도함수는 0이거나 무한하거나 그렇지 않습니다. 존재하다.

이 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. x = a 지점에서의 도함수는 0, 무한대로 갈 수 있고, 이 지점에서 극값을 갖는 함수가 없으면 존재하지 않을 수도 있습니다.

함수의 극값(최대값 또는 최소값)에 대한 충분조건은 무엇입니까?

첫 번째 조건:

점 x = a에 충분히 근접한 경우 도함수 f?(x)가 a의 왼쪽에서는 양수이고 a의 오른쪽에서는 음수이면 점 x = a에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최고

점 x = a에 충분히 근접한 경우 도함수 f?(x)가 a의 왼쪽에서는 음수이고 a의 오른쪽에서는 양수이면 점 x = a에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최저한의단, 여기서 함수 f(x)는 연속입니다.

대신, 함수의 극값에 대해 두 번째 충분 조건을 사용할 수 있습니다.

x = a 지점에서 1차 도함수 f?(x)가 사라지도록 하세요. 2차 도함수 f??(a)가 음수이면 함수 f(x)는 x = a 지점에서 최대값을 갖고, 양수이면 최소값을 갖습니다.

함수의 임계점은 무엇이며 이를 찾는 방법은 무엇입니까?

이는 함수가 극값(즉, 최대값 또는 최소값)을 갖는 함수 인수의 값입니다. 그것을 찾으려면 당신이 필요합니다 파생상품을 찾아보세요함수 f?(x)를 0으로 동일시하면, 방정식을 풀다 f?(x) = 0. 이 방정식의 근과 이 함수의 도함수가 존재하지 않는 지점은 임계점, 즉 극값이 있을 수 있는 인수의 값입니다. 를 보면 쉽게 식별할 수 있습니다. 미분 그래프: 우리는 함수 그래프가 가로축(Ox 축)과 교차하는 인수 값과 그래프가 불연속성을 겪는 인수 값에 관심이 있습니다.

예를 들어 찾아보자 포물선의 극점.

함수 y(x) = 3x2 + 2x - 50.

함수의 파생: y?(x) = 6x + 2

방정식을 푼다: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

이 경우 임계점은 x0=-1/3입니다. 함수는 이 인수 값을 사용합니다. 극한의. 그에게 찾다, 표현식에서 찾은 숫자를 "x" 대신 함수로 대체합니다.

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

함수의 최대값과 최소값을 결정하는 방법, 즉 가장 큰 값과 가장 작은 값은 무엇입니까?

임계점 x0을 통과할 때 도함수의 부호가 "플러스"에서 "마이너스"로 변경되면 x0은 다음과 같습니다. 최대 포인트; 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌면 x0은 다음과 같습니다. 최소 포인트; 부호가 변경되지 않으면 x0 지점에는 최대값도 최소값도 없습니다.

고려된 예의 경우:

임계점 왼쪽에 있는 임의의 인수 값을 취합니다: x = -1

x = -1에서 도함수 값은 y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4입니다(즉, 부호는 "마이너스"임).

이제 우리는 임계점 오른쪽에 있는 인수의 임의 값을 취합니다: x = 1

x = 1에서 도함수 값은 y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8이 됩니다(즉, 부호는 "플러스"입니다).

보시다시피 미분은 임계점을 통과할 때 마이너스에서 플러스로 부호가 바뀌었습니다. 이는 임계값 x0에 최소점이 있다는 것을 의미합니다.

함수의 최대값과 최소값 간격에(세그먼트에서)는 동일한 절차를 사용하여 발견되며, 아마도 모든 임계점이 지정된 간격 내에 있지는 않다는 사실만 고려합니다. 간격을 벗어나는 임계점은 고려 대상에서 제외되어야 합니다. 간격 내에 임계점이 하나만 있는 경우 최대값 또는 최소값을 갖게 됩니다. 이 경우 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정하기 위해 간격 끝의 함수 값도 고려합니다.

예를 들어 함수의 최대값과 최소값을 찾아보겠습니다.

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

간격을 두고:

따라서 함수의 미분은 다음과 같습니다.

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

우리는 방정식 3cos(x) - 0.5 = 0을 푼다.

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

간격 [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (구간에 포함되지 않음)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = 아크코사인(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = 아크코사인(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = 아크코사인(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163(구간에 포함되지 않음)

인수의 중요한 값에서 함수 값을 찾습니다.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

간격 [-9; 9] 함수는 x = -4.88에서 가장 큰 값을 갖습니다.

x = -4.88, y = 5.398,

가장 작은 것 - x = 4.88에서:

x = 4.88, y = -5.398.

간격 [-6; -3] 중요한 점은 단 하나뿐입니다: x = -4.88. x = -4.88에서의 함수 값은 y = 5.398과 같습니다.

구간 끝에서 함수의 값을 찾습니다.

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

간격 [-6; -3] 우리는 함수의 가장 큰 가치를 가지고 있습니다

x = -4.88에서 y = 5.398

가장 작은 값 -

x = -3에서 y = 1.077

함수 그래프의 변곡점을 찾고 볼록한 면과 오목한 면을 결정하는 방법은 무엇입니까?

y = f(x) 선의 모든 변곡점을 찾으려면 2차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시하고(방정식을 풀고) 2차 도함수가 0인 모든 x 값을 테스트해야 합니다. 무한하거나 존재하지 않습니다. 이러한 값 중 하나를 통과할 때 2차 도함수의 부호가 변경되면 함수 그래프는 이 지점에서 변곡점을 갖습니다. 변하지 않으면 굴곡이 없는 것입니다.

방정식 f의 근원은 무엇입니까? (x) = 0, 함수 및 2차 도함수의 불연속 지점은 함수 정의 영역을 여러 간격으로 나눕니다. 각 간격의 볼록성은 2차 도함수의 부호에 의해 결정됩니다. 연구 중인 구간의 한 점에서 2차 도함수가 양수이면 선 y = f(x)는 위쪽으로 오목하고, 음수이면 아래쪽으로 오목합니다.

두 변수의 함수의 극값을 찾는 방법은 무엇입니까?

지정 영역에서 미분 가능한 함수 f(x,y)의 극값을 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 임계점을 찾고 이를 위해 방정식 시스템을 해결합니다.

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) 각 임계점 P0(a;b)에 대해 차이의 부호가 변경되지 않은 상태로 유지되는지 조사합니다.

P0에 충분히 가까운 모든 점(x;y)에 대해. 차이가 양수로 유지되면 P0 지점에 최소값이 있고, 음수이면 최대값이 있습니다. 차이의 부호가 유지되지 않으면 점 P0에 극값이 없습니다.

함수의 극값은 더 많은 수의 인수에 대해 유사하게 결정됩니다.

어떤 탄산음료가 표면을 깨끗하게 합니까?
탄산 청량 음료 코카콜라는 고기를 녹일 수 있다는 의견이 있습니다. 그러나 불행히도 이에 대한 직접적인 증거는 없습니다. 반대로, 코카콜라 음료에 이틀 동안 남겨진 고기는 소비자 속성이 바뀌고 어디에서도 사라지지 않는다는 것을 확인하는 긍정적인 사실이 있습니다.

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아펠리온이란 무엇입니까?
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마몬이란 무엇입니까?
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - 그리스어에서 파생된 단어입니다. 맘모나(mammonas)는 부, 세상의 보물, 축복을 의미합니다. 일부 고대 이교 민족들 사이에서 그는 부와 이득의 신이었습니다. 전도자 마태와 누가는 성경에서 이렇게 언급했습니다. “아무도 두 주인을 섬길 수 없습니다. 둘 중 하나를 미워할 것이기 때문입니다.”

2049년 정교회 부활절은 언제인가요?
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루블이란 무엇입니까?
루블은 러시아, 벨로루시(벨로루시 루블), 트란스니스트리아(트란스니스트리아 루블)의 현대 통화 이름입니다. 러시아 루블은 남오세티아와 압하지야에서도 사용됩니다. 과거에는 러시아 공화국 및 공국, 모스크바 대공국, 러시아 차르 국, 리투아니아 대공국, 러시아 제국 및 기타 여러 국가의 화폐 단위였습니다.

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Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - 이스라엘의 군사, 정치가, 정치가, 2001년부터 2006년까지 이스라엘 총리. 생년월일: 1928년 2월 26일 출생지: 이스라엘 크파르 사바 근처 크파르 말랄 정착지 사망 날짜: 2014년 1월 11일 사망 장소: 이즈 라마트 간, 구쉬 단

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Geoffrey Rush는 호주의 영화 및 무대 배우입니다. 오스카상(1997), BAFTA(1996, 1999), 골든 글로브(1997, 2005) 수상. 그의 참여로 가장 유명한 영화는 "샤인"입니다.

함수 그래프의 볼록함과 오목함 간격을 결정하는 방법
함수의 극값은 무엇이며 극값의 필요 조건은 무엇입니까? 함수의 극값은 함수의 최대값과 최소값입니다. 함수의 최대값과 최소값(극값)에 대한 필요 조건은 다음과 같습니다. 함수 f(x)가 x = a 지점에서 극값을 갖는 경우 이 지점에서 도함수는 0이거나 무한하거나 그렇지 않습니다. 존재하다. 이 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. t의 파생물

함수 $z=f(x,y)$가 일부 제한된 닫힌 도메인 $D$에서 정의되고 연속되도록 합니다. 이 영역의 주어진 함수가 1차의 유한 부분 도함수를 갖는다고 가정합니다(아마도 유한 개수의 점을 제외하고). 주어진 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 세 단계의 간단한 알고리즘이 필요합니다.

닫힌 도메인 $D$에서 $z=f(x,y)$ 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

1. 정의역 $D$에 속하는 함수 $z=f(x,y)$의 임계점을 찾습니다. 중요한 지점에서 함수 값을 계산합니다.
2. $D$ 영역의 경계에서 $z=f(x,y)$ 함수의 동작을 조사하여 가능한 최대값과 최소값의 지점을 찾습니다. 획득한 지점에서 함수값을 계산합니다.
3. 이전 두 단락에서 얻은 함수 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

중요한 점은 무엇입니까? 표시\숨기기

아래에 임계점 1차 부분 도함수가 모두 0인 점을 의미합니다(예: $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ 및 $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) 또는 적어도 하나의 부분 파생물이 존재하지 않습니다.

종종 1차 부분 도함수가 0과 같은 점을 다음과 같이 부릅니다. 고정점. 따라서 고정점은 임계점의 하위 집합입니다.

예 1

$x=3$, $y=0$ 및 $y=x 선으로 둘러싸인 닫힌 영역에서 $z=x^2+2xy-y^2-4x$ 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다. +1$.

위의 내용을 따르지만 먼저 문자 $D$로 표시할 특정 영역의 그림을 다루겠습니다. 이 영역을 제한하는 세 개의 직선 방정식이 제공됩니다. $x=3$ 직선은 세로축(Oy축)에 평행한 점 $(3;0)$을 통과합니다. 직선 $y=0$은 가로축(Ox축)의 방정식입니다. $y=x+1$ 선을 구성하기 위해 우리는 이 선을 그릴 두 점을 찾을 것입니다. 물론 $x$ 대신 임의의 값 몇 개를 대체할 수도 있습니다. 예를 들어, $x=10$을 대체하면 $y=x+1=10+1=11$이 됩니다. 우리는 $y=x+1$ 선에 $(10;11)$ 점을 발견했습니다. 그러나 $y=x+1$ 직선이 $x=3$ 및 $y=0$ 선과 교차하는 지점을 찾는 것이 좋습니다. 왜 이것이 더 낫습니까? 왜냐하면 우리는 일석이조로 두 마리의 새를 죽일 것이기 때문입니다. 직선 $y=x+1$을 구성하기 위한 두 점을 얻는 동시에 이 직선이 주어진 면적을 제한하는 다른 선과 교차하는 점을 알아낼 것입니다. $y=x+1$ 선은 $(3;4)$ 점에서 $x=3$ 선과 교차하고, $y=0$ 선은 $(-1;0)$ 점에서 교차합니다. 보조 설명으로 해결 과정을 혼란스럽게 하지 않기 위해 이 두 가지 사항을 얻는 문제를 메모에 넣겠습니다.

$(3;4)$ 및 $(-1;0)$ 포인트는 어떻게 얻었나요? 표시\숨기기

$y=x+1$과 $x=3$ 선의 교차점부터 시작하겠습니다. 원하는 점의 좌표는 첫 번째 직선과 두 번째 직선 모두에 속하므로 알 수 없는 좌표를 찾으려면 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

$$ \left \( \begin(정렬) & y=x+1;\\ & x=3. \end(정렬) \right. $$

이러한 시스템에 대한 해결책은 간단합니다. $x=3$을 첫 번째 방정식에 대입하면 $y=3+1=4$가 됩니다. $(3;4)$ 점은 $y=x+1$ 및 $x=3$ 선의 원하는 교차점입니다.

이제 $y=x+1$과 $y=0$ 선의 교차점을 찾아보겠습니다. 다시 방정식 시스템을 구성하고 풀어 보겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

첫 번째 방정식에 $y=0$을 대입하면 $0=x+1$, $x=-1$이 됩니다. $(-1;0)$ 점은 $y=x+1$ 선과 $y=0$ 선(x축)의 원하는 교차점입니다.

다음과 같은 도면을 작성할 준비가 모두 완료되었습니다.

메모에 대한 질문은 그림에 모든 것이 표시되기 때문에 분명해 보입니다. 그러나 그림은 증거가 될 수 없다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 그림은 설명 목적으로만 사용됩니다.

우리의 영역은 그것을 묶는 직선 방정식을 사용하여 정의되었습니다. 분명히 이 선들은 삼각형을 정의합니다. 그렇죠? 아니면 완전히 명확하지 않습니까? 아니면 같은 선으로 둘러싸인 다른 영역이 주어질 수도 있습니다.

물론 해당 지역이 폐쇄된 상태라고 되어 있어 표시된 사진은 정확하지 않습니다. 그러나 그러한 모호함을 피하려면 불평등을 기준으로 지역을 정의하는 것이 좋습니다. $y=x+1$ 직선 아래에 위치한 평면 부분에 관심이 있습니까? 좋습니다. $y ≤ x+1$입니다. 우리 지역이 $y=0$ 선 위에 위치해야 합니까? 좋습니다. 이는 $y ≥ 0$를 의미합니다. 그건 그렇고, 마지막 두 불평등은 쉽게 하나로 결합될 수 있습니다: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

이러한 부등식은 $D$ 영역을 정의하며 어떠한 모호함도 허용하지 않고 이를 명확하게 정의합니다. 그러나 이것이 노트의 시작 부분에 언급된 질문에 어떻게 도움이 됩니까? 그것은 또한 도움이 될 것입니다 :) $M_1(1;1)$ 점이 $D$ 영역에 속하는지 확인해야 합니다. 이 영역을 정의하는 불평등 시스템에 $x=1$ 및 $y=1$을 대체해 보겠습니다. 두 부등식이 모두 충족되면 점이 영역 내부에 놓이게 됩니다. 부등식 중 적어도 하나가 충족되지 않으면 해당 점이 해당 지역에 속하지 않습니다. 그래서:

$$ \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & 0  1  2;\\ & 1  3. \end(aligned) \right.$$

두 부등식이 모두 유효합니다. $M_1(1;1)$ 지점은 $D$ 지역에 속합니다.

이제 영역 경계에서 함수의 동작을 연구할 차례입니다. 으로 가자. 직선 $y=0$부터 시작하겠습니다.

직선 $y=0$(가로축)은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$에 $y=0$을 대입해 보겠습니다. 치환의 결과로 얻은 하나의 변수 $x$의 함수를 $f_1(x)$로 나타냅니다.

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

이제 $f_1(x)$ 함수의 경우 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트에 속하므로 포인트 목록에 $M_2(2;0)$도 추가합니다. 또한 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트의 끝 부분에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_3(-1;0)$ 및 $M_4(3;0)$ 지점에서. 그런데 $M_2$ 포인트가 고려 중인 세그먼트에 속하지 않았다면 물론 그 안에 있는 $z$ 함수의 값을 계산할 필요가 없습니다.

그럼 $M_2$, $M_3$, $M_4$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. 물론 이러한 점의 좌표를 원래 표현식 $z=x^2+2xy-y^2-4x$로 대체할 수 있습니다. 예를 들어 $M_2$ 지점에 대해 다음을 얻습니다.

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

그러나 계산을 조금 단순화할 수 있습니다. 이를 수행하려면 $M_3M_4$ 세그먼트에 $z(x,y)=f_1(x)$가 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이에 대해 자세히 적어보겠습니다.

\begin(정렬) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(정렬됨)

물론 일반적으로 이렇게 상세한 기록은 필요하지 않으며 앞으로는 모든 계산을 간략하게 기록해 보겠습니다.

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

이제 $x=3$ 직선으로 돌아가 보겠습니다. 이 직선은 $0 ≤ y ≤ 4$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z$에 $x=3$을 대입해 보겠습니다. 이 대체의 결과로 $f_2(y)$ 함수를 얻습니다.

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ 함수의 경우 $0 ≤ y ≤ 4$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ 값은 $0 ≤ y ≤ 4$ 세그먼트에 속하므로 이전에 찾은 포인트에 $M_5(3;3)$도 추가합니다. 또한 세그먼트 $0 ≤ y ≤ 4$의 끝 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해야 합니다. 즉, $M_4(3;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 지점에서. $M_4(3;0)$ 지점에서 우리는 이미 $z$의 값을 계산했습니다. $M_5$ 및 $M_6$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_4M_6$ 세그먼트에는 $z(x,y)=f_2(y)$가 있으므로 다음과 같습니다.

\begin(정렬) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(정렬됨)

마지막으로 $D$ 영역의 마지막 경계를 고려합니다. 직선 $y=x+1$. 이 직선은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건 하에서 $D$ 영역을 제한합니다. $y=x+1$을 $z$ 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

다시 한 번 변수 $x$의 함수가 있습니다. 그리고 다시 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 이 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. $f_(3)(x)$ 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에 속합니다. $x=1$이면 $y=x+1=2$입니다. 포인트 목록에 $M_7(1;2)$을 추가하고 이 시점에서 $z$ 함수의 값이 무엇인지 알아봅시다. 세그먼트 끝의 점 $-1 ≤ x ≤ 3$, 즉 $M_3(-1;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 포인트는 이전에 고려되었으므로 이미 해당 함수의 값을 찾았습니다.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

솔루션의 두 번째 단계가 완료되었습니다. 우리는 7가지 값을 받았습니다:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

살펴 보겠습니다. 세 번째 단락에서 얻은 숫자에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하면 다음과 같습니다.

$$z_(분)=-4; \; z_(최대)=6.$$

문제는 해결되었으니 답을 적는 일만 남았습니다.

답변: $z_(분)=-4; \; z_(최대)=6$.

예 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ 영역에서 $z=x^2+y^2-12x+16y$ 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다.

먼저 도면을 작성해 보겠습니다. $x^2+y^2=25$ 방정식(주어진 영역의 경계선)은 원점(즉, $(0;0)$ 지점)에 중심이 있고 반경은 다음과 같은 원을 정의합니다. 5. 부등식 $x^2 +y^2 ≤ $25는 언급된 원 내부와 위의 모든 점을 만족합니다.

우리는 따라 행동할 것입니다. 편도함수를 구하고 중요한 점을 알아봅시다.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

발견된 편도함수가 존재하지 않는 지점은 없습니다. 두 부분 도함수가 동시에 0과 같은 지점, 즉 정지점을 찾아보자.

$$ \left \( \begin(정렬) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & x =6;\\ & y=-8.\end(정렬)\right.$$

우리는 고정점 $(6;-8)$을 얻었습니다. 그러나 발견된 지점은 $D$ 영역에 속하지 않습니다. 그림을 그리지 않고도 쉽게 보여줄 수 있습니다. 우리 지역 $D$를 정의하는 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$가 유지되는지 확인해 보겠습니다. $x=6$, $y=-8$이면 $x^2+y^2=36+64=100$, 즉 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$는 유지되지 않습니다. 결론: 포인트 $(6;-8)$은 $D$ 영역에 속하지 않습니다.

따라서 $D$ 영역에는 임계점이 없습니다. 다음으로 넘어가자... 우리는 주어진 영역의 경계에서 함수의 동작을 연구해야 합니다. $x^2+y^2=25$ 원에서. 물론 $y$를 $x$로 표현한 다음 결과 표현식을 $z$ 함수로 대체할 수 있습니다. 원의 방정식으로부터 $y=\sqrt(25-x^2)$ 또는 $y=-\sqrt(25-x^2)$를 얻습니다. 예를 들어 $y=\sqrt(25-x^2)$를 주어진 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

추가 솔루션은 이전 예제 1의 영역 경계에서 함수의 동작을 연구하는 것과 완전히 동일합니다. 그러나 이 상황에서는 라그랑주 방법을 적용하는 것이 더 합리적이라고 생각됩니다. 우리는 이 방법의 첫 번째 부분에만 관심을 가질 것입니다. 라그랑주 방법의 첫 번째 부분을 적용한 후 $z$ 함수의 최소값과 최대값을 검사할 지점을 얻습니다.

우리는 라그랑주 함수를 구성합니다:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot(x^2+y^2 -25). $$

라그랑주 함수의 편도함수를 찾고 해당 방정식 시스템을 구성합니다.

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (정렬됨) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(정렬됨) \ 오른쪽. \;\; \왼쪽 \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( 정렬됨)\오른쪽.$$

이 연립방정식을 풀기 위해 즉시 $\lambda\neq -1$을 지적해 봅시다. 왜 $\lambda\neq -1$인가요? $\lambda=-1$을 첫 번째 방정식에 대입해 보겠습니다.

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

결과적으로 모순 $0=6$은 $\lambda=-1$ 값이 허용되지 않음을 나타냅니다. 출력: $\lambda\neq -1$. $x$ 및 $y$를 $\lambda$로 표현해 보겠습니다.

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(정렬됨)

나는 여기서 우리가 $\lambda\neq -1$ 조건을 구체적으로 규정한 이유가 분명해진다고 믿습니다. 이는 $1+\lambda$ 표현식을 간섭 없이 분모에 맞추기 위해 수행되었습니다. 즉, 분모 $1+\lambda\neq 0$가 되도록 해야 합니다.

$x$ 및 $y$에 대한 결과 표현식을 시스템의 세 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. 즉, $x^2+y^2=25$에서:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

결과 동등성에서 $1+\lambda=2$ 또는 $1+\lambda=-2$가 됩니다. 따라서 $\lambda$ 매개변수의 두 가지 값, 즉 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$이 있습니다. 따라서 우리는 $x$와 $y$의 두 쌍의 값을 얻습니다.

\begin(정렬) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(정렬됨)

따라서 우리는 가능한 조건부 극값의 두 지점을 얻었습니다. $M_1(3;-4)$ 및 $M_2(-3;4)$. $M_1$ 및 $M_2$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 찾아보겠습니다.

\begin(정렬) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(정렬됨)

첫 번째와 두 번째 단계에서 얻은 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택해야 합니다. 하지만 이 경우 선택의 여지가 적습니다. :) 우리는 다음을 수행합니다.

$$ z_(분)=-75; \; z_(최대)=125. $$

답변: $z_(분)=-75; \; z_(최대)=$125.