동전을 3번 던졌을 때 확률은 얼마인가? 특수 확률 공식
문제 1 . 주사위는 6번 던져집니다. 6이 정확히 3번 나올 확률을 구하세요.
해결책.주사위를 6번 굴리는 것은 성공 확률("6")이 1/6이고 실패 확률이 5/6인 일련의 독립적인 시도로 생각할 수 있습니다. 공식을 사용하여 원하는 확률을 계산합니다.
문제 2 . 동전은 6번 던져집니다. 문장이 2번 이하로 나타날 확률을 구하세요.
해결책.필요한 확률은 문장이 한 번도, 한 번도, 두 번도 나타나지 않는다는 사실로 구성된 세 가지 사건의 확률의 합과 같습니다.
P(A) = P 6 (0) + P 6 (1) + P 6 (2) =.
문제 3 . 감사인은 0.9의 확률로 감사 대상 회사의 재무 부정을 탐지합니다. 4개의 위반 기업 중 절반 이상이 식별될 확률을 구하십시오.
해결책. 사건은 4개의 위반 기업 중 3~4개가 식별된다는 것입니다.
문제 4 . 동전은 3번 던져집니다. 가장 가능성이 높은 성공 횟수(문장)를 찾으세요.
해결책.고려 중인 세 번의 시도에서 성공 횟수에 대해 가능한 값은 m = 0, 1, 2 또는 3입니다. 세 번의 동전 던지기에서 문장이 m 번 나타나는 경우를 A m으로 둡니다. Bernoulli의 공식을 사용하면 사건 A m의 확률을 쉽게 찾을 수 있습니다(표 참조).
이 표에서 가장 가능성이 높은 값은 숫자 1과 2(확률은 3/8)임을 알 수 있습니다. 정리 2에서도 같은 결과를 얻을 수 있다. 실제로 n=3, p=1/2, q=1/2이다. 그 다음에
, 즉. 
.
작업 5. 보험 대리인이 1회 방문할 때마다 확률 0.1로 계약이 체결됩니다. 25회 방문 후 체결될 가능성이 가장 높은 계약 수를 구합니다.
해결책. n=10, p=0.1, q=0.9가 있습니다. 성공 가능성이 가장 높은 수에 대한 불평등은 250.1–0.9m*250.1+0.1 또는 1.6m*2.6 형식을 취합니다. 이 부등식에는 단 하나의 정수 해, 즉 m*=2만 있습니다.
문제 6 . 특정 부품의 불량률은 0.5%로 알려져 있다. 검사관은 1000개의 부품을 검사합니다. 정확히 3개의 불량 부품을 발견할 확률은 얼마입니까? 결함이 있는 부품을 3개 이상 발견할 확률은 얼마입니까?
해결책."성공" 확률 p=0.005로 1000번의 Bernoulli 테스트를 수행했습니다. λ=np=5로 포아송 근사를 적용하면 다음을 얻습니다.
1) P 1000 (3) 
;
2) P 1000 (m3)=1P 1000 (m<3)=11
,
및 P 1000(3)0.14; Р 1000 (m3)0.875.
문제 7 . 고객이 매장을 방문할 때 구매확률은 p=0.75이다. 100회 방문 시 고객이 정확히 80회 구매할 확률을 구하십시오.
해결책. 이 경우 n=100, m=80, p=0.75, q=0.25입니다. 우리는 찾는다 
, 그리고 결정(x)=0.2036이면 필요한 확률은 P 100 (80)= 
.
작업 8. 보험회사는 40,000건의 계약을 체결했습니다. 해당 연도 동안 각각의 보험 사고 확률은 2%입니다. 그러한 경우가 870개 이하일 확률을 구하십시오.
해결책.작업 조건에 따르면 n=40000, p=0.02입니다. np=800 찾기, 
. P(m £ 870)를 계산하기 위해 Moivre-Laplace 적분 정리를 사용합니다.
P(0 
그리고 
.
Laplace 함수 값 표에서 다음을 찾습니다.
P(0 문제 9
.
400번의 독립적 시행 각각에서 사건이 발생할 확률은 0.8입니다. 확률 0.99에서 사건의 상대적 발생 빈도와 확률의 편차의 절대값이 를 초과하지 않는 양수 를 찾습니다. 해결책.문제의 조건에 따르면 p=0.8, n=400이다. 우리는 Moivre-Laplace 적분 정리의 추론을 사용합니다. 문제 10.
하루에 주가가 50% 확률로 1포인트 상승하고, 30% 확률로 1포인트 하락하고, 20% 확률로 변동이 없을 수 있습니다. 5일 동안 거래한 후 금리가 2포인트 오를 확률을 구하십시오. 해결책.다음 두 가지 시나리오만 가능합니다. 1) 금리는 2일 동안 오르고 절대 떨어지지 않으며 3일 동안 변하지 않습니다. 2) 환율은 3일 동안 상승하고, 1일 동안 하락하고, 1일 동안 변동이 없습니다. 확률 이론에는 확률의 고전적 정의를 알고 제안된 상황을 시각적으로 표현하는 것으로 충분한 문제 그룹이 있습니다. 이러한 문제에는 대부분의 동전 던지기 문제와 주사위 굴리기 문제가 포함됩니다. 확률의 고전적 정의를 떠올려 보자. 사건 A의 확률
(수치적 측면에서 사건이 발생할 객관적 가능성)은 동등하게 가능한 모든 비호환 기본 결과의 총 수에 대한 이 사건에 유리한 결과 수의 비율과 같습니다. P(A)=m/n, 어디: 가능한 모든 옵션(조합)을 열거하고 직접 계산하여 가능한 기본 테스트 결과 수와 고려 중인 문제에서 유리한 결과 수를 결정하는 것이 편리합니다. 표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=4임을 알 수 있습니다. 이벤트 A = (머리가 1번 나타남)의 유리한 결과는 실험의 옵션 2번과 3번에 해당하며, 그러한 옵션 m = 2가 두 개 있습니다. 문제 2
. 무작위 실험에서 대칭 동전이 두 번 던져졌습니다. 앞면이 전혀 나오지 않을 확률을 구하세요. 해결책
. 동전을 두 번 던지기 때문에 문제 1과 마찬가지로 가능한 기본 결과의 수는 n=4입니다. 이벤트 A의 유리한 결과 = (머리가 한 번도 나타나지 않음)는 실험의 옵션 4번에 해당합니다(문제 1의 표 참조). 이러한 옵션은 하나만 있으며 이는 m=1을 의미합니다. 문제 3
. 무작위 실험에서 대칭 동전이 세 번 던져졌습니다. 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 구하세요. 해결책
. 세 번의 동전 던지기(앞면과 뒷면의 가능한 모든 조합)에 대해 가능한 옵션을 표 형식으로 제시합니다. 표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=8임을 알 수 있습니다. 이벤트 A = (머리가 2번 나타남)의 유리한 결과는 실험의 옵션 5, 6, 7에 해당합니다. 이러한 옵션은 세 가지가 있으며 이는 m=3을 의미합니다. 문제 4
. 무작위 실험에서 대칭 동전이 네 번 던져졌습니다. 앞면이 정확히 3번 나올 확률을 구하세요. 해결책
. 우리는 네 번의 동전 던지기(앞면과 뒷면의 가능한 모든 조합)에 대해 가능한 옵션을 표 형식으로 제시합니다. 표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=16임을 알 수 있습니다. 이벤트 A = (앞면이 3번 나타남)의 유리한 결과는 실험의 옵션 번호 12, 13, 14 및 15에 해당하며 이는 m = 4를 의미합니다. 문제 5
. 주사위(공정한 주사위)를 던졌을 때 3점 이상을 얻을 확률을 구하세요. 해결책
. 주사위(일반 주사위)를 던지면 여섯 개의 면 중 하나가 빠질 수 있습니다. 기본 이벤트가 발생하면 1~6개의 도트(포인트)가 손실됩니다. 이는 가능한 기본 결과의 수가 n=6임을 의미합니다. 문제 6
. 주사위를 던질 때 4보다 크지 않은 점수를 얻을 확률을 결정합니다. 결과를 가장 가까운 천 단위로 반올림합니다. 해결책
. 주사위를 던지면 여섯 개의 면 중 하나가 빠질 수 있습니다. 기본 이벤트가 발생하면 1~6개의 도트(포인트)가 손실됩니다. 이는 가능한 기본 결과의 수가 n=6임을 의미합니다. 문제 7
. 주사위는 두 번 던져집니다. 굴린 숫자가 두 번 모두 4보다 작을 확률을 구합니다. 해결책
. 주사위(주사위)가 두 번 던져지기 때문에 다음과 같이 추론합니다. 첫 번째 주사위가 1점을 표시하면 두 번째 주사위는 1, 2, 3, 4, 5, 6을 얻을 수 있습니다. 우리는 쌍(1;1)을 얻습니다. ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) 등을 각 면에 적용합니다. 모든 사례를 6행 6열의 테이블 형태로 표현해 보겠습니다. 문제 8
. 주사위는 두 번 던져집니다. 추첨된 두 숫자 중 더 큰 숫자가 5일 확률을 구하세요. 답을 가장 가까운 천 단위로 반올림하세요. 해결책
. 우리는 두 번의 주사위 던지기의 가능한 모든 결과를 표에 제시합니다. 표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=6*6=36임을 알 수 있습니다. 문제 9
. 주사위는 두 번 던져집니다. 4보다 작은 숫자가 한 번 이상 나올 확률을 구하십시오. 해결책
. 우리는 두 번의 주사위 던지기의 가능한 모든 결과를 표에 제시합니다. 표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=6*6=36임을 알 수 있습니다. 동전 던지기 문제는 꽤 어려운 것으로 간주됩니다. 그리고 문제를 해결하기 전에 약간의 설명이 필요합니다. 생각해 보세요. 확률 이론의 모든 문제는 궁극적으로 표준 공식으로 귀결됩니다. 여기서 p는 원하는 확률, k는 우리에게 적합한 사건의 수, n은 가능한 사건의 총 수입니다. 대부분의 B6 문제는 이 공식을 문자 그대로 한 줄로 사용하여 해결할 수 있습니다. 조건을 읽으십시오. 그러나 동전을 던지는 경우 이 공식은 쓸모가 없습니다. 왜냐하면 그러한 문제의 텍스트에서 숫자 k와 n이 무엇인지 전혀 명확하지 않기 때문입니다. 여기에 어려움이 있습니다. 그러나 근본적으로 다른 두 가지 이상의 솔루션 방법이 있습니다. 문제 B6을 해결하려면 두 가지 방법을 모두 알아야 합니다. 불행히도 학교에서는 첫 번째 것만 가르칩니다. 학교 실수를 반복하지 맙시다. 자, 가자! 이 방법을 "앞으로의 솔루션"이라고도 합니다. 세 단계로 구성됩니다: 불행하게도 이 방법은 소수의 던지는 경우에만 작동합니다. 왜냐하면 새로운 던질 때마다 조합의 수가 두 배로 늘어나기 때문입니다. 예를 들어, 2개의 코인의 경우 4개의 조합만 작성하면 됩니다. 3개의 동전에는 이미 8개가 있고, 4~16개의 동전이 있으며 오류 확률은 100%에 가까워집니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다. 일. 무작위 실험에서 대칭 동전이 두 번 던져졌습니다. 앞면과 뒷면의 개수가 같을 확률을 구하세요. 그래서 동전은 두 번 던져집니다. 가능한 모든 조합(O - 앞면, P - 꼬리)을 적어 보겠습니다. 총 n = 4개 옵션. 이제 문제의 조건에 맞는 옵션을 적어 보겠습니다. k = 2개의 옵션이 있었습니다. 확률을 구합니다. 일. 동전은 네 번 던져집니다. 앞면이 나오지 않을 확률을 구해 보세요. 다시 우리는 머리와 꼬리의 가능한 모든 조합을 기록합니다. 오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오오 전체적으로 n = 16개의 옵션이 있었습니다. 아무것도 잊지 않은 것 같습니다. 이 옵션 중에서 꼬리가 전혀 포함되지 않은 "OOOO" 조합에만 만족합니다. 따라서 k = 1입니다. 확률을 찾는 것이 남아 있습니다. 보시다시피, 마지막 문제에서는 16개의 옵션을 작성해야 했습니다. 단 한 번의 실수도 없이 쓸 수 있다고 확신하시나요? 개인적으로 잘 모르겠습니다. 그럼 두 번째 해결책을 살펴보겠습니다. 그래서 동전 문제에는 나름의 확률 공식이 있습니다. 너무 간단하고 중요해서 정리의 형태로 공식화하기로 했습니다. 구경하다: 정리. 동전을 n번 던지도록 하세요. 그러면 머리가 정확히 k번 나타날 확률은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. 여기서 Cn k는 k에 의한 n개 요소의 조합 수이며 다음 공식으로 계산됩니다. 따라서 동전 문제를 해결하려면 던지는 횟수와 앞면이 나오는 횟수라는 두 가지 숫자가 필요합니다. 대부분의 경우 이러한 숫자는 문제 텍스트에 직접 제공됩니다. 또한 꼬리 또는 머리 등 정확히 무엇을 계산하는지는 중요하지 않습니다. 대답은 같을 것이다. 언뜻 보면 정리가 너무 복잡해 보입니다. 그러나 조금만 연습하면 더 이상 위에서 설명한 표준 알고리즘으로 돌아가고 싶지 않을 것입니다. 일. 동전은 네 번 던져집니다. 정확히 세 번 앞면이 나올 확률을 구하세요. 문제의 조건에 따르면 총 던진 횟수는 n = 4이고 필요한 머리 수는 k = 3입니다. 공식에 n과 k를 대입하면 다음과 같습니다. 일. 동전은 세 번 던져집니다. 앞면이 나오지 않을 확률을 구해 보세요. 우리는 숫자 n과 k를 다시 적습니다. 동전을 3번 던지기 때문에 n = 3입니다. 그리고 앞면이 없어야 하므로 k = 0입니다. 숫자 n과 k를 공식에 대체해야 합니다. 0이라는 점을 상기시켜 드리겠습니다! = 정의상 1입니다. 따라서 C 3 0 = 1입니다. 일. 무작위 실험에서 대칭형 동전을 4번 던졌습니다. 앞면이 뒷면보다 더 많이 나타날 확률을 구합니다. 꼬리보다 앞면이 더 많으려면 3번(그러면 꼬리가 1개 남음) 또는 4번(그러면 꼬리가 전혀 나오지 않음) 나타나야 합니다. 각 사건의 확률을 찾아봅시다. 앞면이 3번 나타날 확률을 p 1로 둡니다. 그러면 n = 4, k = 3입니다. 우리는 다음을 얻습니다: 이제 p2를 구해 봅시다. 앞면이 4번 모두 나타날 확률입니다. 이 경우 n = 4, k = 4입니다. 답을 얻기 위해 남은 것은 확률 p 1 과 p 2 를 더하는 것뿐입니다. 기억하세요: 상호 배타적인 이벤트에 대해서만 확률을 추가할 수 있습니다. 우리는: p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125
. 따라서, 
. Laplace 함수에 대한 표를 사용하여 우리는 다음을 결정합니다. 
. 따라서=0.0516.
사건 P(A)=m/n=2/4=0.5의 확률을 구합니다.
사건 P(A)=m/n=1/4=0.25의 확률을 구합니다.
사건 P(A)=m/n=3/8=0.375의 확률을 구합니다.옵션번호
첫 번째 던지기
두 번째 던지기
세 번째 던지기
4번째 던지기
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사건의 확률을 구하세요. P(A)=m/n=4/16=0.25
주사위 문제의 확률 결정
이벤트 A = (3점 이상 굴림)은 4, 5 또는 6점(점)이 굴러간 것을 의미합니다. 이는 유리한 결과의 수가 m=3이라는 것을 의미합니다.
사건의 확률 P(A)=m/n=3/6=0.5
이벤트 A = (4점 이하 굴림)은 4, 3, 2 또는 1점(점)이 굴러갔음을 의미합니다. 이는 유리한 결과의 수가 m=4라는 것을 의미합니다.
사건 확률 Р(А)=m/n=4/6=0.6666… ≒0.6671; 1
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우리는 이벤트 A =(두 번 모두 숫자가 4보다 작음)(굵게 강조 표시됨)의 유리한 결과를 계산하고 m=9를 얻습니다.
사건의 확률을 구하세요. P(A)=m/n=9/36=0.251; 1
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우리는 이벤트 A =(두 개의 숫자 중 가장 큰 숫자는 5)(굵게 강조 표시됨)의 유리한 결과를 계산하고 m=8을 얻습니다.
사건의 확률을 구합니다. P(A)=m/n=8/36=0.2222… ≒0.2221; 1
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“4보다 작은 숫자가 한 번 이상 나왔다”는 것은 “4보다 작은 숫자가 한 번 또는 두 번 나왔다”는 의미이며, 이벤트 A의 유리한 결과의 횟수 = (4보다 작은 숫자가 한 번 이상 나왔다) ) (굵게 강조 표시됨) m=27.
사건의 확률을 구하세요. P(A)=m/n=27/36=0.75조합 검색 방법
뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀뽀 PPPP
특수 확률 공식
