방정식이란 무엇이며 그 의미는 무엇입니까? 표현식은 조건이 충족되는 경우에만 의미가 있습니다. 0이 아닌 동일한 수를 양변에 곱하거나 나누어도 방정식의 근은 변하지 않습니다.
- 변수와의 동일성을 방정식이라고 합니다.
- 방정식을 푼다는 것은 방정식의 많은 근을 찾는 것을 의미합니다. 방정식에는 하나, 둘, 여러 개의 근이 있을 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다.
- 주어진 방정식이 진정한 등식으로 바뀌는 변수의 각 값을 방정식의 근이라고 합니다.
- 동일한 근을 갖는 방정식을 등가 방정식이라고 합니다.
- 방정식의 모든 항은 항의 부호를 반대로 변경하면서 평등의 한 부분에서 다른 부분으로 옮겨질 수 있습니다.
- 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 방정식과 동일한 방정식을 얻습니다.
예. 방정식을 풀어보세요.
1. 1.5x+4 = 0.3x-2.
1.5x-0.3x = -2-4. 우리는 등식의 왼쪽에 변수가 포함된 항을 수집하고 등식의 오른쪽에 자유 항을 수집했습니다. 이 경우 다음 속성이 사용되었습니다.
1.2x = -6. 규칙에 따라 유사한 용어가 제공되었습니다.
x = -6 : 1.2. 평등의 양쪽은 변수의 계수로 나누어졌습니다.
x = -5. 소수를 소수로 나누는 규칙에 따라 나눕니다.
숫자를 소수로 나누려면 피제수와 제수의 쉼표를 제수의 소수점 이하 자릿수만큼 오른쪽으로 이동한 다음 자연수로 나누어야 합니다.
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
답변: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. 우리는 뺄셈에 대한 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 열었습니다. (a-b) ∙ c=아 ∙ CB ∙ 씨.
6x-4x = -16+27. 우리는 등식의 왼쪽에 변수가 포함된 항을 수집하고 등식의 오른쪽에 자유 항을 수집했습니다. 이 경우 다음 속성이 사용되었습니다. 방정식의 모든 항은 등식의 한 부분에서 다른 부분으로 옮겨져 항의 부호가 반대로 바뀔 수 있습니다.
2x = 11. 규칙에 따라 유사한 용어가 제공되었습니다. 유사한 용어를 가져오려면 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다(즉, 공통 문자 부분을 얻은 결과에 추가).
엑스 = 11 : 2. 평등의 양쪽은 변수의 계수로 나누어졌습니다. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 방정식과 동등한 방정식을 얻습니다.
답변: 5,5.
3. 7x-(3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. "-" 기호 앞에 괄호를 여는 규칙에 따라 괄호를 열었습니다. 괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 괄호, "-" 기호를 제거하고 반대 기호로 괄호 안에 용어를 씁니다.
7x-2x-x = -9+3. 우리는 등식의 왼쪽에 변수가 포함된 항을 수집하고 등식의 오른쪽에 자유 항을 수집했습니다. 이 경우 다음 속성이 사용되었습니다. 방정식의 모든 항은 등식의 한 부분에서 다른 부분으로 옮겨져 항의 부호가 반대로 바뀔 수 있습니다.
4x = -6. 규칙에 따라 유사한 용어가 제공되었습니다. 유사한 용어를 가져오려면 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다(즉, 공통 문자 부분을 얻은 결과에 추가).
x = -6 : 4. 평등의 양쪽은 변수의 계수로 나누어졌습니다. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 방정식과 동등한 방정식을 얻습니다.
답변: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). 우리는 방정식의 양쪽에 12를 곱했습니다. 이는 이 분수의 분모에 대한 가장 낮은 공통 분모입니다.
3x-15 = 84-8x+44. 우리는 뺄셈에 대한 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 열었습니다. 두 숫자의 차이에 세 번째 숫자를 곱하려면 피감수를 별도로 곱하고 세 번째 숫자를 별도로 뺀 다음 첫 번째 결과에서 두 번째 결과를 뺄 수 있습니다.(a-b) ∙ c=아 ∙ CB ∙ 씨.
3x+8x = 84+44+15. 우리는 등식의 왼쪽에 변수가 포함된 항을 수집하고 등식의 오른쪽에 자유 항을 수집했습니다. 이 경우 다음 속성이 사용되었습니다. 방정식의 모든 항은 등식의 한 부분에서 다른 부분으로 옮겨져 항의 부호가 반대로 바뀔 수 있습니다.
11x = 143. 규칙에 따라 유사한 용어가 제공되었습니다. 유사한 용어를 가져오려면 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다(즉, 공통 문자 부분을 얻은 결과에 추가).
엑스 = 143 : 11. 평등의 양쪽은 변수의 계수로 나누어졌습니다. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 방정식과 동등한 방정식을 얻습니다.
답변: 13.
5. 방정식을 직접 풀어보세요.
ㅏ) 3-2.6x = 5x+1.48;
비) 1,6 · (x+5) = 4 · (4.5-0.6x);
V) 9x-(6x+2.5) = -(x-5.5);
5a) 0,2; 5비) 2,5; 5c) 2; 5d) -1.
사인 함수의 주기성을 고려하여 인수 값에 대해 이중 부등식을 작성합니다. 티, 마지막 부등식을 만족시킵니다. 원래 변수로 돌아가 보겠습니다. 결과적인 이중 부등식을 변환하고 변수를 표현해 보겠습니다. 엑스.답을 간격의 형태로 적어보자.
두 번째 부등식을 풀어보겠습니다.
두 번째 부등식을 풀 때 이중 인수 사인 공식을 사용하여 이 부등식의 왼쪽을 변환하여 다음 형식의 부등식을 얻어야 했습니다. 신트≥a.다음으로 우리는 알고리즘을 따랐습니다.
세 번째 부등식을 해결합니다.
사랑하는 졸업생 및 지원자 여러분! 위에 주어진 그래픽 방법 및 아마도 여러분에게 알려진 단위 삼각법 원(삼각법 원)을 사용하여 해결하는 방법과 같은 삼각 부등식을 해결하는 방법은 삼각법 섹션을 연구하는 첫 번째 단계에만 적용 가능하다는 점을 명심하십시오. “삼각방정식과 부등식 풀기.” 가장 간단한 삼각방정식을 먼저 그래프나 원을 이용하여 풀었다는 것을 기억하실 것 같습니다. 그러나 이제는 이런 식으로 삼각 방정식을 푸는 것을 생각하지 않을 것입니다. 어떻게 해결하나요? 공식에 따르면 맞습니다. 따라서 삼각부등식은 특히 테스트 중에 다음과 같은 경우 공식을 사용하여 해결해야 합니다. 매 순간이 소중하다. 따라서 적절한 공식을 사용하여 이번 강의의 세 가지 부등식을 풀어보세요.
만약에 신트>a, 여기서 -1≤ ㅏ≤1이면 아크신 a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nψZ.
공식을 배워보세요!
알 수 없는 숫자의 등식을 방정식이라고 합니다.
예: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
방정식을 푼다는 것은 방정식이 참이 되도록 알 수 없는 숫자의 값을 찾는 것을 의미합니다.
이 숫자를 방정식의 근이라고 합니다.
예를 들어:
x+ 23 = 45; x = 22, 22 + 23 = 45이기 때문입니다.
따라서 이 정의는 방정식을 테스트하는 방법도 지정합니다. 즉, 발견된 알 수 없는 숫자의 값을 표현식으로 대체하고 해당 값을 계산하고 결과를 주어진 숫자(답)와 비교하는 것입니다.
알 수 없는 숫자의 값이 올바르게 발견되면 올바른 동등성을 얻습니다.
방정식을 푸는 방법.
가장 간단한 방정식과 이를 해결하는 방법에 대한 연구는 초기 수학 교육 시스템에서 확고하게 자리 잡았습니다. 방정식은 연구 중인 현실의 단편을 모델링하는 수단 중 하나이며 방정식에 대한 친숙함은 수학 교육의 필수적인 부분입니다. 동시에 초등학생에게 방정식을 소개하는 것은 초등학생이 수학을 공부할 수 있도록 준비시켜 줍니다.
수학에서 방정식은 일반적으로 "주어진 두 함수의 값이 동일한 인수 값을 찾는 문제를 분석적으로 표현한 것"으로 이해됩니다. 이러한 함수가 의존하는 인수는 다음과 같습니다. 알려지지 않은,함수의 값이 동일한 미지수의 값은 다음과 같습니다. 솔루션 - 방정식의 근원."이는 방정식의 개념이 먼저 분석 표현(우리의 경우 산술 표현)과 연관되어 있고 두 번째로 - 와 함께특정 세트에서 값을 가져오는 변수의 개념입니다.
초등학교에서는 방정식을 푸는 두 가지 방법을 논의합니다.
선정방법
알 수 없는 숫자에 적합한 값은 주어진 값이나 임의의 숫자 집합에서 선택됩니다.
선택한 숫자는 표현식으로 대체될 때 진정한 평등으로 바뀌어야 합니다. 예를 들어:
숫자 7, 10, 5, 4, 1, 3에서 각 방정식에 대해 올바른 동등성을 제공하는 x 값을 선택하십시오. 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
제안된 각 숫자는 표현식에 대입되고 결과 값을 답과 비교하여 확인됩니다.
제안된 값이 많아 이 방법에는 많은 시간과 노력이 소요됩니다. 표현의 의미를 독립적으로 선택할 때 아이는 미지의 가능한 의미를 독립적으로 찾지 못할 수도 있습니다.
액션 구성 요소 간의 관계를 사용하는 방법입니다.
액션 구성 요소의 상호 연결 규칙이 사용됩니다.
예를 들어:
방정식을 푼다: 9 + x=14
용어는 알려져 있지 않습니다. 알려지지 않은 용어를 찾으려면 합계에서 알려진 용어를 빼야 합니다. 이는 x = 14 - 9를 의미합니다. 엑스 = 5.
방정식을 푼다: 7 -x=2
서브트라헨트는 알 수 없습니다. 알 수 없는 감수를 찾으려면 피감수에서 차이를 빼야 합니다. 이는 x = 1 - 2를 의미합니다. 엑스 = 5.
방정식을 푼다: x-1 = 9
알 수 없는 감산액입니다. 알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 더해야 합니다. 따라서 x = 9 + 1; x = 10.
곱셈과 나눗셈의 연산으로 방정식을 풀기 위해 곱셈과 나눗셈의 구성 요소에 대한 의존성 규칙이 사용됩니다.
예를 들어:
방정식을 푼다: 96:x=24
제수를 알 수 없습니다. 알 수 없는 제수를 찾으려면 피제수를 몫으로 나누어야 합니다. 이는 x = 96:24를 의미합니다. x = 4. 답을 확인해 보겠습니다: 24 4 = 96.
방정식을 푼다: x:23 = 4
배당금은 알 수 없습니다. 알려지지 않은 피제수를 찾으려면 제수에 몫을 곱해야 합니다. 이는 x = 23 4를 의미합니다. x = 92. 답을 확인해 보겠습니다: 92: 23 = 4.
방정식을 푼다: o:- 14 = 84
승수를 알 수 없습니다. 알려지지 않은 요소를 찾으려면 제품을 알려진 요소로 나누어야 합니다. 이는 x = 84:14, x = 6을 의미합니다. 해를 확인해 봅시다: x 14 = 84.
이러한 규칙을 사용하면 방정식을 푸는 더 빠른 방법이 제공됩니다. 어려운 점은 많은 어린이들이 액션 구성 요소의 관계에 대한 규칙과 구성 요소의 이름을 혼동한다는 것입니다(6가지 규칙과 10가지 구성 요소의 이름을 잘 알아야 합니다).
더 어려운 방정식의 경우 피팅 방법이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
35 + x + x + x = 35 - 미지수는 0 값만 가질 수 있다는 것이 명백합니다.
78-x-x = 76 - 78 - 1 - 1 = 76이므로 분명히 x = 1입니다.
(6 + x) - 5 = 38 형식의 괄호가 있는 방정식의 경우 동작 구성 요소의 관계에 대한 규칙이 사용됩니다. 방정식의 왼쪽은 먼저 괄호 안의 표현식을 단일 미지 성분으로 간주하여 차이로 간주됩니다. 이 알 수 없는 단일 구성요소가 피감수입니다. 알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 추가해야 합니다.
따라서 방정식은 일반적인 형태를 취합니다. 이 방정식에서 알 수 없는 항(x = 43-6, x = 37)을 찾아야 합니다.
(6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38로 답을 확인해 봅시다(발견된 미지의 값을 원래 표현식으로 대체).
초등학교를 위한 여러 대체 수학 교과서에서는 동작 구성 요소의 관계에 대한 규칙을 반복적으로 사용하도록 권장하는 문제를 해결하기 위해 어린이에게 더 복잡한 방정식(I.I. Arginskaya, L.G. Peterson)을 소개합니다.
예를 들어:
방정식을 푼다: (y-3)-5-875 = 210
방정식의 왼쪽을 보고 동작 순서를 결정해 봅시다.
(y-3)-5 -875 = 210
왼쪽의 표현식 유형은 마지막 동작에 의해 결정됩니다. 마지막 동작은 뺄셈이므로 표현식을 차이로 간주하기 시작합니다.
빼기 (y - 3) 5, 875 빼기, 차이 값 210.
미지의 것은 환원 속에 포함되어 있다. 피감수를 구해 봅시다(이 전체 표현식을 하나의 피감수로 간주합니다). 알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 추가해야 합니다.
(y-3)-5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
다시 절차를 결정해 보겠습니다: (y - 3) 5 = 1085.
마지막 동작을 기준으로 왼쪽의 표현을 상품으로 간주합니다. 첫 번째 요소는 (y - 3), 두 번째 요소는 5, 곱의 값은 1085입니다. 첫 번째 요소에는 미지수가 포함되어 있습니다. 그것을 찾아봅시다(우리는 전체 표현 y - 3을 알 수 없다고 생각합니다). 알려지지 않은 요소를 찾으려면 제품을 알려진 요소로 나누어야 합니다.
y - 3 = 1085: 5;
피감수를 알 수 없는 방정식을 받았습니다. 찾아보자:
발견된 미지의 값을 원래 방정식에 대입하여 해를 확인해 보겠습니다.
(218-3)-5-875 = 210.
좌변의 값을 계산한 결과, 올바른 평등이 얻어졌다고 확신합니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
위의 해결 방법을 분석해 보면, 이는 어린이에게 모든 규칙에 대한 명확한 지식, 높은 수준의 분석 및 분석을 통해 얻은 변수의 복잡한 구조를 인식하는 능력이 필요한 길고 노동 집약적인 과정임을 알 수 있습니다. 단일 전체로서의 단계별 솔루션(높은 수준의 합성 및 추상화)
고등학교에서 사용되는 유사한 방정식을 푸는 보편적인 방법(괄호 열기, 방정식의 구성 요소를 왼쪽에서 오른쪽으로 이동)에 익숙한 성인은 이 방법의 불완전성과 과도한 노동 강도를 분명히 봅니다. 이와 관련하여, 많은 방법론자들은 그러한 복잡한 구조의 방정식을 초등학교 수학 과정에 적극적으로 도입하는 것이 타당성에 대해 의구심을 표현합니다. 이 해결 방법은 수학적 관점에서 볼 때 비합리적이며 5-7학년의 수학 교사가 이러한 유형의 방정식을 풀기 위한 일반적인 기술을 어린이에게 소개하자마자 잊혀지고 폐기됩니다.
일반적으로 모든 방정식은 7000년 전 또는 그 이전에 고대 바빌론에서 발명된 팬 스케일(레버, 이퀄암, 로커 - 많은 이름이 있음)의 수학적 모델입니다. 게다가 방정식의 원형이 된 것은 가장 오래된 시장에서 사용된 컵 저울이었다고도 생각합니다. 그리고 방정식을 두 개의 평행 막대로 연결된 이해할 수 없는 숫자와 문자 집합이 아니라 저울처럼 보면 다른 모든 것에는 문제가 없습니다.
모든 방정식은 균형 잡힌 저울과 같습니다
매일 우리 삶에는 점점 더 많은 방정식이 존재하지만, 방정식이 무엇인지, 그 의미가 무엇인지에 대한 이해는 점점 줄어들고 있습니다. 어쨌든 나는 큰딸에게 다음과 같은 간단한 수학 방정식의 의미를 설명하려고 할 때 이런 인상을 받았습니다.
엑스 + 2 = 8 (500.1)
저것들. 물론 학교에서는 그런 경우를 찾기 위해 다음과 같이 설명합니다. 엑스, 오른쪽에서 2를 빼야 합니다.
엑스 = 8 - 2 (500.3)
물론 이것은 절대적으로 올바른 행동이지만 왜 덧셈이나 나눗셈이 아닌 뺄셈이 필요한지 학교 교과서에는 설명이 없습니다. 배워야 할 규칙이 있습니다.
방정식의 구성원이 한 부분에서 다른 부분으로 이동되면 해당 기호가 반대 방향으로 변경됩니다..
10살짜리 초등학생이 이 규칙을 어떻게 이해해야 할지, 그 의미가 무엇인지는 스스로 생각하고 결정하기 나름이다. 더욱이 내 가까운 친척들도 방정식의 의미를 전혀 이해하지 못하고 필요한 것 (특히 위의 규칙)을 단순히 외운 다음 하나님이 기뻐하시는대로 적용한 것으로 나타났습니다. 나는 이 상황이 마음에 들지 않았기 때문에 이 기사를 쓰기로 결정했습니다. (막내는 이제 자라고 있으며 몇 년 후에 그는 이것을 다시 설명해야 할 것이며 이것은 내 사이트의 소수 독자들에게도 유용할 수 있습니다.) .
저는 학교에서 10년 동안 공부했지만 기술 분야와 관련된 규칙이나 정의를 배운 적이 없습니다. 저것들. 분명하면 기억될 것이고, 명확하지 않다면 의미를 이해하지 못한 채 벼락치기로 벼락치기하면 어차피 잊혀진다면 무슨 소용이 있겠습니까? 게다가 이해하지 못하는 것이 있으면 필요하지 않다는 의미입니다. (학교에서 이해하지 못한 것은 내 잘못이 아니라 교사, 교과서 및 교사의 잘못이라는 것을 최근에야 깨달았습니다. 일반적인 교육 시스템).
이 접근 방식은 나에게 많은 자유 시간을 제공했지만 어린 시절에는 모든 종류의 게임과 오락을 즐기기에는 부족했습니다. 동시에 저는 물리학과 화학 분야의 다양한 올림피아드에 참가했고, 수학 분야의 지역 대회에서도 우승했습니다. 그러나 시간이 지남에 따라 추상 개념을 다루는 학문의 수가 증가하고 이에 따라 성적이 감소했습니다. 연구소 첫해에는 추상적 개념으로 운영되는 학문 분야의 수가 절대 다수였으며 물론 저는 완전한 C 학생이었습니다. 그러다가 여러 가지 이유로 강의와 노트의 도움 없이 스스로 자료의 힘을 다루어야 했고 어느 정도 이해가 되었을 때 일이 순조롭게 진행되어 우등 졸업장으로 끝났습니다. 그러나 이것은 지금 이것에 관한 것이 아니라 지정된 세부 사항으로 인해 나의 개념과 정의가 학교에서 가르치는 것과 크게 다를 수 있다는 사실에 관한 것입니다.
이제 계속하자
가장 간단한 방정식, 저울과의 비유
사실, 아이들은 취학 전 연령에도 여전히 말하는 방법을 모르는 다양한 물건을 비교하도록 배웁니다. 일반적으로 기하학적 비교로 시작합니다. 예를 들어, 어린이에게 두 개의 큐브가 표시되고 어린이는 어느 큐브가 더 크고 어느 것이 더 작은지 결정해야 합니다. 그리고 그것들이 동일하다면 이것은 크기가 동일하다는 것입니다. 그런 다음 작업은 더욱 복잡해지고, 어린이에게 다양한 모양, 다양한 색상의 개체가 표시되며, 어린이가 동일한 개체를 선택하는 것이 점점 더 어려워집니다. 그러나 우리는 작업을 너무 복잡하게 만들지 않고 한 가지 유형의 평등, 즉 금전적 무게에만 집중할 것입니다.
스케일 팬이 동일한 수평 레벨에 있을 때(그림 500.1에서 주황색과 파란색으로 표시된 팬 스케일의 화살표가 일치하고 수평 레벨은 검은색 굵은 선으로 표시됨) 이는 무게가 같은 수준에 있음을 의미합니다. 저울의 오른쪽 팬은 왼쪽 팬과 같습니다. 가장 간단한 경우에는 1kg의 무게가 될 수 있습니다.
그림 500.1.
그러면 우리는 가장 간단한 방정식 1 = 1을 얻습니다. 그러나 이 방정식은 나에게만 해당되며 수학에서는 이러한 표현을 평등이라고 부르지만 본질은 변하지 않습니다. 저울의 왼쪽 팬에서 추를 제거하고 그 위에 사과, 못, 빨간 캐비어 등 무엇이든 올려 놓고 동시에 저울이 동일한 수평 수준에 있으면 이는 여전히 1kg을 의미합니다. 표시된 제품 중 1kg의 무게가 저울 오른쪽에 남아 있습니다. 남은 것은 판매자가 설정한 가격에 따라 이 킬로그램에 대한 비용을 지불하는 것입니다. 또 다른 점은 가격이 마음에 들지 않거나 저울의 정확성에 대해 의구심이 있을 수 있다는 것입니다. 그러나 이는 수학과 직접적인 관련이 없는 경제적, 법적 관계의 문제입니다.
물론 그 먼 시대에는 컵 비늘이 등장했을 때 모든 것이 훨씬 더 간단했습니다. 첫째, 킬로그램과 같은 무게 단위는 없었지만 달란트, 셰켈, 파운드, 그리브니아 등과 같은 무게 측정에 해당하는 화폐 단위가있었습니다. (그런데 오랫동안 나는 놀랐습니다. 파운드 - 화폐 단위 및 파운드 - 무게 측정, 그리브니아 - 화폐 단위가 있으며 한때 그리브니아가 무게 측정이었고 최근에야 재능이 화폐 단위만이 아니라는 것을 알게 되었을 때 구약에 언급된 고대 유대인뿐만 아니라 고대 바빌론에서 채택된 무게 측정법도 모든 것이 제자리에 놓였습니다.)
보다 정확하게는 처음에는 일반적으로 곡물의 곡물과 같은 무게 측정이 있었고 그 후에야 이러한 무게 측정에 해당하는 돈이 나타났습니다. 예를 들어, 60곡은 1세켈에 해당하고, 60세겔은 1미나, 60미나는 1달란트에 해당합니다. 따라서 처음에는 제공된 돈이 위조되었는지 확인하기 위해 저울을 사용했으며 그 후에야 무게가 돈, 무게 및 계산, 전자 저울 및 플라스틱 카드와 동등한 것으로 나타 났지만 이것이 문제의 본질을 바꾸지는 않습니다.
그 옛날에는 판매자가 특정 제품의 가격을 길고 자세하게 설명할 필요가 없었습니다. 판매되는 제품을 저울의 한 팬에 놓고 구매자가 두 번째 팬에 돈을 넣는 것으로 충분했습니다. 매우 간단하고 명확하며 현지 방언에 대한 지식도 필요하지 않으며 전 세계 어디에서나 거래할 수 있습니다. 하지만 방정식으로 돌아가 보겠습니다.
저울 위치에서 방정식 (500.1)을 고려하면 저울의 왼쪽 팬에는 알 수 없는 킬로그램 수와 또 다른 2kg이 있고 오른쪽 팬에는 8kg이 있음을 의미합니다.
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
메모: 이 경우 밑줄은 눈금의 바닥을 상징하며, 종이로 계산할 때 이 선은 눈금의 바닥과 더 유사할 수 있습니다. 더욱이 수학자들은 오랫동안 특수 기호인 괄호를 생각해 냈으므로 적어도 방정식의 의미를 이해하는 첫 번째 단계에서는 모든 괄호를 척도의 변으로 간주할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 더 명확하게 설명하기 위해 밑줄을 그대로 두겠습니다.
그렇다면 알려지지 않은 킬로그램 수를 알아내려면 어떻게 해야 할까요? 오른쪽! 저울의 왼쪽과 오른쪽에서 2kg을 제거하면 저울은 동일한 수평 수준으로 유지됩니다. 즉, 여전히 동일합니다.
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
각기
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6kg, (500.4.2)
그림 500.2.
종종 수학은 킬로그램이 아니라 추상적인 무차원 단위로 작동하며, 예를 들어 초안에서 방정식 (500.1)에 대한 해법을 작성하면 다음과 같습니다.
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
엑스, = 8 - 2 , (500.3)
엑스 = 6 (500.4)
그림 500.2에 반영되어 있습니다.
메모: 공식적으로 더 나은 이해를 위해 방정식 (500.2) 뒤에는 다음 형식의 다른 방정식이 와야 합니다. x + 2 - 2, = 8 - 2,이는 작업이 종료되었고 다시 균형 잡힌 무게의 그릇을 다루고 있음을 의미합니다. 그러나 제 생각에는 결정을 완전히 완벽하게 기록할 필요는 없습니다.
깨끗한 책에서는 일반적으로 방정식 해의 약식 표기법이 사용되며, 방정식 연구 초기 단계에 꼭 필요한 척도 기호뿐만 아니라 전체 방정식까지 약식입니다. 따라서 교과서에 제공된 예에 따라 정리 버전의 방정식 (500.1)에 대한 축약 버전은 다음과 같습니다.
엑스 + 2 = 8 (500.1.1)
엑스 = 8 - 2 (500.3.1)
엑스 = 6 (500.4)
결과적으로 우리는 스케일을 사용한 비유를 사용하여 솔루션 방법 또는 이 솔루션을 기록하는 형식으로 교과서에 제안된 것과 비교하여 추가 방정식(500.2)을 작성했습니다. 제 생각에는 이것은 대략 다음과 같은 형식으로 작성된 방정식입니다. 척도의 상징적 지정 - 이것은 방정식의 의미를 이해하는 데 중요한 누락된 링크입니다.
저것들. 방정식을 풀 때 반대 기호가 있는 어떤 것도 전송하지 않고 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 수학적 연산을 수행합니다.
이제 위에 주어진 축약된 형식으로 방정식의 해를 기록하는 것이 관례입니다. 방정식 (500.1.1) 바로 뒤에는 방정식 (500.3.1)이 따르므로 역방향 기호의 규칙이 있지만 많은 사람들이 방정식의 의미를 탐구하는 것보다 기억하기가 더 쉽습니다.
메모: 게다가 저는 녹음이라는 축약된 형식에 반대할 생각이 없습니다. 고급 사용자는 이 형식을 더욱 단축할 수 있지만 이는 방정식의 일반적인 의미를 이미 명확하게 이해한 후에 수행해야 합니다.
그리고 확장 표기법을 사용하면 방정식을 풀기 위한 주요 규칙을 이해할 수 있습니다.
1. 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 수학적 연산을 수행하면 동등성이 유지됩니다.
2. 고려중인 방정식의 어느 부분이 왼쪽이고 어느 부분이 옳은지는 중요하지 않으며 자유롭게 바꿀 수 있습니다.
이러한 수학적 연산은 무엇이든 될 수 있습니다. 위와 같이 왼쪽 변과 오른쪽 변에서 같은 수를 뺄 수 있습니다. 예를 들어 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 숫자를 추가할 수 있습니다.
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
엑스, = 8 + 2 , (500.5.3)
엑스 = 10 (500.5.4)
예를 들어, 양변을 같은 숫자로 나누거나 곱할 수 있습니다.
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
엑스, = 12 : 3 , (500.6.3)
엑스 = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
엑스 = 6 (500.7.5)
두 부분을 통합하거나 차별화할 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽 부분에 대해 원하는 것은 무엇이든 할 수 있지만 이러한 작업이 왼쪽과 오른쪽 부분에 대해 동일하면 평등이 유지됩니다(척도는 동일한 수평 수준으로 유지됩니다).
물론 미지의 수량을 가능한 한 빠르고 간단하게 결정할 수 있는 조치를 선택해야 합니다.
이런 관점에서 보면 고전적인 역작용 방법이 더 간단해 보이지만, 아이가 아직 음수를 공부하지 않았다면 어떻게 될까요? 한편, 컴파일된 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
5 - x = 3 (500.8)
저것들. 고전적인 방법을 사용하여 이 방정식을 풀 때 가장 짧은 표기법을 제공하는 가능한 솔루션 중 하나는 다음과 같습니다.
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
엑스 = 2 (500.8.4)
그리고 가장 중요한 것은 방정식 (500.8.3)이 방정식 (500.8.4)과 동일한 이유를 어린이에게 어떻게 설명할 수 있습니까?
즉, 이 경우 고전적인 방법을 사용하더라도 녹음 비용을 절약할 필요가 없으며 먼저 왼쪽에서 음수 부호가 있는 알 수 없는 값을 제거해야 합니다.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + 엑스 (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
엑스 = 5 - 3 (500.8.7)
엑스 = 2 (500.8.4)
전체 항목은 다음과 같습니다.
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
엑스 = 2 (500.8.4)
다시 추가하겠습니다. 솔루션에 대한 완전한 기록은 교사가 아니라 방정식 해결 방법을 더 잘 이해하기 위해 필요합니다. 그리고 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 바꾸면 마치 구매자의 관점에서 판매자의 관점으로 저울의 관점을 바꾸는 것과 같지만 동등성은 동일하게 유지됩니다.
불행하게도 나는 딸에게 초안을 작성하더라도 솔루션을 완전히 기록하도록 할 수 없었습니다. 그녀는 “우리는 그런 식으로 배우지 않았습니다.”라고 확고한 주장을 펼치고 있습니다. 한편, 컴파일되는 방정식의 복잡성은 증가하고, 미지의 수량을 결정하기 위해 어떤 조치를 수행해야 하는지 추측하는 비율은 감소하며 성적은 낮아집니다. 이걸 어떻게 해야할지 모르겠어요...
메모: 현대 수학에서는 평등과 방정식을 구별하는 것이 일반적입니다. 1 = 1은 수치적 평등일 뿐이며, 평등의 일부 중 하나에 찾아야 할 미지수가 있는 경우 이는 이미 방정식입니다. 나에게 있어서 그러한 의미의 구별은 그다지 의미가 없으며, 단지 물질에 대한 인식을 복잡하게 만들 뿐이다. 나는 모든 평등을 방정식이라고 부를 수 있으며 모든 방정식은 평등에 기초한다고 믿습니다. 게다가 x = 6이라는 질문이 생깁니다. 이것은 이미 평등합니까, 아니면 여전히 방정식입니까?
가장 간단한 방정식, 시간과의 유추
물론 방정식을 풀 때 저울을 사용한 비유는 유일한 것과는 거리가 멀습니다. 예를 들어, 방정식을 푸는 것도 시간적 관점에서 고려할 수 있습니다. 그러면 방정식 (500.1)에 설명된 조건은 다음과 같습니다.
알 수 없는 수량을 추가한 후 엑스 2개 유닛이 더 추가되어 이제 8개 유닛(현재)이 생겼습니다. 그러나 어떤 이유로든 우리는 얼마나 많은 것이 있었는지에 관심이 있는 것이 아니라 과거 시제에서 얼마나 많은 것이 있었는지에 관심이 있습니다. 따라서 동일한 단위가 몇 개 있는지 확인하려면 반대 작업을 수행해야 합니다. 8에서 2를 뺍니다(식 500.3). 이 접근 방식은 교과서에 제시된 내용과 정확히 일치하지만 제 생각에는 저울의 비유만큼 명확하지 않습니다. 그러나 이 문제에 대해서는 의견이 다를 수 있습니다.
괄호를 사용하여 방정식을 푸는 예
나는 내 딸이 4학년을 졸업한 여름에 이 기사를 썼지만, 6개월이 채 지나지 않아 딸은 학교에서 다음 형식의 방정식을 풀어 달라는 요청을 받았습니다.
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
학급의 어느 누구도 이 방정식을 풀 수 없었지만 제가 제안한 방법을 사용하면 문제를 푸는 데 복잡한 것이 없지만 전체 형태의 표기법은 너무 많은 공간을 차지합니다.
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75:3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
엑스 = 5 (500.10.20)
그러나 현 단계에서는 그러한 완전한 형태의 녹음이 필요하지 않습니다. 이중 괄호에 도달했으므로 왼쪽과 오른쪽에 수학 연산을 위한 별도의 방정식을 만들 필요가 없으므로 초안에 솔루션을 작성하면 다음과 같이 보일 수 있습니다.
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
엑스 = 5 (500.10.20)
이 단계에서는 원래 방정식을 풀기 위해 총 14개의 방정식을 작성해야 했습니다.
이 경우 깨끗한 사본으로 방정식의 해를 작성하면 다음과 같을 수 있습니다.
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
엑스 = 25:5 (500.10.19)
엑스 = 5 (500.10.20)
저것들. 약식 표기법을 사용하더라도 여전히 12개의 방정식을 만들어야 합니다. 녹음 비용 절감 효과는 미미하지만 5학년 학생은 실제로 필요한 조치를 이해하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.
추신이중 괄호에 관해서만 내 딸이 내가 제안한 방정식 풀이 방법에 관심을 가지게 되었지만, 동시에 그녀의 글쓰기 형식에서는 심지어 초안에도 최종 방정식을 건너뛰기 때문에 여전히 2배 적은 방정식이 있습니다. (500.10.4), (500.10.7) 등과 같은 방정식을 작성하고 기록하면 즉시 다음 수학 연산을 위한 여지가 남습니다. 결과적으로 그녀의 초안 항목은 다음과 같습니다.
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
엑스 = 5 (500.10.20)
결과적으로 우리는 약식 솔루션에 필요한 것보다 훨씬 적은 8개의 방정식만 얻었습니다. 원칙적으로는 상관 없지만 유용 할 것입니다.
이것이 실제로 하나의 알려지지 않은 수량을 포함하는 가장 간단한 방정식을 푸는 것에 대해 제가 말하고 싶었던 전부입니다. 두 개의 알려지지 않은 수량을 포함하는 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.
