두 점을 통과하는 평면의 일반 방정식을 쓰십시오. 같은 선상에 있지 않은 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식
공간의 세 점을 통과하는 단일 평면을 그리려면 이 점들이 동일한 직선 위에 있지 않아야 합니다.
일반 직교 좌표계에서 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) 점을 고려하십시오.
임의의 점 M(x, y, z)가 점 M 1, M 2, M 3과 동일한 평면에 놓이려면 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다.
정의 2.1.
공간상의 두 선이 같은 평면에 있고 공통점이 없으면 평행선이라고 합니다.
두 선 a와 b가 평행하면 면적 측정에서와 같이 a || 비. 공간에서는 선이 교차하지 않거나 평행하게 배치될 수 있습니다. 이 경우는 입체측정의 경우에 특별합니다.
정의 2.2.
공통점이 없고 평행하지 않은 선을 교차라고 합니다.
정리 2.1.
주어진 선 밖의 점을 통해 주어진 선과 평행한 선을 하나만 그릴 수 있습니다.
| 평행선의 부호 |
| 공간의 두 선이 같은 평면에 있고 교차하지 않으면 평행이라고 합니다. 주어진 선 밖의 점을 통해 이 직선과 평행한 직선을 그릴 수 있습니다. 단 하나만 그릴 수 있습니다. 이 진술은 평면의 평행선 공리로 축소됩니다. 정리. 세 번째 선과 평행한 두 선은 평행합니다. 선 b와 c가 선 a와 평행하다고 가정합니다. b || 와 함께. 직선 a, b와 같은 평면에 있는 경우는 면적 측정에서 고려되므로 생략합니다. a, b, c가 같은 평면에 있지 않다고 가정해 보겠습니다. 그러나 두 개의 평행선이 동일한 평면에 위치하므로 a와 b는 평면에 있고 a b와 c는 평면에 있다고 가정할 수 있습니다(그림 61). 선 c에서 우리는 점 M을 표시하고 선 b와 점 M을 통해 평면을 그립니다. 그녀, 는 직선 l에서 교차합니다. 직선 l은 평면과 교차하지 않습니다. 왜냐하면 l이 교차하는 경우 교차점은 a(a와 l이 동일한 평면에 있음) 및 b(b와 l이 동일한 평면에 있음)에 있어야 하기 때문입니다. 따라서 하나의 교차점 l은 선 a와 선 b 모두에 있어야 하며 이는 불가능합니다. a || 비. 따라서 || , 난 || 아, 난 || 비. a와 l이 동일한 평면에 있으므로 l은 선 c(평행성 공리에 의해)와 일치하므로 || 비. 정리가 입증되었습니다. |
25.선과 평면 사이의 평행도 기호
정리
평면에 속하지 않는 선이 이 평면의 어떤 선과 평행하면 그 선은 평면 자체와 평행합니다.
증거
α를 평면, a가 그 안에 있지 않은 선, a1을 선 a에 평행한 α 평면 위의 선으로 설정합니다. 선 a와 a1을 통해 평면 α1을 그려 보겠습니다. 평면 α와 α1은 직선 a1을 따라 교차합니다. 교차된 평면 α를 선으로 그리면 교차점은 선 a1에 속합니다. 그러나 선 a와 a1이 평행하기 때문에 이것은 불가능합니다. 결과적으로 선 a는 평면 α와 교차하지 않으므로 평면 α와 평행합니다. 정리가 입증되었습니다.
27.주어진 평면과 평행한 평면의 존재
정리
주어진 평면 외부의 점을 통해 주어진 평면과 평행한 평면을 하나만 그릴 수 있습니다.
증거
이 평면 α에 교차하는 두 선 a와 b를 그려 보겠습니다. 주어진 점 A를 통해 평행한 선 a1과 b1을 그립니다. 평면 평행성에 관한 정리에 따르면 선 a1과 b1을 통과하는 평면 β는 평면 α와 평행합니다.
또 다른 평면 β1이 평면 α와 평행한 점 A를 통과한다고 가정합니다. β 평면에 있지 않은 β1 평면의 어떤 점 C를 표시해 보겠습니다. 점 A, C와 평면 α의 일부 점 B를 통해 평면 γ를 그려 보겠습니다. 이 평면은 직선 b, a 및 c를 따라 평면 α, β 및 β1과 교차합니다. 선 a와 c는 평면 α와 교차하지 않으므로 선 b와 교차하지 않습니다. 그러므로 그들은 선 b와 평행하다. 그러나 γ 평면에서는 직선 b와 평행한 직선 하나만 점 A를 통과할 수 있습니다. 이는 가정과 모순됩니다. 정리가 입증되었습니다.
28.평행 평면의 속성일
29. 
공간의 수직선. 공간에 있는 두 직선 사이의 각도가 90도이면 수직이라고 합니다. 씨. 중. 케이. 케이. 중. 씨. 케이. 교차. 교배.
| 정리 1 선과 평면의 수직성의 부호. 평면과 교차하는 선이 이 선과 평면의 교차점을 통과하는 이 평면의 두 선에 수직이면 그 선은 평면에 수직입니다. | |
| 증명: a를 평면의 선 b와 c에 수직인 선으로 놓습니다. 그런 다음 선 a는 선 b와 c의 교차점인 A를 통과합니다. 직선 a가 평면에 수직임을 증명해 보겠습니다. 평면의 점 A를 지나는 임의의 선 x를 그리고 선 a에 수직이라는 것을 보여드리겠습니다. 점 A를 통과하지 않고 선 b, c, x와 교차하는 임의의 선을 평면에 그려 보겠습니다. 교차점을 B, C 및 X라고 가정합니다. 점 A에서 서로 다른 방향으로 선 a에 동일한 세그먼트 AA 1과 AA 2를 플롯합니다. 삼각형 A 1 CA 2는 이등변입니다. 왜냐하면 선분 AC는 정리에 따른 높이이고 구성에 따른 중앙값(AA 1 = AA 2)이기 때문입니다. 같은 이유로 삼각형 A 1 BA 2도 이등변입니다. 따라서 삼각형 A 1 BC와 A 2 BC는 세 변이 동일합니다. 삼각형 A 1 BC와 A 2 BC의 동일성에서 각도 A 1 BC와 A 2 BC는 동일하므로 삼각형 A 1 BC와 A 2 BC는 두면이 같고 그 사이의 각도는 같습니다. . 이 삼각형의 변 A 1 X와 A 2 X의 동일성으로부터 우리는 삼각형 A 1 XA 2가 이등변이라고 결론을 내립니다. 따라서 중앙값 XA는 높이이기도 합니다. 그리고 이것은 선 x가 a에 수직이라는 것을 의미합니다. 정의에 따르면 직선은 평면에 수직입니다. 정리가 입증되었습니다. |
| 정리 2 수직선과 평면의 첫 번째 속성. 평면이 두 평행선 중 하나에 수직이면 다른 평행선에도 수직입니다. |  |
| 증명: a 1과 a 2 - 2를 평행선으로 하고 선 a 1에 수직인 평면을 놓습니다. 이 평면이 선 a 2에 수직임을 증명해 보겠습니다. 선 a 2와 평면의 교차점 A 2를 통해 평면에 임의의 직선 x 2를 그려 보겠습니다. 점 A 1을 통과하는 평면에 선 a 1과 선 x 2에 평행한 선 x 1의 교차점을 그려 보겠습니다. 선 a 1은 평면에 수직이므로 선 a 1과 x 1은 수직입니다. 그리고 정리 1에 따르면 이들에 평행한 교차선인 a 2와 x 2도 수직입니다. 따라서 선 a 2는 평면의 모든 선 x 2에 수직입니다. 그리고 이것은 (정의에 따라) 직선 a 2가 평면에 수직이라는 것을 의미합니다. 정리가 입증되었습니다. 지원 작업 2번도 참조하세요. | |
| 정리 3 수직선과 평면의 두 번째 속성. 같은 평면에 수직인 두 선은 평행하다. |  |
| 증명: a와 b가 평면에 수직인 두 직선이라고 하자. 선 a와 b가 평행하지 않다고 가정해 보겠습니다. 평면에 있지 않은 선 b 위의 점 C를 선택해 보겠습니다. 점 C를 지나 선 a에 평행한 선 b 1을 그립니다. 선 b 1은 정리 2에 따라 평면에 수직입니다. B와 B 1을 선 b와 b 1과 평면의 교차점으로 둡니다. 그러면 직선 BB 1은 교차선 b와 b 1에 수직입니다. 그리고 이것은 불가능합니다. 우리는 모순에 도달했습니다. 정리가 입증되었습니다. |
33.수직는 주어진 평면 위의 한 점에서 내려와 주어진 점과 평면 위의 한 점을 연결하고 그 평면에 수직인 직선 위에 놓인 선분이다. 평면에 있는 이 세그먼트의 끝을 호출합니다. 수직의 밑면.
경사주어진 점에서 주어진 평면으로 그려진 선분은 주어진 점과 평면에 수직이 아닌 평면 위의 점을 연결하는 선분입니다. 평면에 놓인 세그먼트의 끝을 호출합니다. 경사진 베이스. 같은 점에서 그린 수직선과 경사면을 연결하는 선분을 선분이라고 합니다. 경사 투영.
AB는 α 평면에 수직입니다.
AC – 경사, CB – 투영.
정리의 진술
기울어진 선의 밑면을 통과하는 평면에 그려진 직선이 투영에 수직이면 경사진 직선에도 수직입니다.
증거
허락하다 AB- 평면 α에 수직, A.C.- 경향이 있고 씨- 점을 지나는 α평면상의 직선 씨그리고 투영에 수직 기원전. 직접 만들어보자 CK선과 평행 AB. 똑바로 CK는 평면 α에 수직입니다(평행하기 때문에). AB), 따라서 이 평면의 모든 직선은 CK직선에 수직 씨. 평행선을 그리자 AB그리고 CK평면 β(평행선은 평면을 정의하며 단 하나만 정의합니다). 똑바로 씨β 평면에 있는 두 개의 교차선에 수직인 것은 기원전상태와 상태에 따라 CK구조적으로는 이 평면에 속하는 모든 선에 수직이라는 의미입니다. 즉, 선에 수직이라는 의미입니다. A.C..
공간의 세 점을 통과하는 단일 평면을 그리려면 이 점들이 동일한 직선 위에 있지 않아야 합니다.
일반 직교 좌표계에서 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) 점을 고려하십시오.
임의의 점 M(x, y, z)가 점 M 1, M 2, M 3과 동일한 평면에 놓이려면 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다.
(
)
= 0
따라서, 
세 점을 통과하는 평면의 방정식:
두 개의 점과 평면에 동일선상에 있는 벡터가 주어진 평면의 방정식입니다.
점 M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2)와 벡터가 주어집니다. 
.
주어진 점 M 1 과 M 2 를 통과하는 평면과 벡터에 평행한 임의의 점 M (x, y, z)에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다. 
.
벡터 
그리고 벡터 
동일 평면상에 있어야 합니다. 즉,
(
)
= 0
평면 방정식:
하나의 점과 두 개의 벡터를 사용한 평면 방정식,
비행기와 동일 선상에 있습니다.
두 벡터를 주어보자 
그리고 
, 동일선상 평면. 그런 다음 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터는 
동일 평면상에 있어야 합니다.
평면 방정식:
점과 법선 벡터에 의한 평면의 방정식 .
정리.
공간에 점 M이 주어지면 0
(엑스 0
, y 0
,
지 0
), 점 M을 통과하는 평면의 방정식 0
법선 벡터에 수직
(ㅏ,
비,
씨) 형식은 다음과 같습니다.
ㅏ(엑스 – 엑스 0 ) + 비(와이 – 와이 0 ) + 씨(지 – 지 0 ) = 0.
증거.
평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터를 구성합니다. 왜냐하면 벡터
는 법선 벡터이고 평면에 수직이므로 벡터에 수직입니다. 
. 그런 다음 스칼라 곱
=
0
따라서 우리는 평면의 방정식을 얻습니다.
정리가 입증되었습니다.
세그먼트의 평면 방정식.
일반 방정식 Ax + Bi + Cz + D = 0에서 양변을 (-D)로 나눕니다.
,
교체 
, 우리는 세그먼트의 평면 방정식을 얻습니다.
숫자 a, b, c는 각각 x, y, z 축과 평면의 교차점입니다.
벡터 형태의 평면 방정식.
어디
- 현재 점 M(x, y, z)의 반경 벡터,
원점에서 평면에 떨어진 수직 방향을 갖는 단위 벡터입니다.
, 및 는 이 벡터와 x, y, z 축이 이루는 각도입니다.
p는 이 수직선의 길이입니다.
좌표에서 이 방정식은 다음과 같습니다.
xcos + ycos + zcos - p = 0.
점에서 평면까지의 거리.
임의의 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)에서 평면 Ax+By+Cz+D=0까지의 거리는 다음과 같습니다.
예.점 P(4; -3; 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수직선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.
따라서 A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, 다음 공식을 사용합니다.
에이(엑스 – 엑스 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
예.두 점 P(2; 0; -1)을 통과하는 평면의 방정식을 구하고
평면 3x + 2y – z + 5 = 0에 수직인 Q(1; -1; 3).
평면 3x + 2y – z + 5 = 0에 대한 법선 벡터 
원하는 평면과 평행합니다.
우리는 다음을 얻습니다:
예.점 A(2, -1, 4)를 통과하는 평면의 방정식을 구하고
B(3, 2, -1) 평면에 수직 엑스 + ~에 + 2지 – 3 = 0.
필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 엑스+B 와이+C 지+ D = 0, 이 평면에 대한 법선 벡터 
(A, B, C). 벡터 
(1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 우리에게 주어진 평면은 원하는 평면에 수직이며 법선 벡터를 갖습니다. 
(1, 1, 2). 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면은 서로 수직입니다.
그래서 법선 벡터는 
(11, -7, -2). 왜냐하면 점 A는 원하는 평면에 속하며, 그 좌표는 이 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉, 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.
전체적으로 우리는 평면의 방정식을 얻습니다. 11 엑스 - 7와이 – 2지 – 21 = 0.
예.점 P(4, -3, 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.
법선 벡터의 좌표 찾기 
= (4, -3, 12). 필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 4 엑스
– 3와이
+ 12지+ D = 0. 계수 D를 찾기 위해 점 P의 좌표를 방정식에 대체합니다.
16 + 9 + 144 + D = 0
전체적으로 우리는 필요한 방정식을 얻습니다: 4 엑스 – 3와이 + 12지 – 169 = 0
예.주어진 피라미드의 정점 좌표는 A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1)입니다.
모서리 A 1 A 2 의 길이를 구하세요.
모서리 A 1 A 2와 A 1 A 4 사이의 각도를 구합니다.
모서리 A 1 A 4와 면 A 1 A 2 A 3 사이의 각도를 구합니다.
먼저 면 A 1 A 2 A 3에 대한 법선 벡터를 찾습니다. 
벡터의 외적으로 
그리고 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
법선 벡터와 벡터 사이의 각도를 구해 봅시다 
.
-4
– 4 = -8.
벡터와 평면 사이의 원하는 각도 는 = 90 0 - 와 같습니다.
A 1 A 2 A 3의 면적을 구하세요.
피라미드의 부피를 구하세요.
평면 A 1 A 2 A 3의 방정식을 구합니다.
세 점을 통과하는 평면의 방정식에 대한 공식을 사용해 봅시다.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
컴퓨터 버전을 사용하는 경우 “ 고등 수학 코스” 피라미드 정점의 좌표에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행할 수 있습니다.
프로그램을 시작하려면 아이콘을 두 번 클릭하십시오.
열리는 프로그램 창에서 피라미드 꼭지점의 좌표를 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 이러한 방식으로 모든 결정 포인트를 하나씩 얻을 수 있습니다.
참고: 프로그램을 실행하려면 MapleV Release 4부터 모든 버전의 메이플 프로그램( Waterloo Maple Inc.)이 컴퓨터에 설치되어 있어야 합니다.
13.평면 사이의 각도, 점에서 평면까지의 거리.
평면 α와 β가 직선 c를 따라 교차한다고 가정합니다.
평면 사이의 각도는 이러한 평면에 그려진 교차선에 대한 수직선 사이의 각도입니다.
즉, α 평면에서 c에 수직인 직선 a를 그렸습니다. β 평면에서 - 직선 b는 c에도 수직입니다. 평면 α와 β 사이의 각도는 직선 a와 b 사이의 각도와 같습니다.
두 평면이 교차하면 실제로 네 개의 각도가 형성됩니다. 사진에서 그것들이 보이시나요? 우리가 취하는 평면 사이의 각도로 매운모서리.
평면 사이의 각도가 90도이면 평면은 수직,
이것이 평면의 수직성의 정의입니다. 입체 측정 문제를 해결할 때 우리는 또한 다음을 사용합니다. 평면의 직각도 표시:
평면 α가 평면 β에 수직인 평면을 통과하면 평면 α와 β는 수직입니다..
점에서 평면까지의 거리
좌표로 정의된 점 T를 생각해 보세요.
T = (x 0 , y 0 , z 0)
또한 다음 방정식으로 주어진 평면 α를 고려하십시오.
도끼 + By + Cz + D = 0
그런 다음 점 T에서 평면 α까지의 거리 L은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
즉, 점의 좌표를 평면 방정식에 대입한 다음 이 방정식을 평면에 대한 법선 벡터 n의 길이로 나눕니다.
결과 숫자는 거리입니다. 이 정리가 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
우리는 이미 평면상의 직선의 매개변수 방정식을 도출해 냈으니, 3차원 공간의 직교좌표계에서 정의되는 직선의 매개변수 방정식을 구해보자.
직교좌표계를 3차원 공간에 고정시키자 옥시즈. 그 안에 직선을 정의해보자 ㅏ(공간에서 선을 정의하는 방법에 대한 섹션 참조) 선의 방향 벡터를 나타냅니다. 
그리고 선 위의 어떤 점의 좌표 
. 공간에서 직선의 매개변수 방정식을 그릴 때 이러한 데이터로부터 시작하겠습니다.
3차원 공간의 임의의 점이라고 하자. 점의 좌표에서 빼면 중대응점 좌표 남 1, 그런 다음 벡터의 좌표를 얻습니다 (끝과 시작 지점의 좌표에서 벡터의 좌표를 찾는 기사 참조). 
.
분명히 점들의 집합은 선을 정의합니다. ㅏ벡터와 가 동일선상에 있는 경우에만 가능합니다.
벡터의 공선성의 필요충분조건을 적어보자 
그리고 : 
, 실수는 어디에 있습니까? 결과 방정식은 다음과 같습니다. 선의 벡터 매개변수 방정식직각 좌표계에서 옥시즈 3차원 공간에서. 좌표 형태의 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 
그리고 대표한다 선의 매개변수 방정식 ㅏ. "파라메트릭"이라는 이름은 우연이 아닙니다. 선에 있는 모든 점의 좌표가 매개변수를 사용하여 지정되기 때문입니다.
직교 좌표계에서 직선의 매개 변수 방정식의 예를 들어 보겠습니다. 옥시즈우주에서: . 여기
15.직선과 평면 사이의 각도. 평면과 선의 교차점.
좌표에 관한 모든 1차 방정식 x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0(3.1)
평면을 정의하고 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 평면은 방정식 (3.1)으로 표현될 수 있습니다. 평면 방정식.
벡터 N평면에 직교하는 (A, B, C)를 호출합니다. 법선 벡터비행기. 방정식 (3.1)에서 계수 A, B, C는 동시에 0이 아닙니다.
방정식 (3.1)의 특별한 경우:
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - 평면이 원점을 통과합니다.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - 평면은 Oz 축과 평행합니다.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - 평면이 Oz 축을 통과합니다.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - 평면은 Oyz 평면과 평행합니다.
좌표 평면의 방정식: x = 0, y = 0, z = 0.
공간의 직선을 지정할 수 있습니다.
1) 두 평면의 교차선, 즉 방정식 시스템:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) 두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)를 통해 이를 통과하는 직선은 다음 방정식으로 제공됩니다.
3) 그것에 속하는 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 벡터 ㅏ(m, n, p)와 동일선상에 있습니다. 그런 다음 직선은 방정식에 의해 결정됩니다.
. (3.4)
방정식 (3.4)이 호출됩니다. 직선의 표준 방정식.
벡터 ㅏ~라고 불리는 방향 벡터 직선.
우리는 각 관계(3.4)를 매개변수 t와 동일시하여 선의 매개변수 방정식을 얻습니다.
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
미지수에 대한 선형 방정식 시스템으로서의 풀이 시스템(3.2) 엑스그리고 와이, 우리는 라인의 방정식에 도달 투영또는 주어진 직선 방정식:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
방정식 (3.6)에서 우리는 표준 방정식으로 이동하여 다음을 찾을 수 있습니다. 지각 방정식에서 결과 값을 동일시합니다.
.
일반 방정식(3.2)에서 이 선과 해당 방향 벡터에서 임의의 점을 찾으면 다른 방법으로 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다. N= [N 1 , N 2 ], 여기서 N 1(A1, B1, C1) 및 N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - 주어진 평면의 법선 벡터. 분모 중 하나라면 남, 엔또는 아르 자형방정식 (3.4)에서 0과 같으면 해당 분수의 분자는 0으로 설정되어야 합니다. 즉 체계
시스템과 동등하다 
; 이러한 직선은 Ox 축에 수직입니다.
체계 
x = x 1, y = y 1 시스템과 동일합니다. 직선은 오즈 축과 평행합니다.
예제 1.15. 점 A(1,-1,3)이 원점에서 이 평면에 그려진 수직선의 밑변 역할을 한다는 것을 알고 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
해결책.문제 조건에 따라 벡터는 OA(1,-1,3)은 평면의 법선 벡터이고 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
x-y+3z+D=0. 평면에 속하는 점 A(1,-1,3)의 좌표를 대입하면 D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11이 됩니다. 따라서 x-y+3z-11=0입니다.
예제 1.16. Oz 축을 통과하고 2x+y-z-7=0 평면과 60°의 각도를 이루는 평면에 대한 방정식을 쓰십시오.
해결책. Oz 축을 통과하는 평면은 Ax+By=0 방정식으로 주어지며, 여기서 A와 B는 동시에 사라지지 않습니다. B는 하지 말자
0과 같습니다. A/Bx+y=0입니다. 두 평면 사이의 각도에 대한 코사인 공식 사용
.
이차 방정식 3m 2 + 8m - 3 = 0을 풀면 그 뿌리를 찾을 수 있습니다
m 1 = 1/3, m 2 = -3, 여기서 우리는 1/3x+y = 0 및 -3x+y = 0이라는 두 평면을 얻습니다.
예제 1.17.라인의 표준 방정식을 작성하십시오.
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
해결책.선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 m, n, p- 직선의 방향 벡터의 좌표, x 1 , y 1 , z 1- 선에 속하는 모든 점의 좌표. 직선은 두 평면의 교차선으로 정의됩니다. 선에 속하는 점을 찾으려면 좌표 중 하나를 고정하고(가장 쉬운 방법은 x=0으로 설정하는 것입니다) 결과 시스템은 두 개의 미지수를 갖는 선형 방정식 시스템으로 해결됩니다. 따라서 x=0이라고 하면 y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0이므로 y=-1, z=1입니다. 우리는 이 선 M (0,-1,1)에 속하는 점 M(x 1, y 1, z 1)의 좌표를 찾았습니다. 직선의 방향 벡터는 원래 평면의 법선 벡터를 알면 쉽게 찾을 수 있습니다. N 1 (5,1,1) 및 N 2 (2,3,-2). 그 다음에
선의 표준 방정식의 형식은 다음과 같습니다. x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
예제 1.18. 평면 2x-y+5z-3=0 및 x+y+2z+1=0으로 정의된 빔에서 두 개의 수직 평면을 찾습니다. 그 중 하나는 점 M(1,0,1)을 통과합니다.
해결책.이들 평면에 의해 정의된 빔의 방정식은 u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 형식을 가지며, 여기서 u와 v는 동시에 사라지지 않습니다. 빔 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
(2u +v)x + (-u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
점 M을 통과하는 보에서 평면을 선택하기 위해 점 M의 좌표를 보의 방정식에 대입합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, 또는 v = - u.
그런 다음 v = - u를 빔 방정식에 대입하여 M을 포함하는 평면의 방정식을 찾습니다.
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
왜냐하면 u10(그렇지 않으면 v=0, 이는 빔의 정의와 모순됨)이면 평면 x-2y+3z-4=0의 방정식을 얻습니다. 보에 속하는 두 번째 평면은 보에 수직이어야 합니다. 평면의 직교성에 대한 조건을 적어 보겠습니다.
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, 또는 v = - 19/5u.
이는 두 번째 평면의 방정식이 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 의미합니다.
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 또는 9x +24y + 13z + 34 = 0
이 기사는 주어진 선에 수직인 3차원 공간에서 주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만드는 방법에 대한 아이디어를 제공합니다. 일반적인 문제를 해결하는 예를 사용하여 주어진 알고리즘을 분석해 보겠습니다.
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주어진 직선에 수직인 공간의 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식 찾기
그 안에 3차원 공간과 직교좌표계 O x y z를 주어보자. 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), 선 a 및 선 a에 수직인 점 M 1을 통과하는 평면 α도 제공됩니다. 평면 α의 방정식을 적어야 합니다.
이 문제를 해결하기 전에 10~11학년 강의 계획서에 나오는 기하학 정리를 기억해 봅시다.
정의 1
3차원 공간의 주어진 점을 통해 주어진 직선에 수직인 단일 평면이 통과합니다.
이제 시작점을 통과하고 주어진 선에 수직인 이 단일 평면의 방정식을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.
평면에 속하는 점의 좌표와 평면의 법선 벡터 좌표를 알고 있으면 평면의 일반 방정식을 작성할 수 있습니다.
문제의 조건은 평면 α가 통과하는 점 M 1의 좌표 x 1, y 1, z 1을 제공합니다. 평면 α의 법선 벡터의 좌표를 결정하면 필요한 방정식을 작성할 수 있습니다.
평면 α의 법선 벡터는 0이 아니고 평면 α에 수직인 선 a 위에 있기 때문에 선 a의 모든 방향 벡터가 됩니다. 따라서 평면 α의 법선 벡터 좌표를 찾는 문제는 직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정하는 문제로 변환됩니다.
직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정하는 것은 다양한 방법으로 수행할 수 있습니다. 이는 초기 조건에서 직선 a를 지정하는 옵션에 따라 다릅니다. 예를 들어, 문제 설명의 직선 a가 다음 형식의 표준 방정식으로 제공되는 경우
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
또는 다음 형식의 매개변수 방정식:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ
그러면 직선의 방향 벡터는 x, y 및 z 좌표를 갖게 됩니다. 직선 a가 두 점 M 2 (x 2, y 2, z 2)와 M 3 (x 3, y 3, z 3)으로 표시되는 경우 방향 벡터의 좌표는 다음과 같이 결정됩니다. x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).
정의 2
주어진 선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾는 알고리즘:
직선 a의 방향 벡터의 좌표를 결정합니다. a → = (a x, a y, a z) ;
평면 α의 법선 벡터 좌표를 직선 a의 방향 벡터 좌표로 정의합니다.
n → = (A, B, C), 여기서 A = a x , B = a y , C = a z;
우리는 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 통과하고 법선 벡터를 갖는 평면의 방정식을 작성합니다. n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 형식입니다. 이것은 공간의 주어진 점을 통과하고 주어진 선에 수직인 평면의 필수 방정식이 됩니다.
결과적으로 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다. A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0을 사용하면 세그먼트 단위의 평면 방정식 또는 평면의 일반 방정식을 얻을 수 있습니다.
위에서 얻은 알고리즘을 사용하여 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.
실시예 1
평면이 통과하는 점 M 1 (3, - 4, 5)이 주어지며, 이 평면은 좌표선 O z에 수직입니다.
해결책
좌표선 O z의 방향 벡터는 좌표 벡터 k ⇀ = (0, 0, 1)이 됩니다. 따라서 평면의 법선 벡터의 좌표는 (0, 0, 1)입니다. 주어진 점 M 1 (3, - 4, 5)을 통과하는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다. 해당 법선 벡터의 좌표는 (0, 0, 1)입니다.
A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0
답변: z – 5 = 0 .
이 문제를 해결하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.
실시예 2
선 O z에 수직인 평면은 C z + D = 0, C ≠ 0 형식의 불완전한 일반 평면 방정식으로 제공됩니다. C와 D의 값, 즉 비행기가 주어진 지점을 통과하는 값을 결정해 보겠습니다. 이 점의 좌표를 방정식 C z + D = 0으로 대체하면 C · 5 + D = 0을 얻습니다. 저것들. 숫자, C와 D는 D C = 5라는 관계로 연결됩니다. C = 1을 취하면 D = - 5가 됩니다.
이 값을 방정식 C z + D = 0으로 대체하고 직선 O z에 수직이고 점 M 1 (3, - 4, 5)을 통과하는 평면의 필수 방정식을 얻습니다.
다음과 같습니다: z – 5 = 0.
답변: z – 5 = 0 .
실시예 3
원점을 통과하고 선에 수직인 평면에 대한 방정식을 쓰십시오. x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2
해결책
문제의 조건에 따라 주어진 직선의 방향 벡터는 주어진 평면의 법선 벡터 n →로 간주될 수 있다고 주장할 수 있습니다. 따라서: n → = (- 3 , - 7 , 2) . 점 O (0, 0, 0)을 통과하고 법선 벡터 n → = (- 3, - 7, 2)를 갖는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다.
3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0
우리는 주어진 직선에 수직인 좌표의 원점을 통과하는 평면의 필요한 방정식을 얻었습니다.
답변:- 3 x - 7 y + 2 z = 0
실시예 4
직교 좌표계 O x y z는 3차원 공간에 주어지며 그 안에 두 점 A(2, - 1, - 2)와 B(3, - 2, 4)가 있습니다. 평면 α는 선 A B에 수직인 점 A를 통과합니다. 평면 α에 대한 방정식을 세그먼트로 작성해야 합니다.
해결책
평면 α는 선 A B에 수직이며 벡터 A B →는 평면 α의 법선 벡터가 됩니다. 이 벡터의 좌표는 점 B(3, - 2, 4)와 A(2, - 1, - 2)의 해당 좌표 간의 차이로 정의됩니다.
A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)
평면의 일반 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0
이제 세그먼트별로 필요한 평면 방정식을 작성해 보겠습니다.
x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
답변:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
또한 주어진 점을 통과하고 주어진 두 평면에 수직인 평면의 방정식을 작성해야 하는 문제가 있다는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 이 문제에 대한 해결책은 주어진 직선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 구성하는 것입니다. 두 개의 교차 평면이 직선을 정의합니다.
실시예 5
직교 좌표계 O x y z가 주어지며 그 안에 점 M 1 (2, 0, - 5)이 있습니다. 직선 a를 따라 교차하는 두 평면 3 x + 2 y + 1 = 0 및 x + 2 z – 1 = 0의 방정식도 제공됩니다. 직선 a에 수직인 점 M1을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.
해결책
직선 a의 방향 벡터의 좌표를 결정합시다. 이는 n → (1, 0, 2) 평면의 법선 벡터 n 1 → (3, 2, 0)과 x + 2 z -의 법선 벡터 3 x + 2 y + 1 = 0 모두에 수직입니다. 1 = 0 평면.
그런 다음 방향 벡터 α → 선 a로서 벡터 n 1 → 및 n 2 →의 벡터 곱을 취합니다.
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )
따라서 벡터 n → = (4, - 6, - 2)는 선 a에 수직인 평면의 법선 벡터가 됩니다. 평면의 필수 방정식을 적어 보겠습니다.
4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0
답변: 2 x - 3 y - z - 9 = 0
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본 자료에서는 같은 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점의 좌표를 알면 평면의 방정식을 구하는 방법을 살펴보겠습니다. 이를 위해서는 3차원 공간에서 직교좌표계가 무엇인지 기억해야 합니다. 먼저 이 방정식의 기본 원리를 소개하고 이를 사용하여 특정 문제를 해결하는 방법을 정확하게 보여 드리겠습니다.
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먼저, 우리는 다음과 같은 한 가지 원칙을 기억해야 합니다.
정의 1
세 점이 서로 일치하지 않고 같은 선 위에 있지 않으면 3차원 공간에서는 한 평면만 통과합니다.
즉, 좌표가 일치하지 않고 직선으로 연결할 수 없는 세 개의 서로 다른 점이 있으면 이를 통과하는 평면을 결정할 수 있습니다.
직사각형 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 그것을 O x y z로 표시합시다. 여기에는 좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)이 있는 세 개의 점 M이 포함되어 있으며 연결할 수 없습니다. 일직선. 이러한 조건을 바탕으로 필요한 평면의 방정식을 작성할 수 있습니다. 이 문제를 해결하는 데는 두 가지 접근 방식이 있습니다.
1. 첫 번째 접근법은 일반 평면 방정식을 사용합니다. 문자 형태로는 A(x - x 1) + B(y - y 1) + C(z - z 1) = 0으로 씁니다. 도움을 받으면 직교 좌표계에서 첫 번째 주어진 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 통과하는 특정 알파 평면을 정의할 수 있습니다. 평면 α의 법선 벡터는 좌표 A, B, C를 갖습니다.
N의 정의
법선 벡터의 좌표와 평면이 통과하는 점의 좌표를 알면 이 평면의 일반 방정식을 작성할 수 있습니다.
이것이 앞으로 우리가 진행할 일입니다.
따라서 문제의 조건에 따라 비행기가 통과하는 원하는 지점(심지어 3개)의 좌표를 갖게 됩니다. 방정식을 찾으려면 법선 벡터의 좌표를 계산해야 합니다. n → 로 표시해 봅시다.
규칙을 기억해 봅시다. 주어진 평면의 0이 아닌 벡터는 동일한 평면의 법선 벡터에 수직입니다. 그러면 n →는 원래 점 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 → 로 구성된 벡터에 수직이 될 것입니다. 그런 다음 n →를 M 1 M 2 → · M 1 M 3 → 형식의 벡터 곱으로 표시할 수 있습니다.
M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 및 M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (이러한 동등성에 대한 증거는 점 좌표에서 벡터 좌표를 계산하는 데 관한 기사에 나와 있습니다.) 그러면 다음이 밝혀집니다.
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1
행렬식을 계산하면 필요한 법선 벡터 n → 좌표를 얻을 수 있습니다. 이제 우리는 주어진 세 점을 통과하는 평면에 필요한 방정식을 작성할 수 있습니다.
2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)을 통과하는 방정식을 찾는 두 번째 접근 방식, 벡터의 동일 평면성과 같은 개념을 기반으로 합니다.
점 M (x, y, z) 세트가 있는 경우 직교 좌표계에서 주어진 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2)에 대한 평면을 정의합니다. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) 벡터 M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 및 M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1)은 동일 평면에 있습니다. .
다이어그램에서는 다음과 같이 표시됩니다.
이는 벡터 M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 →의 혼합 곱이 0과 동일함을 의미합니다. M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , 이것이 동일 평면성의 주요 조건이기 때문에: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) 및 M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).
결과 방정식을 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다.
행렬식을 계산한 후에는 동일한 직선 위에 있지 않은 세 점에 대해 필요한 평면 방정식을 얻을 수 있습니다. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .
문제의 조건에 따라 필요한 경우 결과 방정식에서 세그먼트 단위의 평면 방정식으로 이동하거나 평면의 일반 방정식으로 이동할 수 있습니다.
다음 단락에서는 우리가 지적한 접근법이 실제로 어떻게 구현되는지에 대한 예를 제시할 것입니다.
세 점을 지나는 평면의 방정식을 구성할 때의 문제 예
이전에는 원하는 방정식을 찾을 수 있는 두 가지 접근 방식을 식별했습니다. 문제를 해결하는 데 어떻게 사용되는지, 그리고 각 옵션을 언제 선택해야 하는지 살펴보겠습니다.
실시예 1
좌표가 M 1(-3, 2, - 1), M 2(-1, 2, 4), M 3(3, 3, - 1)인 동일한 선 위에 있지 않은 세 개의 점이 있습니다. 그들을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
해결책
우리는 두 가지 방법을 번갈아 사용합니다.
1. 필요한 두 벡터의 좌표를 찾습니다. M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:
M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ 남 1 남 3 → = 6 , 1 , 0
이제 벡터 곱을 계산해 보겠습니다. 행렬식의 계산은 설명하지 않습니다.
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →
세 개의 필수 점을 통과하는 평면의 법선 벡터가 있습니다: n → = (- 5, 30, 2) . 다음으로 점 중 하나(예: M 1 (- 3, 2, - 1))를 선택하고 벡터 n → = (- 5, 30, 2)를 사용하여 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0
이것은 세 점을 통과하는 평면에 필요한 방정식입니다.
2. 다른 접근 방식을 취해보자. 세 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)이 있는 평면에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. 다음 형식:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0
여기에서 문제 설명의 데이터를 대체할 수 있습니다. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1이므로, 결국 우리는 다음을 얻습니다:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73
우리는 필요한 방정식을 얻었습니다.
답변:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .
하지만 주어진 점이 여전히 같은 선 위에 있고 그에 대한 평면 방정식을 만들어야 한다면 어떻게 될까요? 여기서는 이 조건이 완전히 정확하지 않을 것이라는 점을 즉시 말해야 합니다. 무한한 수의 평면이 이러한 지점을 통과할 수 있으므로 단일 답을 계산하는 것은 불가능합니다. 그러한 질문 공식화의 부정확성을 증명하기 위해 그러한 문제를 고려해 보겠습니다.
실시예 2
우리는 3차원 공간에서 직각 좌표계를 가지고 있는데, 여기에 세 개의 점이 좌표 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1)로 배치되어 있습니다. , 1) . 그것을 통과하는 평면의 방정식을 만드는 것이 필요합니다.
해결책
첫 번째 방법을 사용하여 두 벡터 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 →의 좌표를 계산하는 것부터 시작하겠습니다. 좌표를 계산해 보겠습니다. M 1 M 2 → = (-4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.
교차곱은 다음과 같습니다.
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →이므로 벡터는 동일선상에 있습니다(이 개념의 정의를 잊어버린 경우 해당 기사를 다시 읽으십시오). 따라서 초기점 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1)은 같은 선상에 있고 우리 문제는 무한히 많습니다. 옵션 답변.
두 번째 방법을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ‚ 0
결과 동등성으로부터 주어진 점 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1)이 동일한 선에 있습니다.
무한한 옵션 중에서 이 문제에 대한 답을 하나 이상 찾으려면 다음 단계를 수행해야 합니다.
1. M 1 M 2, M 1 M 3 또는 M 2 M 3 라인의 방정식을 적습니다(필요한 경우 이 작업에 대한 자료를 참조하십시오).
2. 직선 M 1 M 2 위에 있지 않은 점 M 4 (x 4, y 4, z 4)를 선택합니다.
3. 같은 선 위에 있지 않은 세 개의 다른 점 M1, M2, M4를 지나는 평면의 방정식을 적어보세요.
텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
