강의: 사인, 코사인, 탄젠트, 임의 각도의 코탄젠트

사인, 임의 각도의 코사인

삼각 함수가 무엇인지 이해하기 위해 단위 반지름이 있는 원을 살펴보겠습니다. 이 원은 좌표평면의 원점에 중심을 가지고 있습니다. 주어진 함수를 결정하기 위해 반경 벡터를 사용합니다. 또는, 원의 중심에서 시작하는 점, 아르 자형원 위의 점입니다. 이 반경 벡터는 축과 각도 알파를 형성합니다. 오. 원의 반지름은 1이므로 또는 = R = 1.

점부터라면 아르 자형축에 수직을 낮추다 오, 빗변이 1인 직각삼각형을 얻습니다.

반경 벡터가 시계 방향으로 이동하면 이 방향을 호출합니다. 부정적인, 시계 반대 방향으로 움직이는 경우 - 긍정적인.

각도의 사인 또는, 는 점의 세로좌표이다 아르 자형원의 벡터입니다.

즉, 주어진 각도 알파의 사인값을 얻으려면 좌표를 결정해야 합니다. 유표면에.

이 값은 어떻게 얻었습니까? 직각 삼각형의 임의 각도의 사인은 반대쪽 다리와 빗변의 비율이라는 것을 알고 있으므로 다음을 얻습니다.

이후 R=1, 저것 죄(α) = y 0 .

단위원에서 세로좌표 값은 -1보다 작을 수 없고 1보다 클 수 없습니다.

사인은 단위원의 1/4과 2/4에서는 양의 값을 취하고, 3/4에서는 음의 값을 갖습니다.

각도의 코사인반지름 벡터로 형성된 주어진 원 또는, 는 점의 가로좌표입니다 아르 자형원의 벡터입니다.

즉, 주어진 각도 알파의 코사인 값을 얻으려면 좌표를 결정해야 합니다. 엑스표면에.

직각 삼각형의 임의 각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

이후 R=1, 저것 cos(α) = x 0 .

단위원에서 가로좌표 값은 -1보다 작고 1보다 클 수 없습니다.

코사인은 단위원의 첫 번째와 네 번째 분기에서는 양수 값을 취하고 두 번째와 세 번째 분기에서는 음수를 갖습니다.

접선임의의 각도사인 대 코사인의 비율이 계산됩니다.

직각 삼각형을 고려하면 이것은 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다. 단위원에 대해 이야기하는 경우 이는 세로 좌표와 가로 좌표의 비율입니다.

이러한 관계로 판단하면 가로좌표 값이 0, 즉 90도 각도에서는 접선이 존재할 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 탄젠트는 다른 모든 값을 취할 수 있습니다.

접선은 단위원의 첫 번째와 세 번째 분기에서는 양수이고 두 번째와 네 번째 분기에서는 음수입니다.

사인(), 코사인(), 탄젠트(), 코탄젠트()의 개념은 각도의 개념과 불가분의 관계가 있습니다. 언뜻보기에 이러한 복잡한 개념 (많은 학생들에게 공포 상태를 유발하는)을 잘 이해하고 "악마가 그려진 것만 큼 끔찍하지 않음"을 확인하기 위해 다음부터 시작하겠습니다. 각도의 개념을 이해하고 시작해보세요.

각도 개념: 라디안, 도

사진을 보자. 벡터는 점을 기준으로 일정량만큼 "회전"했습니다. 따라서 초기 위치에 대한 회전의 측정값은 다음과 같습니다. 모서리.

각도의 개념에 대해 또 무엇을 알아야 합니까? 물론, 각도 단위입니다!

기하학과 삼각법 모두에서 각도는 도와 라디안으로 측정할 수 있습니다.

각도(1도)는 원의 일부와 동일한 원호에 해당하는 원의 중심 각도입니다. 따라서 전체 원은 원호의 "조각"으로 구성됩니다. 즉 원이 나타내는 각도는 동일합니다.

즉, 위 그림은 다음과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 원주 크기의 원호에 있습니다.

라디안 단위의 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호에 대응되는 원의 중심각입니다. 글쎄, 알아냈어? 그렇지 않다면 그림에서 알아 봅시다.

따라서 그림은 라디안과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 길이가 원의 반경과 같은 원호에 있습니다 (길이는 길이와 같거나 반경은 호의 길이). 따라서 호 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.

라디안 단위의 중심각은 어디에 있습니까?

글쎄, 이것을 알면 원이 나타내는 각도에 몇 라디안이 포함되는지 답할 수 있습니까? 예, 이를 위해서는 원주 공식을 기억해야 합니다. 여기 그녀가 있습니다:

자, 이제 이 두 공식을 연관시키고 원이 나타내는 각도가 같다는 것을 알아봅시다. 즉, 도와 라디안 값을 연관시켜서 알 수 있습니다. 각각 . 보시다시피, "도"와 달리 "라디안"이라는 단어는 생략됩니다. 왜냐하면 일반적으로 측정 단위가 문맥에서 명확하기 때문입니다.

몇 라디안이 있나요? 좋아요!

알았어요? 그런 다음 계속해서 수정하세요.

어려움이 있나요? 그럼 봐 답변:

직각 삼각형: 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트

그래서 우리는 각도의 개념을 알아냈습니다. 그런데 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 무엇일까요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해서는 직각삼각형이 도움이 될 것입니다.

직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 이것이 변입니다). 다리는 나머지 두 변(직각에 인접한 것)이며, 각도를 기준으로 다리를 고려하면 다리는 인접한 다리이고 다리는 반대쪽입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.

각도의 사인- 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 코사인- 빗변에 대한 인접한 (닫힌) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 탄젠트- 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 코탄젠트- 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

코사인→터치→터치→인접;

코탄젠트→터치→터치→인접.

우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.

예를 들어 각도의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형에서: 이지만 삼각형에서 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다: . 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.

정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!

아래 그림에 표시된 삼각형에 대해 우리는 찾습니다.

글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도에 대해서도 동일하게 계산하십시오.

단위(삼각) 원

각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 다음과 같은 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원의 반지름은 1과 같고 원의 중심은 좌표 원점에 있고 반지름 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름입니다).

원의 각 점은 축 ​​좌표와 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형을 생각해 보세요. 축에 수직이므로 직사각형입니다.

삼각형은 무엇과 같나요? 좋아요. 또한, 우리는 이것이 단위원의 반지름이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.

삼각형은 무엇과 같나요? 물론이죠! 이 공식에 반경 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

그러면 원에 속한 점이 어떤 좌표를 가지고 있는지 알 수 있나요? 글쎄요? 그것을 깨닫고 단지 숫자일 뿐이라면 어떨까요? 어느 좌표에 해당합니까? 물론 좌표도요! 그리고 그것은 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표! 따라서 기간.

그렇다면 과 는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.

각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:

이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각 삼각형을 생각해 보세요: 각도(각에 인접한 각도). 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 무엇입니까? 그렇습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 준수합니다.

보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 ​​좌표와 일치합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.

반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 - 부정적인.

따라서 우리는 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전이 or라는 것을 알고 있습니다. 반경 벡터를 회전할 수 있나요? 물론 가능합니다! 따라서 첫 번째 경우에는 반경 벡터가 완전히 한 바퀴 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.

두 번째 경우, 즉 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.

따라서 위의 예에서 우리는 또는 (여기서 정수는 어디입니까)만큼 다른 각도가 반경 벡터의 동일한 위치에 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

아래 그림은 각도를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리 등에 해당합니다. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식 또는 (정수는 어디에 있습니까)로 쓸 수 있습니다

이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.

여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:

어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.

여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 음, 순서대로 시작하겠습니다. 각도는 좌표가 있는 점에 해당하므로 다음과 같습니다.

존재하지 않는다;

또한 동일한 논리를 사용하여 모서리가 각각 좌표가 있는 점에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.

답변:

존재하지 않는다

존재하지 않는다

존재하지 않는다

존재하지 않는다

따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.

이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.

그러나 아래 표에 주어진 각도의 삼각 함수 값은, 기억해야 한다:

겁내지 마세요. 이제 한 가지 예를 보여드리겠습니다. 해당 값을 기억하는 것은 매우 간단합니다.:

이 방법을 사용하려면 각도()의 세 가지 측정값 모두에 대한 사인 값과 각도의 탄젠트 값을 기억하는 것이 중요합니다. 이 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,

이를 알면 값을 복원할 수 있습니다. 분자 " "가 일치하고 분모 " "가 일치합니다. 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표의 모든 값을 기억하는 것으로 충분할 것입니다.

원 위의 한 점의 좌표

원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 원의 중심 좌표, 반경 및 회전 각도를 아는 것?

물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 점의 좌표를 찾는 일반 공식.

예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.

점이 원의 중심이라는 것을 알 수 있습니다. 원의 반지름은 같습니다. 점을 각도만큼 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

그림에서 볼 수 있듯이 점의 좌표는 세그먼트의 길이에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표에 해당합니다. 즉, 동일합니다. 세그먼트의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.

그런 다음 점 좌표에 대한 정보를 얻습니다.

동일한 논리를 사용하여 점의 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,

따라서 일반적으로 점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

원의 중심 좌표,

원 반경,

벡터 반경의 회전 각도입니다.

보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.

자, 원에서 점 찾기를 연습하면서 이 공식들을 시험해 볼까요?

1. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

2. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

3. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

4. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

5. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

원 위의 한 점의 좌표를 찾는 데 문제가 있습니까?

다음 다섯 가지 예를 풀면(또는 잘 풀 수 있게 되면) 그 예를 찾는 방법을 배우게 될 것입니다!

1.

당신은 그것을 알 수 있습니다. 그러나 우리는 출발점의 완전한 혁명에 해당하는 것이 무엇인지 알고 있습니다. 따라서 원하는 지점은 회전할 때와 동일한 위치에 있게 됩니다. 이를 알면 필요한 점 좌표를 찾습니다.

2. 단위원은 한 점을 중심으로 하며 이는 단순화된 공식을 사용할 수 있음을 의미합니다.

당신은 그것을 알 수 있습니다. 우리는 출발점에서 두 번의 완전한 회전에 해당하는 것이 무엇인지 알고 있습니다. 따라서 원하는 지점은 회전할 때와 동일한 위치에 있게 됩니다. 이를 알면 필요한 점 좌표를 찾습니다.

사인과 코사인은 테이블 값입니다. 우리는 그 의미를 기억하고 다음을 얻습니다.

따라서 원하는 지점에는 좌표가 있습니다.

3. 단위원은 한 점을 중심으로 하며 이는 단순화된 공식을 사용할 수 있음을 의미합니다.

당신은 그것을 알 수 있습니다. 그림에서 문제의 예를 묘사해 보겠습니다.

반경은 축과 동일한 각도를 만듭니다. 코사인과 사인의 테이블 값이 동일하다는 것을 알고 여기에서 코사인이 음수 값을 취하고 사인이 양수 값을 취한다고 판단하면 다음을 얻을 수 있습니다.

이러한 예는 해당 주제에서 삼각 함수를 줄이기 위한 공식을 연구할 때 더 자세히 논의됩니다.

따라서 원하는 지점에는 좌표가 있습니다.

4.

벡터 반경의 회전 각도 (조건별)

사인과 코사인의 해당 부호를 결정하기 위해 단위원과 각도를 구성합니다.

보시다시피 값, 즉 양수이고 값, 즉 음수입니다. 해당 삼각 함수의 표 값을 알면 다음을 얻을 수 있습니다.

얻은 값을 공식에 ​​대입하고 좌표를 찾아 보겠습니다.

따라서 원하는 지점에는 좌표가 있습니다.

5. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 일반적인 형태의 공식을 사용합니다.

원 중심의 좌표(이 예에서는

원 반경(조건별)

벡터 반경의 회전 각도(조건별)

모든 값을 공식에 ​​대입하고 다음을 얻습니다.

및 - 테이블 값. 이를 기억하고 공식에 대입해 보겠습니다.

따라서 원하는 지점에는 좌표가 있습니다.

요약 및 기본 공식

각도의 사인은 반대쪽(먼 쪽) 다리와 빗변의 비율입니다.

각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.

각도의 탄젠트는 반대쪽(먼 쪽)과 인접한(가까운) 쪽의 비율입니다.

각도의 코탄젠트는 인접한(가까운) 변과 반대(먼) 변의 비율입니다.

평균 수준

정삼각형. 완전한 일러스트 가이드 (2019)

정삼각형. 첫 번째 레벨.

문제에서는 직각이 전혀 필요하지 않습니다. 왼쪽 아래이므로이 형식의 직각 삼각형을 인식하는 방법을 배워야합니다.

그리고 이것에

그리고 이것에

직각삼각형의 좋은 점은 무엇입니까? 음... 첫째, 측면에는 특별한 아름다운 이름이 있습니다.

그림에 주목하세요!

기억하고 혼동하지 마십시오: 다리는 2개이고 빗변은 1개뿐입니다(유일무이하고 독특하며 가장 길다)!

글쎄, 우리는 이름에 대해 논의했고 이제 가장 중요한 것은 피타고라스 정리입니다.

피타고라스의 정리.

이 정리는 직각삼각형과 관련된 많은 문제를 해결하는 열쇠입니다. 그것은 아주 먼 옛날에 피타고라스에 의해 증명되었고, 그 이후로 그것을 아는 사람들에게 많은 유익을 가져왔습니다. 그리고 가장 좋은 점은 간단하다는 것입니다.

그래서, 피타고라스의 정리:

"피타고라스 바지는 모든 면에서 동일합니다!"라는 농담을 기억하시나요?

이 동일한 피타고라스 바지를 그리고 살펴보겠습니다.

뭔가 반바지 같지 않나요? 글쎄, 어느 쪽과 어디에서 평등합니까? 그 농담은 왜, 어디서 나온 걸까요? 그리고 이 농담은 정확하게 피타고라스의 정리, 더 정확하게는 피타고라스 자신이 자신의 정리를 공식화한 방식과 연결되어 있습니다. 그리고 그는 그것을 다음과 같이 공식화했습니다.

"합집합 정사각형의 면적, 다리에 내장되어 있으며 다음과 같습니다. 평방 면적, 빗변 위에 세워졌습니다."

정말 조금 다르게 들리나요? 그래서 피타고라스가 자신의 정리를 그렸을 때 나온 그림은 바로 이것이었습니다.

이 그림에서 작은 정사각형의 넓이의 합은 큰 정사각형의 넓이와 같습니다. 그리고 아이들이 다리의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 것을 더 잘 기억할 수 있도록 재치 있는 누군가가 피타고라스 바지에 대한 농담을 생각해 냈습니다.

왜 우리는 지금 피타고라스 정리를 공식화하고 있습니까?

피타고라스는 고통을 겪고 사각형에 대해 이야기 했습니까?

아시다시피, 고대에는... 대수학이 없었습니다! 표지판 등이 없었습니다. 비문이 없었습니다. 가난한 고대 학생들이 모든 것을 말로 기억한다는 것이 얼마나 끔찍했는지 상상이 됩니까?? 그리고 우리는 피타고라스 정리의 간단한 공식을 갖게 되어 기뻐할 수 있습니다. 더 잘 기억할 수 있도록 다시 반복해 보겠습니다.

이제 쉬워질 것입니다:

빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

글쎄, 직각삼각형에 관한 가장 중요한 정리가 논의되었습니다. 그것이 어떻게 증명되는지에 관심이 있다면 다음 수준의 이론을 읽고 이제 더 나아가... 삼각법의 어두운 숲 속으로 들어가 봅시다! 끔찍한 단어 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트.

직각 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트.

사실 모든 것이 전혀 무섭지 않습니다. 물론 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 "실제" 정의는 기사에서 살펴봐야 합니다. 하지만 난 정말 그러고 싶지 않죠? 우리는 기뻐할 수 있습니다. 직각 삼각형에 관한 문제를 해결하려면 다음과 같은 간단한 사항을 간단히 채울 수 있습니다.

왜 모든 것이 모퉁이 근처에 있습니까? 코너는 어디에 있나요? 이를 이해하려면 1~4번 진술이 단어로 어떻게 작성되었는지 알아야 합니다. 보고, 이해하고, 기억하세요!

1.
실제로 다음과 같이 들립니다.

각도는 어떻습니까? 모퉁이 반대편에 있는 다리, 즉 반대쪽(각도의 경우) 다리가 있습니까? 물론 있습니다! 이건 다리야!

각도는 어떻습니까? 주의 깊게 봐. 모퉁이에 인접한 다리는 어느 것입니까? 물론, 다리. 이는 각도에 대해 다리가 인접해 있음을 의미합니다.

이제 주목하세요! 우리가 얻은 것을 보세요:

얼마나 멋진지 확인해보세요:

이제 탄젠트와 코탄젠트로 넘어가겠습니다.

이제 이것을 어떻게 말로 표현할 수 있습니까? 각도와 관련하여 다리는 무엇입니까? 물론 반대입니다. 모퉁이 반대편에 "있습니다". 다리는 어떻습니까? 코너에 인접해 있습니다. 그래서 우리는 무엇을 얻었습니까?

분자와 분모의 위치가 어떻게 바뀌었는지 확인하세요.

그리고 이제 다시 모퉁이를 돌아 교환을 했습니다.

요약

우리가 배운 모든 것을 간략하게 적어 보겠습니다.

피타고라스의 정리:

직각삼각형에 관한 주요 정리는 피타고라스의 정리입니다.

피타고라스의 정리

그런데 다리와 빗변이 무엇인지 잘 기억하시나요? 별로 좋지 않다면 사진을 보세요 - 지식을 새롭게 해보세요

당신은 이미 피타고라스의 정리를 여러 번 사용했을 가능성이 매우 높지만, 그러한 정리가 왜 사실인지 궁금한 적이 있습니까? 어떻게 증명할 수 있나요? 고대 그리스인처럼 해보자. 한 변이 있는 정사각형을 그려 봅시다.

우리가 측면을 길이로 얼마나 영리하게 나누었는지 보세요!

이제 표시된 점들을 연결해보자

그러나 여기서 우리는 다른 것을 언급했지만 당신은 그림을보고 이것이 왜 그런지 생각합니다.

더 큰 정사각형의 면적은 얼마입니까? 오른쪽, . 더 작은 면적은 어떻습니까? 틀림없이, . 네 모서리의 전체 면적이 남습니다. 우리가 그것들을 한 번에 두 개씩 가져다가 빗변으로 서로 기대어 놓았다고 상상해 보십시오. 무슨 일이에요? 두 개의 직사각형. 이는 "컷"의 면적이 동일하다는 것을 의미합니다.

이제 모든 것을 하나로 묶어 보겠습니다.

변환해보자:

그래서 우리는 피타고라스를 방문했습니다. 우리는 고대 방식으로 그의 정리를 증명했습니다.

직각삼각형과 삼각법

직각 삼각형의 경우 다음 관계가 성립합니다.

예각의 사인은 대변과 빗변의 비율과 같습니다

예각의 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율과 같습니다.

예각의 접선은 인접 변에 대한 반대 변의 비율과 같습니다.

예각의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽의 비율과 같습니다.

그리고 다시 한 번 이 모든 것이 태블릿 형태로 제공됩니다.

매우 편안합니다!

직각 삼각형의 평등 신호

I. 양면에

II. 다리와 빗변으로

III. 빗변과 예각에 의한

IV. 다리를 따라 예각

ㅏ)

비)

주목! 여기서 다리가 "적절"하다는 것이 매우 중요합니다. 예를 들어 다음과 같이 진행된다면:

그러면 삼각형은 같지 않습니다, 동일한 예각이 하나 있음에도 불구하고.

필요하다 두 삼각형 모두 다리가 인접해 있거나 둘 다 반대쪽이었습니다.

직각삼각형의 등호가 일반적인 삼각형의 등호와 어떻게 다른지 보셨나요? "일반" 삼각형이 동일하려면 해당 요소 중 3개가 동일해야 한다는 주제인 "두 변과 그 사이의 각도, 두 각도와 그 사이의 변, 또는 세 변"이라는 주제를 살펴보세요. 그러나 직각 삼각형의 동일성을 위해서는 두 개의 해당 요소만으로 충분합니다. 좋아요, 그렇죠?

상황은 직각 삼각형의 유사성 징후와 거의 동일합니다.

직각 삼각형의 유사성 징후

I. 예각을 따라

II. 양면에

III. 다리와 빗변으로

직각 삼각형의 중앙값

왜 그럴까요?

직각 삼각형 대신 전체 직사각형을 고려하십시오.

대각선을 그리고 대각선의 교차점인 점을 생각해 봅시다. 직사각형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있나요?

그리고 이것으로부터 무엇이 나오나요?

그래서 그것은 밝혀졌습니다

1. - 중앙값:

이 사실을 기억하세요! 많은 도움이 됩니다!

더욱 놀라운 것은 그 반대도 사실이라는 것이다.

빗변에 그려진 중앙값이 빗변의 절반과 같다는 사실에서 어떤 이점을 얻을 수 있습니까? 사진을 보자

주의 깊게 봐. 즉, 점에서 삼각형의 세 꼭지점까지의 거리가 동일한 것으로 나타났습니다. 그러나 삼각형에는 삼각형의 세 꼭지점으로부터의 거리가 모두 같은 점은 단 하나이며 이것이 원의 중심입니다. 그래서 무슨 일이 일어났나요?

그럼 이 "게다가..."부터 시작하겠습니다.

과를 살펴보겠습니다.

하지만 닮음삼각형은 모두 같은 각을 가지고 있어요!

에 대해서도 같은 말을 할 수 있습니다

이제 함께 그려 봅시다.

이 "삼중" 유사성에서 어떤 이점을 얻을 수 있습니까?

예를 들면 - 직각 삼각형의 높이에 대한 두 가지 공식.

해당 당사자의 관계를 적어 보겠습니다.

높이를 구하기 위해 비율을 풀어서 다음을 얻습니다. 첫 번째 공식 "직각 삼각형의 높이":

따라서 유사성을 적용해 보겠습니다.

이제 무슨 일이 일어날까요?

다시 우리는 비율을 풀고 두 번째 공식을 얻습니다.

이 두 가지 공식을 모두 잘 기억하고 더 편리한 공식을 사용해야 합니다. 다시 적어보자

피타고라스의 정리:

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

직각 삼각형의 평등 신호:

• 양측에:
• 다리와 빗변으로: 또는
• 다리와 인접한 예각을 따라: 또는
• 다리와 반대쪽 예각을 따라: 또는
• 빗변과 예각에 따라: 또는.

직각 삼각형의 유사성 징후:

• 한쪽 예각: 또는
• 두 다리의 비례로부터:
• 다리와 빗변의 비례로부터: 또는.

직각삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트

• 직각 삼각형의 예각의 사인은 대변과 빗변의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 변과 반대 변의 비율입니다.

직각 삼각형의 높이: 또는.

직각 삼각형에서 직각의 꼭지점에서 그린 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다.

직각삼각형의 면적:

• 다리를 통해:

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념은 수학의 한 분야인 삼각법의 주요 범주이며 각도의 정의와 불가분하게 연결되어 있습니다. 이 수학적 과학을 숙달하려면 공식과 정리를 암기하고 이해하는 것뿐만 아니라 공간적 사고도 발달해야 합니다. 이것이 삼각법 계산이 종종 학생과 학생에게 어려움을 초래하는 이유입니다. 이를 극복하려면 삼각함수와 공식에 좀 더 익숙해져야 합니다.

삼각법의 개념

삼각법의 기본 개념을 이해하려면 먼저 직각삼각형과 원의 각이 무엇인지, 그리고 모든 기본 삼각법 계산이 왜 이들과 연관되어 있는지 이해해야 합니다. 한 각의 크기가 90도인 삼각형은 직사각형입니다. 역사적으로 이 수치는 건축, 항해, 예술, 천문학 분야의 사람들이 자주 사용했습니다. 따라서 사람들은 이 그림의 특성을 연구하고 분석하여 해당 매개변수의 해당 비율을 계산하게 되었습니다.

직각 삼각형과 관련된 주요 범주는 빗변과 다리입니다. 빗변은 직각 반대편에 있는 삼각형의 변입니다. 다리는 각각 다른 두면입니다. 모든 삼각형의 내각의 합은 항상 180도입니다.

구면삼각법(Spherical trigonometry)은 학교에서는 공부하지 않지만 천문학, 측지학과 같은 응용과학에서는 과학자들이 사용하는 삼각법의 한 분야이다. 구면삼각법에서 삼각형의 특징은 각의 합이 항상 180도보다 크다는 것입니다.

삼각형의 각도

직각 삼각형에서 각도의 사인은 원하는 각도 반대쪽 다리와 삼각형의 빗변의 비율입니다. 따라서 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다. 빗변이 항상 다리보다 길기 때문에 이 두 값 모두 항상 1보다 작은 크기를 갖습니다.

각도의 탄젠트는 원하는 각도의 반대쪽과 인접한 쪽의 비율, 즉 사인 대 코사인의 비율과 같은 값입니다. 코탄젠트는 원하는 각도의 인접면과 반대면의 비율입니다. 각도의 코탄젠트 값은 각도를 탄젠트 값으로 나누어 구할 수도 있습니다.

단위원

기하학에서 단위원은 반지름이 1인 원입니다. 이러한 원은 원점과 원의 중심이 일치하는 데카르트 좌표계로 구성되며, 반경 벡터의 초기 위치는 X축(가로축)의 양의 방향을 따라 결정됩니다. 원의 각 점에는 XX와 YY라는 두 개의 좌표, 즉 가로 좌표와 세로 좌표가 있습니다. XX 평면의 원에서 임의의 점을 선택하고 그 점에서 가로축에 수직을 놓으면 선택한 점(문자 C로 표시)까지의 반경으로 형성된 직각 삼각형을 얻습니다. (교차점은 문자 G로 표시됨) 원점(점은 문자 A로 지정됨)과 교차점 G 사이의 가로축을 분할합니다. 결과 삼각형 ACG는 원에 내접하는 직각삼각형이며, 여기서 AG는 빗변이고 AC와 GC는 다리입니다. 원 AC의 반경과 AG로 표시된 가로축 세그먼트 사이의 각도는 α(알파)로 정의됩니다. 따라서 cos α = AG/AC입니다. AC가 단위원의 반지름이고 1과 같다는 점을 고려하면 cosα=AG임을 알 수 있다. 마찬가지로, sinα=CG입니다.

또한, 이 데이터를 알면 cos α=AG이고 sin α=CG이므로 원 위의 점 C의 좌표를 결정할 수 있습니다. 이는 점 C가 주어진 좌표(cos α;sin α)를 가짐을 의미합니다. 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율과 동일하다는 것을 알면 tan α = y/x, cot α = x/y를 결정할 수 있습니다. 음의 좌표계에서 각도를 고려하면 일부 각도의 사인 및 코사인 값이 음수가 될 수 있음을 계산할 수 있습니다.

계산 및 기본 공식

삼각 함수 값

단위원을 통해 삼각 함수의 본질을 고려한 후 일부 각도에 대한 이러한 함수의 값을 도출할 수 있습니다. 값은 아래 표에 나열되어 있습니다.

가장 간단한 삼각법 항등식

삼각 함수의 부호 아래에 알 수 없는 값이 있는 방정식을 삼각 함수라고 합니다. sin x = α, k - 임의의 정수 값을 갖는 항등식:

1. 사인 x = 0, x = πk.
2. 2. 사인 x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. 사인 x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. 죄 x = a, |a| > 1, 해결책이 없습니다.
5. 죄 x = a, |a| DF 1, x = (-1)^k * 아크사인 α + πk.

값이 cos x = a인 항등식(여기서 k는 정수임):

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. 왜냐하면 x = a, |a| > 1, 해결책이 없습니다.
5. 왜냐하면 x = a, |a| 1, x = ±arccos α + 2πk.

값이 tg x = a인 항등식. 여기서 k는 임의의 정수입니다.

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = 아크탄 α + πk.

값이 ctg x = a인 ID(여기서 k는 정수임):

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

감소 공식

이 상수 공식 범주는 형식의 삼각 함수에서 인수 함수로 이동할 수 있는 방법을 나타냅니다. 즉, 모든 값의 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 각도의 해당 표시기로 줄일 수 있습니다. 계산의 편의를 위해 0도에서 90도까지의 간격을 두었습니다.

각도의 사인에 대한 함수를 줄이는 공식은 다음과 같습니다.

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• 죄(1800 - α) = 죄 α;
• 죄(1800 + α) = -죄 α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• 죄(3600 + α) = 죄 α.

각도의 코사인의 경우:

• cos(900 - α) = 사인 α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = 사인 α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

위 공식의 사용은 두 가지 규칙에 따라 가능합니다. 첫째, 각도를 (π/2 ± a) 또는 (3π/2 ± a) 값으로 표현할 수 있으면 함수 값이 다음과 같이 변경됩니다.

• 죄에서 코스로;
• 코스에서 죄로;
• tg에서 ctg로;
• ctg에서 tg로.

각도가 (π ± a) 또는 (2π ± a)로 표시될 수 있으면 함수 값은 변경되지 않습니다.

둘째, 감소된 기능의 부호는 변하지 않습니다. 처음에 양수였다면 그대로 유지됩니다. 부정적인 기능과 동일합니다.

덧셈 공식

이 공식은 삼각 함수를 통해 두 회전 각도의 합과 차이의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 표현합니다. 일반적으로 각도는 α와 β로 표시됩니다.

수식은 다음과 같습니다.

1. 죄(α ± β) = 죄 α * cos β ± cos α * 죄.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

이 공식은 모든 각도 α 및 β에 유효합니다.

이중 및 삼중 각도 공식

이중 및 삼중각 삼각함수 공식은 각도 2α와 3α의 함수를 각각 각도 α의 삼각함수와 연관시키는 공식입니다. 덧셈 공식에서 파생됨:

1. 죄2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. 죄3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

합계에서 곱으로의 전환

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)를 고려하여 이 공식을 단순화하면 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2라는 항등식을 얻습니다. 마찬가지로 sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

제품에서 합계로 전환

이 공식은 합계가 곱으로 전환되는 ID를 따릅니다.

• 죄α * 죄β = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

학위 감소 공식

이러한 항등식에서 사인과 코사인의 제곱과 3차 거듭제곱은 다중 각도의 1차 거듭제곱인 사인과 코사인으로 표현될 수 있습니다.

• 죄^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• 죄^3 α = (3 * 죄α - 죄3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

보편적인 대체

범용 삼각법 대체 공식은 반각의 탄젠트 측면에서 삼각 함수를 표현합니다.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn입니다.

특수한 상황들

가장 간단한 삼각 방정식의 특별한 경우가 아래에 나와 있습니다(k는 임의의 정수입니다).

사인의 몫:

죄 x 값	x 값
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk 또는 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk 또는 -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk 또는 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk 또는 -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk 또는 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk 또는 -2π/3 + 2πk

코사인의 몫:

cos x 값	x 값
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

탄젠트의 몫:

tg x 값	x 값
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

코탄젠트의 몫:

CTG x 값	x 값
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

정리

사인의 정리

정리에는 단순 버전과 확장 버전의 두 가지 버전이 있습니다. 단순 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. 이 경우, a, b, c는 삼각형의 변이고, α, β, γ는 각각 반대각이다.

임의의 삼각형에 대한 확장 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. 이 항등식에서 R은 주어진 삼각형이 내접하는 원의 반지름을 나타냅니다.

코사인 정리

항등식은 다음과 같이 표시됩니다: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. 공식에서 a, b, c는 삼각형의 변이고 α는 변 a에 반대되는 각도입니다.

탄젠트 정리

이 공식은 두 각도의 접선과 그 반대쪽 변의 길이 사이의 관계를 표현합니다. 측면에는 a, b, c로 표시되어 있으며 해당 반대 각도는 α, β, γ입니다. 탄젠트 정리의 공식: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

코탄젠트 정리

삼각형에 내접하는 원의 반지름과 변의 길이를 연결합니다. a, b, c가 삼각형의 변이고 A, B, C가 각각 마주보는 각도라면, r은 내접원의 반지름, p는 삼각형의 반주변이므로 다음과 같습니다. 신원은 유효합니다:

• cot A/2 = (p-a)/r;
• 침대 B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r.

애플리케이션

삼각법은 수학 공식과 관련된 이론 과학일 뿐만이 아닙니다. 그 속성, 정리 및 규칙은 천문학, 항공 및 해상 항법, 음악 이론, 측지학, 화학, 음향학, 광학, 전자, 건축, 경제, 기계 공학, 측정 작업, 컴퓨터 그래픽 등 인간 활동의 다양한 분야에서 실제로 사용됩니다. 지도 제작, 해양학 및 기타 여러 가지.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 삼각법의 기본 개념으로, 이를 사용하여 삼각형의 각도와 변의 길이 사이의 관계를 수학적으로 표현하고 항등식, 정리 및 규칙을 통해 필요한 수량을 찾을 수 있습니다.

학생들이 가장 어려워하는 수학 분야 중 하나는 삼각법입니다. 이는 놀라운 일이 아닙니다. 이 지식 영역을 자유롭게 익히려면 공간적 사고, 공식을 사용하여 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾는 능력, 표현을 단순화하고 숫자 pi를 사용할 수 있는 능력이 필요합니다. 계산. 또한 정리를 증명할 때 삼각법을 사용할 수 있어야 하며 이를 위해서는 개발된 수학적 기억이나 복잡한 논리 체인을 도출하는 능력이 필요합니다.

삼각법의 기원

이 과학에 익숙해지기 위해서는 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의부터 시작해야 하지만 먼저 삼각법이 일반적으로 수행하는 작업을 이해해야 합니다.

역사적으로 이 수리과학 분야의 주요 연구 대상은 직각삼각형이었습니다. 90도 각도가 있으면 두 변과 한 각도 또는 두 각도와 한 변을 사용하여 문제의 그림의 모든 매개 변수 값을 결정할 수 있는 다양한 작업을 수행할 수 있습니다. 과거에 사람들은 이 패턴을 발견하고 건물 건설, 항해, 천문학, 심지어 예술 분야에서도 적극적으로 사용하기 시작했습니다.

첫 단계

처음에 사람들은 직각삼각형의 예만을 사용하여 각도와 변의 관계에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 이 수학 분야의 일상 생활에서 사용 범위를 확장할 수 있는 특별한 공식이 발견되었습니다.

오늘날 학교에서의 삼각법 연구는 직각삼각형으로 시작되며, 그 후 학생들은 고등학교 때부터 습득한 물리학 지식과 추상 삼각법 방정식 풀이를 사용합니다.

구형 삼각법

나중에 과학이 다음 단계의 발전에 도달했을 때 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 공식이 구면 기하학에 사용되기 시작했습니다. 여기서는 다른 규칙이 적용되고 삼각형 각도의 합은 항상 180도 이상입니다. 이 섹션은 학교에서 공부하지 않지만 적어도 지구 표면과 다른 행성의 표면이 볼록하기 때문에 그 존재에 대해 알아야 합니다. 3차원 공간.

지구본과 실을 가져 가세요. 실이 팽팽해지도록 지구본의 두 지점에 실을 연결합니다. 참고하세요 - 호 모양을 취했습니다. 구형 기하학은 측지학, 천문학 및 기타 이론 및 응용 분야에서 사용되는 이러한 형태를 다룹니다.

정삼각형

삼각법을 사용하는 방법에 대해 조금 배웠으므로 사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지, 도움을 받아 수행할 수 있는 계산 및 사용할 수식을 더 자세히 이해하기 위해 기본 삼각법으로 돌아가겠습니다.

첫 번째 단계는 직각삼각형과 관련된 개념을 이해하는 것입니다. 첫째, 빗변은 90도 각도의 반대편입니다. 가장 길다. 피타고라스 정리에 따르면 그 수치는 다른 두 변의 제곱합의 루트와 같다는 것을 기억합니다.

예를 들어 두 변의 길이가 각각 3센티미터와 4센티미터라면 빗변의 길이는 5센티미터가 됩니다. 그건 그렇고, 고대 이집트인들은 약 4500년 전에 이것에 대해 알고 있었습니다.

직각을 이루는 나머지 두 변을 다리라고 합니다. 또한 직교 좌표계에서 삼각형 각도의 합은 180도라는 것을 기억해야 합니다.

정의

마지막으로 기하학적 기초에 대한 확실한 이해를 통해 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의를 살펴볼 수 있습니다.

각도의 사인은 반대쪽 다리(즉, 원하는 각도의 반대쪽)와 빗변의 비율입니다. 각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한 변의 비율입니다.

사인이나 코사인은 1보다 클 수 없다는 점을 기억하세요! 왜? 빗변은 기본적으로 가장 길기 때문에 다리의 길이에 관계없이 빗변보다 짧으므로 비율은 항상 1보다 작습니다. 따라서 문제에 대한 답에서 1보다 큰 값을 갖는 사인 또는 코사인을 얻으면 계산이나 추론에서 오류를 찾으십시오. 이 답변은 분명히 잘못된 것입니다.

마지막으로, 각도의 탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다. 사인을 코사인으로 나누면 같은 결과가 나옵니다. 보세요: 공식에 따라 변의 길이를 빗변으로 나눈 다음 두 번째 변의 길이로 나누고 빗변을 곱합니다. 따라서 우리는 접선의 정의와 동일한 관계를 얻습니다.

따라서 코탄젠트는 모서리에 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. 하나를 접선으로 나누어도 동일한 결과를 얻습니다.

이제 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 정의를 살펴보고 공식으로 넘어갈 수 있습니다.

가장 간단한 공식

삼각법에서는 공식 없이는 할 수 없습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾는 방법은 무엇입니까? 그러나 이것이 바로 문제를 해결할 때 필요한 것입니다.

삼각법을 공부하기 시작할 때 알아야 할 첫 번째 공식은 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합이 1과 같다는 것입니다. 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 결과이지만, 변의 크기가 아닌 각도의 크기를 알아야 할 경우 시간이 절약됩니다.

많은 학생들은 학교 문제를 해결할 때 매우 인기 있는 두 번째 공식을 기억하지 못합니다. 1과 각도 탄젠트의 제곱의 합은 1을 각도의 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다. 자세히 살펴보십시오. 이것은 첫 번째 공식과 동일한 진술입니다. 항등식의 양쪽만 코사인의 제곱으로 나누어졌습니다. 간단한 수학적 연산으로 인해 삼각함수 공식을 완전히 인식할 수 없게 되는 것으로 나타났습니다. 기억하십시오: 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지, 변환 규칙 및 몇 가지 기본 공식을 알면 언제든지 종이에 필요한 더 복잡한 공식을 도출할 수 있습니다.

이중 각도 및 인수 추가에 대한 공식

배워야 할 두 가지 공식은 각도의 합과 차이에 대한 사인 및 코사인 값과 관련이 있습니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 첫 번째 경우에는 사인과 코사인이 두 번 곱해지고, 두 번째 경우에는 사인과 코사인의 쌍별 곱이 추가됩니다.

이중 각도 인수와 관련된 공식도 있습니다. 그것들은 이전 것에서 완전히 파생되었습니다. 연습으로서 베타 각도와 동일한 알파 각도를 취하여 직접 얻으십시오.

마지막으로 사인, 코사인, 탄젠트 알파의 거듭제곱을 줄이기 위해 이중 각도 공식을 다시 배열할 수 있습니다.

정리

기본 삼각법의 두 가지 주요 정리는 사인 정리와 코사인 정리입니다. 이러한 정리를 사용하면 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법과 그림의 면적, 각 변의 크기 등을 쉽게 이해할 수 있습니다.

사인 정리는 삼각형의 각 변의 길이를 반대 각도로 나누면 같은 수가 나온다는 것입니다. 또한 이 숫자는 외접원, 즉 주어진 삼각형의 모든 점을 포함하는 원의 두 반지름과 같습니다.

코사인 정리는 피타고라스 정리를 일반화하여 이를 모든 삼각형에 투영합니다. 두 변의 제곱의 합에서 인접한 각도의 이중 코사인을 곱한 곱을 빼면 결과 값은 세 번째 변의 제곱과 같습니다. 따라서 피타고라스의 정리는 코사인 정리의 특별한 경우임이 밝혀졌습니다.

부주의한 실수

사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지 알더라도 방심이나 가장 간단한 계산의 오류로 인해 실수하기 쉽습니다. 이러한 실수를 피하기 위해 가장 인기 있는 실수를 살펴보겠습니다.

첫째, 최종 결과를 얻을 때까지 분수를 소수로 변환해서는 안됩니다. 조건에 달리 명시되지 않는 한 답을 분수로 남겨 둘 수 있습니다. 이러한 변형을 실수라고 할 수는 없지만 문제의 각 단계에서 저자의 생각에 따라 줄여야 하는 새로운 뿌리가 나타날 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 이 경우 불필요한 수학 연산에 시간을 낭비하게 됩니다. 이는 3의 근이나 2의 근과 같은 값의 경우 특히 그렇습니다. 모든 단계에서 문제에서 발견되기 때문입니다. "못생긴" 숫자를 반올림하는 경우에도 마찬가지입니다.

또한 코사인 정리는 모든 삼각형에 적용되지만 피타고라스 정리는 적용되지 않습니다! 실수로 두 변의 곱에 두 변 사이의 각도의 코사인을 곱한 값을 빼는 것을 잊어버리면 완전히 잘못된 결과를 얻게 될 뿐만 아니라 주제에 대한 이해가 완전히 부족함을 보여주게 됩니다. 이것은 부주의한 실수보다 더 나쁜 것입니다.

셋째, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대해 30도 및 60도 각도 값을 혼동하지 마십시오. 사인 30도는 코사인 60과 같고 그 반대도 마찬가지이므로 이 값을 기억하십시오. 혼동하기 쉽기 때문에 필연적으로 잘못된 결과를 얻게 됩니다.

애플리케이션

많은 학생들이 삼각법의 실제적인 의미를 이해하지 못하기 때문에 서두르지 않고 삼각법 공부를 시작합니다. 엔지니어나 천문학자에게 사인, 코사인, 탄젠트란 무엇입니까? 이것은 먼 별까지의 거리를 계산하거나, 운석의 낙하를 예측하거나, 연구 탐사선을 다른 행성으로 보낼 수 있는 개념입니다. 그것들이 없으면 건물을 짓고, 자동차를 설계하고, 표면에 가해지는 하중이나 물체의 궤적을 계산하는 것이 불가능합니다. 그리고 이것은 가장 분명한 예입니다! 결국, 어떤 형태로든 삼각법은 음악에서 의학에 이르기까지 모든 곳에서 사용됩니다.

마지막으로

그래서 당신은 사인, 코사인, 탄젠트입니다. 이를 계산에 사용하고 학교 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.

삼각법의 요점은 삼각형의 알려진 매개변수를 사용하여 미지수를 계산해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 총 6개의 매개변수가 있습니다: 세 변의 길이와 세 각도의 크기. 작업의 유일한 차이점은 서로 다른 입력 데이터가 제공된다는 점입니다.

이제 다리 또는 빗변의 알려진 길이를 기반으로 사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법을 알았습니다. 이러한 용어는 비율에 지나지 않으며 비율은 분수이므로 삼각법 문제의 주요 목표는 일반 방정식 또는 방정식 시스템의 근을 찾는 것입니다. 그리고 여기서 정규 학교 수학이 도움이 될 것입니다.