평행선. 전체 강의 – 지식 하이퍼마켓
COMPASS 프로그램에 대한 강의.
수업 #4. Compass 3D의 보조선.
드로잉 보드에서 그림을 개발할 때 디자이너는 항상 가는 선을 사용하며 Compass 3D의 아날로그는 보조 직선입니다. 이는 예비 구성 및 뷰 간 투영 연결 지정에 필요합니다. 인쇄시 보조선 보조자, 변경이 불가능합니다.
보조선을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이번 단원에서는 이러한 방법 중 일부를 살펴보겠습니다.
1. 두 점을 기준으로 한 임의의 직선.
프로그램의 메인 메뉴에서 명령을 순차적으로 누릅니다. 도구-기하학-보조선-보조선입니다.
또는 컴팩트 패널의 버튼을 누르세요. 기하학-보조선.
마우스 왼쪽 버튼을 클릭하면 첫 번째 기준점(예: 좌표 원점)이 표시됩니다. 이제 선이 통과할 두 번째 점을 나타냅니다. 현재 좌표계의 직선과 가로축 사이의 경사각이 자동으로 결정됩니다. 속성 패널을 통해 각도를 입력할 수 있습니다. 예를 들어 45° 각도를 입력하고 키를 누릅니다. 입력하다.
구성을 완료하려면 아이콘을 클릭하세요. "중단 명령"속성 패널에서. 이 명령은 마우스 오른쪽 버튼을 클릭하면 나타나는 상황에 맞는 메뉴를 통해 수행할 수 있습니다.
마찬가지로 기준점을 통해 임의의 각도에서 임의의 직선을 원하는 수만큼 구성할 수 있습니다. 속성 패널을 사용하여 키보드에서 점 좌표를 입력할 수 있다는 것을 이미 알고 계실 것입니다. 또한 속성 패널에는 그룹이 있습니다. 모드에는 두 개의 스위치가 있습니다. “교차점을 두지 마세요”(기본적으로 활성화됨) 및 "교차점 배치". 선과 다른 객체의 교차점을 표시해야 하는 경우 스위치를 활성화하세요. "교차점 배치", 이제 시스템은 현재 보기에 있는 모든 그래픽 객체와의 교차점을 자동으로 설정합니다.
도트 스타일은 - 보조자. 모든 보조 요소를 제거하려면 기본 메뉴 명령을 사용하십시오. 편집기-삭제-보조 곡선 및 점.교차점을 전체가 아닌 일부 객체로만 표시하는 방법은 3과에 설명되어 있습니다.
2.수평 직선.
수평선을 구성하려면 다음 명령을 사용하십시오. 도구-기하학-보조선-수평선입니다.
또는 버튼을 눌러 컴팩트 패널을 통해: 기하학-수평선.보조선 구성을 위한 도구 모음은 화면에 완전히 표시되지 않습니다. 이를 보려면 건설 당시 활성화된 보조선 버튼을 클릭하고 몇 초간 누르십시오.
이제 마우스 왼쪽 버튼을 클릭하여 수평선이 통과할 지점을 표시하는 것으로 충분합니다. 동시에 원하는 만큼 많은 직선을 만들 수 있습니다. 버튼을 클릭하면 공사가 완료됩니다. "중단 명령"속성 패널에서.
수평선은 현재 좌표계의 x축과 평행하다는 점을 기억해야 합니다. 절대계를 기준으로 회전된 좌표계에서 구성된 수평 요소는 시트의 수평 측면과 평행하지 않습니다.
3. 수직 직선.
구성은 수평선 구성과 유사하므로 스스로 알아낼 수 있습니다.
수직선은 현재 좌표계의 세로축과 평행하다는 점을 기억해야 합니다. 절대계를 기준으로 회전된 좌표계에서 구성된 수직 항목은 시트의 수직 측면과 평행하지 않습니다.
4. 평행선.
평행선을 구성하려면 평행선이 통과할 객체가 필요합니다. 이러한 객체는 보조 직선, 세그먼트, 폴리라인 링크, 다각형의 측면, 치수선 등일 수 있습니다. 원점을 지나는 수평선에 평행선을 그려봅시다.
팀에 전화하기 도구-기하학-보조선-평행선.
평행선. 정의
평면 위의 두 선이 교차하지 않으면 평행선이라고 합니다.
선 a와 b의 평행성은 다음과 같이 표시됩니다: a||b. 그림 1은 라인 c에 수직인 라인 a와 b를 보여줍니다. 이러한 선 a와 b는 교차하지 않습니다. 즉, 평행합니다.
평행선과 함께 평행선도 종종 고려됩니다. 두 선분이 평행선 위에 있으면 평행선이라고 합니다. 그림(그림 2, a)에서 세그먼트 AB와 CD는 평행하고(AB||CO) 세그먼트 MN과 CD는 평행하지 않습니다. 세그먼트와 직선(그림 2, b), 광선과 직선, 세그먼트와 광선, 두 광선(그림 2, c)의 평행도는 유사하게 결정됩니다.
두 줄의 평행성 징후
선 c는 선 a와 b가 두 지점에서 교차하는 경우 선 a와 b에 대한 시컨트라고 합니다(그림 3). 선 a와 b가 횡단면 c와 교차하면 그림 3에 숫자로 표시된 8개의 각도가 형성됩니다.
이러한 각도 중 일부 쌍에는 특별한 이름이 있습니다.
십자형 각도: 3 및 5, 4 및 6;
한쪽 각도: 4 및 5, 3 및 6;
해당 각도: 1과 5, 4와 8, 2와 6, 3과 7.
이러한 각도 쌍과 관련된 두 직선의 평행성의 세 가지 징후를 고려해 보겠습니다.
정리.두 선이 십자형으로 교차할 때 포함된 각도가 같으면 두 선은 평행합니다.
증거.교차하는 선 a와 b를 각도 AB와 교차시켜 ∠1=∠2(그림 4, a)로 만듭니다.
a||b를 보여드리겠습니다. 각도 1과 2가 오른쪽이면(그림 4, b) 선 a와 b는 선 AB에 수직이므로 평행합니다. 각도 1과 각도 2가 옳지 않은 경우를 생각해 봅시다. 세그먼트 AB의 중간 O에서 직선 a에 수직인 OH를 그립니다(그림 4, c). 점 B에서 직선 b로, 그림 4의 c와 같이 세그먼트 AH와 동일한 세그먼트 BH1을 배치하고 세그먼트 OH1을 그립니다. 삼각형 OHA와 OH1B는 양쪽이 동일하고 그 사이의 각도(AO=VO. AN=BN1 ∠1=∠2)이므로 ∠3=∠4 및 ∠15=∠16입니다. 평등 ∠3=∠4로부터 점 H1은 광선 OH의 연속 위에 놓이게 됩니다. 즉, 점 H, O 및 H1은 동일한 직선 위에 놓여 있고 평등 ∠5=∠6에서는 각도 6을 따릅니다. 는 직선입니다(따라서 각도 5는 직각입니다). 이는 선 a와 b가 선 HH1에 수직이므로 평행하다는 것을 의미합니다. 정리가 입증되었습니다.
정리.두 선이 횡단면과 교차할 때 해당 각도가 같으면 선은 평행합니다.
증거.예를 들어 선 a와 b가 횡단면 c와 교차할 때 해당 각도가 동일하다고 가정합니다. ∠1=∠2 (그림 5). 각도 2와 3이 수직이므로 ∠2=∠3입니다. 이 두 가지 등식으로부터 ∠1=∠3이 됩니다. 그러나 각도 1과 3은 교차하므로 선 a와 b는 평행합니다. 정리가 입증되었습니다.
정리.두 선이 횡단면과 교차할 때 한 쪽 각도의 합이 180°이면 두 선은 평행합니다.
증거.직선 a와 b가 횡단면 c와 교차하면 한 쪽 각도의 합이 180°가 됩니다. 예를 들어 ∠1+∠4=180°입니다(그림 5 참조). 각도 3과 4가 인접하므로 ∠3+∠4=180°입니다. 이 두 등식으로부터 십자형 각도 1과 3이 동일하므로 선 a와 b는 평행합니다. 정리가 입증되었습니다.
평행선을 구성하는 실용적인 방법
실제 사용되는 다양한 도구를 사용하여 평행선을 구성하는 방법의 기초에는 평행선의 기호가 있습니다. 예를 들어 정사각형과 자를 사용하여 평행선을 그리는 방법을 생각해 보세요. 점 M을 통과하고 주어진 직선 a에 평행한 직선을 작도하기 위해 그림 103과 같이 직선 a에 사각형 그리기를 적용하고 여기에 자를 적용합니다. 그런 다음 눈금자를 따라 사각형을 이동합니다. , 점 M이 측면 사각형에 있는지 확인하고 직선 b를 그립니다. 그림 103에서 문자 알파와 베타로 표시된 해당 각도가 동일하기 때문에 직선 a와 b는 평행합니다.
크로스바를 사용하여 평행선을 그리는 방법도 있습니다. 이 방법은 드로잉 연습에 사용됩니다.
목공 작업을 수행할 때도 비슷한 방법이 사용되는데, 블록(경첩으로 고정된 두 개의 나무 판자)을 사용하여 평행선을 표시합니다.
수학사에서 특별한 위치를 차지함 유클리드의 다섯 번째 공리 (평행선의 공리). 오랫동안 수학자들은 나머지 유클리드 공리로부터 다섯 번째 공리를 도출하려고 시도했지만 실패했습니다. 19세기 중반연구 덕분에 N. I. 로바체프스키, B. 리만그리고 Y. 볼랴이다섯 번째 공리는 다른 공리로부터 추론될 수 없으며 유클리드가 제안한 공리 체계만이 유일한 공리가 아니라는 것이 분명해졌습니다.
평행선의 공리
고대 그리스인들도 간단한 방법을 고안했습니다. 주어진 선 l 바깥에 있는 점 A, 선 l과 교차하지 않는 또 다른 선 m을 통해 나침반과 자를 그리는 방법입니다. 하지만 이 문제에 대한 유일한 해결책이 있을까요? 아니면 원래 선 m과 교차하지 않는 점 A를 통해 여러 개의 다른 선을 그릴 수 있습니까?
분명히 유클리드는 이 질문에 대한 답이 선과 점의 다른 속성, 즉 그가 공리와 가정의 형태로 공식화한 속성을 기반으로 얻을 수 없다는 것을 이해한 최초의 그리스인이었습니다. 원하는 라인 m의 고유성에 대한 추가 가정을 도입하고 이 라인을 평행이라고 부를 필요가 있습니다!
평행선에 관한 가정의 다른 공식화가 가능합니까? 유클리드의 가정과 양립할 수 없나요? 예를 들어, 주어진 직선 l과 교차하지 않고 공통점 A를 통과하는 여러 개의 다른 직선이 존재한다고 가정할 수 있습니다. 그러한 가정이 논리적 모순을 초래할까요, 아닌가? 그렇지 않다면 유클리드 이외의 기하학도 가능합니다!
최초의 비유클리드 기하학은 1820년대 세 명의 재능 있는 수학자, 즉 독일의 칼 가우스, 러시아의 니콜라이 로바체프스키, 헝가리의 야노스 볼리아이에 의해 발명되었습니다. 러시아 수학자는 세 명의 발견자 중 가장 용감하고 끈질긴 사람으로 밝혀졌습니다. 그는 유클리드가 아닌 인물의 놀라운 특성을 예측하는 책을 최초로 출판했습니다. 예를 들어, Lobachevsky 평면에서 삼각형 내각의 합은 항상 180도보다 작습니다. 삼각형마다 다른 값이 필요합니다. 게다가 두 개의 유사한 삼각형은 반드시 동일합니다!
19세기 말에 기하학자인 Klein과 Poincaré는 Lobachevsky의 기하학이 구현된 매우 간단한 표면 모델을 발명했습니다. 더 일찍, Riemann은 일반 구가 세 번째 가능한 기하학(사영)을 구현한다는 사실을 알아냈습니다. 그 안에는 "평행" 선이 전혀 없으며 삼각형의 내부 각도의 합은 항상 180도보다 큽니다.
20세기 초까지 비유클리드 기하학은 수학 과학 내에서만 유용할 수 있다고 믿어졌습니다. 그러나 1910년대에 아인슈타인은 일반 상대성 이론을 창안했습니다. 이는 로바체프스키의 비유클리드 기하학을 4차원으로 구현한 것으로 밝혀졌습니다. 그 이후로 물리학자들은 모든 일관된 수학적 구조가 자연 어딘가에 구현되어 있다고 믿어왔습니다. 이것은 사실일 수도 있습니다.
역사적 참고자료
말 그대로 2500년 전인 고대 수세기 동안 유명한 피타고라스 학교에서 그리스어 단어 "parallelos"가 기하학적 용어로 사용되기 시작했지만 당시에는 평행선의 정의가 아직 알려지지 않았습니다. 그러나 역사적 사실은 기원전 3세기 고대 그리스 과학자 유클리드가 그의 책에서 평행선과 같은 개념의 의미를 밝혔음을 나타냅니다.
이미 알고 있듯이 이전 수업에서 다룬 내용에 따르면 그리스어로 번역된 "parallelos"라는 용어는 서로 옆으로 걷거나 나란히 그려지는 것을 의미합니다.
수학에는 평행선을 나타내는 특별한 기호가 있습니다. 사실, 평행 기호가 항상 현재의 형태를 가지고 있었던 것은 아닙니다. 예를 들어, 서기 3세기의 고대 그리스 수학자 파푸스(Pappus)는 평행성을 나타내기 위해 등호 “=”를 사용했습니다. 그리고 18세기에야 William Oughtred 덕분에 그들은 평행선을 표시하기 위해 "//" 기호를 사용하기 시작했습니다. 예를 들어 병렬 a와 b가 있는 경우 a//b로 작성해야 합니다.
그러나 "=" 기호는 Record에 의해 일반 유통에 도입되었고 등호로 사용되기 시작했습니다.
일상생활 속의 평행선
우리는 주변 생활에서 평행선을 자주 접하지만 원칙적으로 그것에 관심을 집중하는 경우는 거의 없습니다. 음악 레슨을 할 때 악보집을 펼치면 바로 육안으로 보표의 대사가 보입니다. 그런데 악보집이나 노래책에서만 평행선이 보이는 것이 아니라, 악기를 자세히 보면 평행선을 볼 수 있습니다. 결국 기타, 하프 또는 오르간의 현도 평행합니다.
거리를 올려다보면 전선이 평행하게 뻗어 있는 것이 보입니다. 지하철이나 철도에 탔을 때 레일이 서로 평행하게 위치해 있다는 것도 쉽게 알아볼 수 있습니다.
평행선은 어디에서나 찾을 수 있습니다. 우리는 일상생활과 그림 속에서 끊임없이 그들을 만난다. 병렬성 개념은 건물 건설에서 엄격하게 고려되기 때문에 건축은 그것들 없이는 할 수 없습니다.
이미지를 자세히 살펴보면 이러한 건축 구조에 평행선이 있음을 즉시 알 수 있습니다. 아마도 건축가와 엔지니어가 이러한 상징적인 건물을 만들 때 평행선을 사용했기 때문에 오래 지속되고 아름답게 남아있을 것입니다.
전력선의 전선이 왜 평행하게 배열되어 있는지 궁금한 적이 있습니까? 그리고 그것들이 평행하지 않고 서로 교차하거나 접촉하지 않는다면 어떤 일이 일어날지 상상해 보세요. 그리고 이는 단락, 중단 및 전기 부족이 발생할 수 있는 나쁜 결과를 초래할 수 있습니다. 레일이 평행하지 않으면 열차에 어떤 일이 일어날 수 있습니까? 생각만 해도 무섭습니다.
평행선은 결코 교차하지 않는다는 것을 여러분 모두 잘 알고 있습니다. 그러나 오랫동안 먼 곳, 즉 무한대를 들여다보면 결국 평행선이 어떻게 교차하는지 볼 수 있습니다. 이 경우 우리는 시각의 환상에 직면하게 됩니다. 아마도 그림이 등장한 것은 그러한 환상과 시각적 왜곡 덕분이었을 것입니다.
숙제
1. 일상 생활, 일상 생활 또는 자연에서 병행의 순간이나 사실을 접하는 사례를 말하십시오.
2. 평행선을 그릴 수 있는 방법은 무엇입니까? 이러한 방법의 이름을 지정하십시오.
3. 알고 있는 방법을 사용하여 노트에 평행선을 그립니다.
4. 어떤 조건에서 직선을 평행이라고 부를 수 있습니까?
질문:
1. 평행선이라고 불리는 선은 무엇입니까?
2. 평행선을 구성하는 어떤 실용적인 방법이 있습니까?
다양한 도구를 사용하여 평행선을 그리는 방법은 평행선의 부호를 기반으로 합니다.
나침반과 자를 사용하여 평행선 만들기
고려해 봅시다 주어진 점을 지나는 평행선을 그리는 원리, 나침반과 자를 사용합니다.
직선이 주어지고 주어진 직선에 속하지 않는 점 A가 있다고 가정합니다.
주어진 선과 평행하게 주어진 점 $A$를 지나는 선을 그리는 것이 필요합니다.
실제로는 주어진 선과 점 없이 두 개 이상의 평행선을 구성해야 하는 경우가 많습니다. 이 경우 임의로 직선을 그리고 이 직선 위에 놓이지 않는 점을 표시해야 합니다.
고려해 봅시다 평행선을 구성하는 단계:
실제로는 정사각형과 자를 이용해 평행선을 그리는 방법도 사용한다.
정사각형과 자를 사용하여 평행선 만들기
을 위한 주어진 직선 a와 평행하게 점 M을 통과하는 직선을 그리십시오., 필요한:
- $a$ 직선에 대각선으로 사각형을 적용하고(그림 참조), 더 큰 다리에 자를 부착합니다.
- 주어진 점 $M$이 사각형의 대각선에 올 때까지 눈금자를 따라 사각형을 이동합니다.
- $M$ 점을 통과하는 필수 직선 $b$을 그립니다.
주어진 선 $a$에 평행한, 주어진 점 $M$을 통과하는 선을 얻었습니다.
$a \병렬 b$, 즉 $M \in b$입니다.
직선 $a$와 $b$의 평행성은 그림에서 $\alpha$와 $\beta$ 문자로 표시된 해당 각도의 동등성에서 분명합니다.
주어진 선으로부터 지정된 거리만큼 떨어진 평행선을 구성하는 것
주어진 직선과 평행하고 주어진 거리에서 이격된 직선을 구성해야 하는 경우 눈금자와 사각형을 사용할 수 있습니다.
직선 $MN$과 거리 $a$가 주어졌다고 가정합니다.
- 주어진 선 $MN$에 임의의 점을 표시하고 이를 $B$라고 부르겠습니다.
- $B$ 점을 통해 $MN$ 선에 수직인 선을 그리고 이를 $AB$라고 부릅니다.
- $B$ 지점에서 직선 $AB$에 $BC=a$ 세그먼트를 그립니다.
- 정사각형과 자를 사용하여 점 $C$를 통과하는 직선 $CD$를 그립니다. 이 직선은 주어진 직선 $AB$와 평행합니다.
$B$ 지점에서 다른 방향으로 $AB$ 직선에 $BC=a$ 선분을 플로팅하면 주어진 거리 $a$만큼 떨어진 또 다른 평행선을 얻게 됩니다.
평행선을 구성하는 다른 방법
평행선을 구성하는 또 다른 방법은 크로스바를 사용하여 구성하는 것입니다. 대부분 이 방법은 그리기 연습에 사용됩니다.
평행선을 표시하고 구성하기 위해 목공 작업을 수행할 때 특별한 그리기 도구인 클래퍼(경첩으로 고정된 두 개의 나무 판자)가 사용됩니다.
주어진 평면에 평행한 직선의 구성은 다음을 기반으로 합니다.
기하학에서 알려진 다음 위치: 직선은 평면과 평행합니다.
이 선이 평면의 임의의 선과 평행한 경우.
공간의 특정 지점을 통해 셀 수 없이 많은 그림을 그릴 수 있습니다.
주어진 평면에 평행한 일련의 직선:
유일한 솔루션에는 몇 가지 추가 조건이 필요합니다.
예를 들어, 점(그림 180)을 통해 직선을 그려야 합니다.
삼각형 ABC와 투영면으로 정의된 평면에 평행합니다!
(추가 조건).
당연히 원하는 직선은 교차선과 평행해야 합니다.
두 비행기, 즉 수평 트랙과 평행해야 함
삼각형 ABC로 정의된 평면. 이 방향을 결정하기 위해
추적하면 삼각형으로 정의된 수평면을 사용할 수 있습니다.
알파벳. 그림에서. 180 수평선 DC를 그린 다음 점 M을 통과하여 그립니다.
이 수평선과 평행한 선.
반대 문제를 제기해 보겠습니다. 주어진 점을 통과하는 평면을 그리고,
주어진 직선과 평행하다. 일부를 통과하는 비행기
어떤 직선 BC에 평행한 점 A는 평면 묶음, 축을 형성합니다.
이는 직선 BC와 평행한 점 A를 지나는 직선입니다.
고유한 솔루션을 얻으려면 몇 가지 추가
예를 들어 직선 CD를 통과하지 않고 평행한 평면을 그려야 합니다.
점과 직선 AB를 통과합니다(그림 181). 다이렉트 AB와 CD가 교차하고 있습니다. 만약에
두 개의 교차선 중 하나를 통과하는 평면을 그려야 하며,
평행한-
쌀. 180 그림. 181
다르면 문제에는 고유한 해결책이 있습니다. B 지점을 통과
직선 CD에 평행한 직선이 그려집니다. 직선 AB와 BE가 결정됩니다.
직선 CD에 평행한 평면.
주어진 선이 주어진 평면과 평행한지 확인하는 방법은 무엇입니까?
이 평면에 평행선을 그려볼 수 있습니다
이 줄. 만약 그러한 평면상의 직선을 만들 수 없다면,
주어진 직선과 평면은 서로 평행하지 않습니다.
또한 주어진 선과 주어진 선의 교차점을 찾아볼 수도 있습니다.
평평한. 그러한 점을 찾을 수 없으면 주어진 직선과
평면은 서로 평행하다.
§ 28. 상호 평행 평면의 구성
평면을 그려야 하는 점 K가 있다고 가정하면,
교차선 AF와 BF에 의해 정의된 평면에 평행
분명히, 점 K를 통과하면 직선 SK와 DK를 각각 그립니다.
선 AF와 BF에 평행한 다음 선 CK와 DK에 의해 정의된 평면,
주어진 평면과 평행할 것입니다.
또 다른 구성 예가 그림 1에 나와 있습니다. 오른쪽 183번. A 지점을 통과
pl을 수행했습니다. 광장과 평행 ㅏ. 먼저 점 A를 지나는 직선을 그립니다.
분명히 평행 사각형입니다. . 이것은 투영 ""과 ""가 있는 수평선입니다.
그리고 A"N"\\h "o. 그래서
쌀. 182 그림. 183
점 N은 수평선 AN의 정면 자취이기 때문에 이를 통해
f"o% f"o 추적은 해당 지점을 통과하고, h"o || h"o 추적은 X를 통과합니다. 비행기
그리고 같은 이름의 교차 흔적이 서로 평행하기 때문에 서로 평행합니다.
평행한.
그림에서. 184는 서로 평행한 두 평면을 보여줍니다.
그 중 하나는 삼각형 LAN으로 표시되고 다른 하나는 평행선 DE와 FG로 표시됩니다.
이 평면들의 평행성은 어떻게 확립됩니까? 비행기에 탑승하시는 분들,
DE와 FG 선에 의해 교차하는 두 개의 선을 그리는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.
교차하는 직선 AC와 평행한 직선 KN과 KM
다른 비행기의 태양.
물론 최소한 교차점을 찾으려고 노력할 수도 있습니다.
DE를 삼각형 ABC의 평면과 연결하세요. 실패하면 확인됩니다
평면의 평행성.
§§ 27-28에 대한 질문
1. 직선을 이루는 기본은 무엇인가?
어떤 비행기와 평행합니까?
2. 주어진 선과 평행한 선을 통해 평면을 그리는 방법은 무엇입니까?
3. 두 평면의 상호 평행성을 결정하는 것은 무엇입니까?
4. 점을 통해 주어진 평면에 평행한 평면을 그리는 방법은 무엇입니까?
5. 주어진 값이 서로 평행한지 도면에서 확인하는 방법
