방정식을 생략하고 괄호를 이동해 보겠습니다. 간단한 선형 방정식 풀기

대수학에서 고려되는 다양한 표현 중에서 단항식의 합은 중요한 위치를 차지합니다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 항이라고 합니다. 단항식은 단항식을 하나의 멤버로 구성된 다항식으로 간주하여 다항식으로 분류됩니다.

예를 들어, 다항식
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
단순화될 수 있습니다.

표준 형식의 단항식 형태로 모든 용어를 표현해 보겠습니다.
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

결과 다항식에 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
결과는 다항식이며 모든 항은 표준 형식의 단항식이며 그중에는 유사한 항이 없습니다. 이러한 다항식은 다음과 같이 불립니다. 표준 형식의 다항식.

뒤에 다항식의 정도표준 형태의 구성원은 구성원의 최고의 권한을 갖습니다. 따라서 이항식 \(12a^2b - 7b\)은 3차를 가지며, 삼항식 \(2b^2 -7b + 6\)은 2차를 갖습니다.

일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준형 다항식의 항은 지수의 내림차순으로 배열됩니다. 예를 들어:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

여러 다항식의 합은 표준 형식의 다항식으로 변환(간소화)될 수 있습니다.

때때로 다항식의 항은 그룹으로 나누어 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 묶는 괄호는 여는 괄호의 역변환이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 여는 규칙:

괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 괄호 안의 용어도 같은 기호로 표기됩니다.

괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 괄호 안의 용어는 반대 기호로 표기됩니다.

단항식과 다항식의 곱의 변환(단순화)

곱셈의 분배 속성을 사용하면 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(간소화)할 수 있습니다. 예를 들어:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.

단항식에 다항식을 곱하려면 해당 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.

우리는 이미 이 규칙을 여러 번 사용하여 합계를 곱했습니다.

다항식의 곱. 두 다항식의 곱의 변환(단순화)

일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 항과 다른 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

일반적으로 다음 규칙이 사용됩니다.

다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

약식 곱셈 공식. 제곱합, 차이 및 제곱의 차이

대수 변환의 일부 표현식은 다른 표현식보다 더 자주 처리해야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현은 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 및 \(a^2 - b^2 \)입니다. 즉, 합의 제곱, 제곱의 차이와 차이. 이러한 표현식의 이름이 불완전한 것 같습니다. 예를 들어 \((a + b)^2 \)는 물론 단순히 합의 제곱이 아니라 a와 b 합의 제곱입니다. . 그러나 a와 b의 합의 제곱은 자주 발생하지 않으며 일반적으로 문자 a와 b 대신 다양하고 때로는 매우 복잡한 표현이 포함됩니다.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 표현식은 표준 형식의 다항식으로 쉽게 변환(간소화)될 수 있습니다. 실제로 다항식을 곱할 때 이미 이 작업을 접한 적이 있습니다.
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

결과 ID를 기억하고 중간 계산 없이 적용하는 것이 유용합니다. 간단한 구두 표현이 도움이 됩니다.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 합의 제곱은 제곱과 이중 곱의 합과 같습니다.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 차이의 제곱은 두 배의 곱을 제외한 제곱의 합과 같습니다.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 제곱의 차이는 차이와 합계의 곱과 같습니다.

이 세 가지 정체성을 사용하면 변환 시 왼쪽 부분을 오른쪽 부분으로 교체할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 오른쪽 부분을 왼쪽 부분으로 바꿀 수 있습니다. 가장 어려운 것은 해당 표현식을 보고 변수 a와 b가 어떻게 대체되는지 이해하는 것입니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.

먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?

선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.

가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.

다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.

1. 괄호가 있으면 확장하세요.
2. 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
3. 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
4. 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.

물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명되는 경우가 있습니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.

1. 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이런 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
2. 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.

이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

방정식 풀기의 예

오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.

이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.

1. 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
2. 그런 다음 비슷한 것을 결합하십시오.
3. 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.

그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 유사한 것을 제공해야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.

이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.

또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 하지만 이미 이해하셨듯이 가장 간단한 작업부터 시작하겠습니다.

간단한 선형 방정식을 푸는 방식

먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.

1. 대괄호가 있으면 확장합니다.
2. 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
3. 비슷한 용어를 제시합니다.
4. 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.

물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아니며 여기에는 특정 미묘함과 요령이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.

간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기

작업 번호 1

첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 적어 봅시다:

우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나눕니다.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

그래서 우리는 답을 얻었습니다.

작업 번호 2

이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:

다음은 유사한 것들입니다:

이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.

작업 번호 3

세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.

\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]

여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:

우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

수학을 해보자:

마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항

너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.

• 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
• 뿌리가 있더라도 그 중 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.

0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못한 것이라고 가정해서는 안 됩니다.

또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.

이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그런 일을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.

복잡한 선형 방정식 풀기

더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 확실히 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.

예 1

분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.

이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

다음은 유사한 것들입니다:

분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 쓸 것입니다.

\[\varnothing\]

아니면 뿌리가 없습니다.

예 2

우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:

변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

다음은 유사한 것들입니다:

분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.

\[\varnothing\],

아니면 뿌리가 없습니다.

솔루션의 뉘앙스

두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.

그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.

개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 각각 두 개의 용어와 곱셈이 있습니다.

그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.

두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.

내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.

물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 너무 많은 변환을 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.

훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기

지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.

작업 번호 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

첫 번째 부분의 모든 요소를 ​​곱해 보겠습니다.

개인정보 보호를 좀 해보자:

다음은 유사한 것들입니다:

마지막 단계를 완료해 보겠습니다.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 풀이 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.

작업 번호 2

\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]

첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.

이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.

"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

비슷한 용어는 다음과 같습니다.

다시 한번 최종 답변을 받았습니다.

솔루션의 뉘앙스

이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.

대수합에 대하여

이 마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.

모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구성이 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.

마지막으로, 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.

분수로 방정식 풀기

이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.

1. 괄호를 엽니다.
2. 별도의 변수.
3. 비슷한 것을 가져오세요.
4. 비율로 나누어 보세요.

아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.

이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 분수를 제거하십시오.
2. 괄호를 엽니다.
3. 별도의 변수.
4. 비슷한 것을 가져오세요.
5. 비율로 나누어 보세요.

"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.

예 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 적어보자:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

이제 확장해 보겠습니다.

변수를 격리합니다.

유사한 용어의 축소를 수행합니다.

\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.

예 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

문제가 해결되었습니다.

사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.

키 포인트

주요 결과는 다음과 같습니다.

• 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
• 괄호를 여는 기능.
• 어딘가에 이차 함수가 있더라도 걱정하지 마십시오. 아마도 추가 변환 과정에서 이 함수가 줄어들 것입니다.
• 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있으며, 심지어 가장 단순한 근도 있습니다. 하나의 단일근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.

이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!

괄호의 주요 기능은 값을 계산할 때 작업 순서를 변경하는 것입니다. 예를 들어, 숫자 표현식 \(5·3+7\)에서 곱셈이 먼저 계산된 다음 덧셈이 계산됩니다: \(5·3+7 =15+7=22\). 그러나 \(5·(3+7)\) 표현식에서는 대괄호 안의 덧셈이 먼저 계산되고 그 다음에 곱셈이 계산됩니다: \(5·(3+7)=5·10=50\).

예. 대괄호: \(-(4m+3)\)를 확장합니다.
해결책 : \(-(4m+3)=-4m-3\).

예. 괄호를 열고 유사한 용어 \(5-(3x+2)+(2+3x)\)를 제공합니다.
해결책 : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

예. 대괄호 \(5(3-x)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호 안에는 \(3\)과 \(-x\)가 있고, 괄호 앞에는 5가 있습니다. 이는 대괄호의 각 구성원에 \(5\)를 곱한다는 의미입니다. 숫자와 괄호 사이의 곱셈 기호는 항목의 크기를 줄이기 위해 수학으로 작성되지 않습니다..

예. 대괄호 \(-2(-3x+5)\)를 확장합니다.
해결책 : 앞선 예와 마찬가지로 괄호 안의 \(-3x\)와 \(5\)에 \(-2\)를 곱합니다.

예. 식을 단순화합니다: \(5(x+y)-2(x-y)\).
해결책 : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

마지막 상황을 고려해야합니다.

대괄호와 대괄호를 곱할 때 첫 번째 대괄호의 각 항은 두 번째 대괄호의 각 항과 곱해집니다.

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

예. 대괄호 \((2-x)(3x-1)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호로 이루어진 제품이 있는데, 위의 수식을 이용하면 바로 확장이 가능합니다. 하지만 혼란스럽지 않도록 모든 것을 단계별로 수행해 봅시다.
1단계. 첫 번째 괄호를 제거하고 각 항에 두 번째 괄호를 곱합니다.

2단계. 위에서 설명한 대로 브래킷과 인수의 곱을 확장합니다.
- 먼저 첫 번째 것들...

그런 다음 두 번째.

3단계. 이제 유사한 용어를 곱하여 제시합니다.

모든 변환을 그렇게 자세히 설명할 필요는 없으며 즉시 곱할 수 있습니다. 하지만 괄호 여는 방법을 배우고 자세하게 작성하면 실수할 가능성이 줄어듭니다.

전체 섹션을 참고하세요.실제로 네 가지 규칙을 모두 기억할 필요는 없으며 \(c(a-b)=ca-cb\) 하나만 기억하면 됩니다. 왜? c 대신 하나를 대체하면 \((a-b)=a-b\) 규칙이 적용됩니다. 그리고 마이너스 1을 대체하면 \(-(a-b)=-a+b\) 규칙을 얻게 됩니다. 글쎄, c 대신에 다른 괄호를 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.

괄호 안의 괄호

때로는 실제로 다른 괄호 안에 중첩된 괄호에 문제가 있을 수 있습니다. 다음은 이러한 작업의 예입니다. \(7x+2(5-(3x+y))\) 표현식을 단순화합니다.

이러한 작업을 성공적으로 해결하려면 다음이 필요합니다.
- 괄호의 중첩을 주의 깊게 이해하십시오.
- 예를 들어 가장 안쪽부터 시작하여 괄호를 순차적으로 엽니다.

브래킷 중 하나를 열 때 중요합니다. 나머지 표현은 건드리지 마세요, 그대로 다시 작성하면 됩니다.
위에 작성된 작업을 예로 들어 보겠습니다.

예. 괄호를 열고 비슷한 용어 \(7x+2(5-(3x+y))\)를 입력하세요.
해결책:

예. 괄호를 열고 비슷한 용어 \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)를 입력하세요.
해결책 :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		여기에는 괄호가 삼중으로 중첩되어 있습니다. 가장 안쪽(녹색으로 강조 표시)부터 시작하겠습니다. 브라켓 앞에 플러스가 있어서 그냥 벗겨집니다.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		이제 두 번째 브래킷인 중간 브래킷을 열어야 합니다. 하지만 그 전에, 이 두 번째 괄호에서 유령 같은 용어의 표현을 단순화하겠습니다.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		이제 두 번째 브래킷(파란색으로 강조 표시됨)을 엽니다. 괄호가 인수이기 전에 괄호 안의 각 항에 이를 곱합니다.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		그리고 마지막 괄호를 엽니다. 괄호 앞에 빼기 기호가 있으므로 모든 기호가 반전됩니다.

괄호 확장은 수학의 기본 기술입니다. 이 스킬이 없으면 8, 9등급에서 C 이상의 성적을 받는 것은 불가능하다. 그러므로 이 주제를 잘 이해하시기를 권합니다.

방정식의 해당 부분은 괄호 안의 표현입니다. 괄호를 열려면 괄호 앞의 기호를 보십시오. 더하기 기호가 있는 경우 표현식에서 괄호를 열어도 아무 것도 변경되지 않습니다. 괄호만 제거하면 됩니다. 빼기 기호가 있는 경우 괄호를 열 때 원래 괄호 안에 있던 기호를 모두 반대 기호로 변경해야 합니다. 예를 들어 -(2x-3)=-2x+3입니다.

두 개의 괄호를 곱합니다.
방정식에 두 개의 괄호의 곱이 포함되어 있으면 표준 규칙에 따라 괄호를 확장하십시오. 첫 번째 괄호의 각 항은 두 번째 괄호의 각 항과 곱해집니다. 결과 숫자가 요약됩니다. 이 경우 두 개의 "플러스" 또는 두 개의 "마이너스"의 곱은 용어에 "플러스" 기호를 제공하고 요소의 부호가 다른 경우 "마이너스" 기호를 받습니다.
고려해 봅시다.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

괄호를 열어 때로는 표현식을 . 제곱과 세제곱의 공식을 마음 속으로 알고 기억해야 합니다.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
3보다 큰 수식을 구성하는 공식은 파스칼의 삼각형을 사용하여 완성할 수 있습니다.

출처:

• 괄호 확장 공식

괄호로 묶인 수학 연산에는 다양한 복잡성 수준의 변수와 표현식이 포함될 수 있습니다. 이러한 표현식을 곱하려면 대괄호를 열고 결과를 단순화하여 일반적인 형식의 솔루션을 찾아야 합니다. 괄호에 변수가 없고 숫자 값만 있는 연산이 포함되어 있으면 괄호를 열 필요가 없습니다. 컴퓨터가 있으면 해당 사용자가 매우 중요한 컴퓨팅 리소스에 액세스할 수 있기 때문입니다. 표현식을 단순화하는 것보다 사용하는 것이 더 쉽습니다.

지침

일반적인 형식의 결과를 얻으려면 하나의 괄호에 포함된 각 괄호(또는 피감수)에 다른 모든 괄호의 내용을 순차적으로 곱합니다. 예를 들어 원래 표현식을 (5+x)*(6-x)*(x+2)와 같이 작성해 보겠습니다. 그런 다음 순차적 곱셈(즉, 괄호 열기)은 다음 결과를 제공합니다: (5+x)*(6-x)*(x+2) = (5*6-5*x)*(5*x+ 5*2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5*x+5*6*5*2) - (5*x*5*x+ 5* x*5*2) + (6*x*x*x+6*x*2*x) - (x*x*x*x+x*x*2*x) = 5*6*5 *x + 5*6*5*2 - 5*x*5*x - 5*x*5*2 + 6*x*x*x + 6*x*2*x - x*x*x*x - x *x*2*x = 150*x + 300 - 25*x² - 50*x + 6*x3 + 12*x² - x*x3 - 2*x3.

표현식을 줄여 결과를 단순화합니다. 예를 들어 이전 단계에서 얻은 식은 다음과 같이 단순화할 수 있습니다. 150*x + 300 - 25*x² - 50*x + 6*x³ + 12*x² - x*x³ - 2*x³ = 100*x + 300 - 13* x² - 8*x³ - x*x³.

x를 4.75, 즉 (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2)로 곱해야 하는 경우 계산기를 사용하세요. 이 값을 계산하려면 Google 또는 Nigma 검색 엔진 웹사이트로 이동하여 쿼리 필드에 표현식을 원래 형식(5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2)으로 입력하세요. Google은 버튼을 클릭하지 않고도 즉시 82.265625를 표시하지만 Nigma는 버튼을 클릭하여 서버에 데이터를 전송해야 합니다.

이제 괄호 안의 표현식에 숫자나 표현식을 곱하는 표현식에서 괄호를 여는 방법으로 넘어갑니다. 빼기 기호 앞에 괄호를 여는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 빼기 기호와 함께 괄호는 생략되고 괄호 안의 모든 용어의 기호는 반대 기호로 대체됩니다.

표현식 변환의 한 가지 유형은 괄호 확장입니다. 숫자, 리터럴 및 변수 표현식은 괄호를 사용하여 작성할 수 있으며, 이는 작업 순서를 표시하고 음수를 포함할 수 있습니다. 위에서 설명한 표현식에는 숫자와 변수 대신 어떤 표현식도 있을 수 있다고 가정해 보겠습니다.

그리고 괄호를 열 때 솔루션 작성의 특징과 관련하여 한 가지 더 주목해 보겠습니다. 이전 단락에서는 여는 괄호를 다루었습니다. 이를 위해 대괄호 여는 규칙이 있는데, 이제 이를 검토하겠습니다. 이 규칙은 양수는 일반적으로 괄호 없이 작성된다는 사실에 의해 결정됩니다. 이 경우에는 괄호가 필요하지 않습니다. (−3.7)−(−2)+4+(−9) 표현식은 괄호 없이 −3.7+2+4−9로 쓸 수 있습니다.

마지막으로, 규칙의 세 번째 부분은 단순히 표현식의 왼쪽에 음수를 쓰는 특성 때문입니다(음수 작성을 위한 괄호 섹션에서 언급했습니다). 숫자, 빼기 기호 및 여러 쌍의 괄호로 구성된 표현식을 접할 수 있습니다. 괄호를 열고 내부에서 외부로 이동하면 해는 다음과 같습니다. −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

괄호는 어떻게 여나요?

설명은 다음과 같습니다: −(−2 x)는 +2 x이고 이 표현식이 먼저 나오므로 +2 x는 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1로 쓸 수 있습니다. /x 및 −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. 괄호 여는 규칙의 첫 번째 부분은 음수 곱셈 규칙을 그대로 따릅니다. 두 번째 부분은 숫자에 다른 부호를 곱하는 규칙의 결과입니다. 부호가 다른 두 숫자의 곱과 몫에서 괄호를 여는 예를 살펴보겠습니다.

여는 괄호: 규칙, 예, 해결책.

위의 규칙은 이러한 작업의 전체 체인을 고려하고 대괄호를 여는 프로세스의 속도를 크게 높입니다. 동일한 규칙을 사용하면 곱과 차가 아닌 빼기 기호가 있는 부분 표현식인 표현식에서 괄호를 열 수 있습니다.

이 규칙을 적용한 예를 살펴보겠습니다. 이에 상응하는 규칙을 제시해 보겠습니다. 위에서 우리는 이미 −(a) 및 −(−a) 형식의 표현을 접했는데, 괄호 없이 각각 −a 및 a로 작성되었습니다. 예를 들어 −(3)=3이고. 이는 명시된 규칙의 특별한 경우입니다. 이제 합이나 차이가 포함될 때 괄호를 여는 예를 살펴보겠습니다. 이 규칙을 사용하는 예를 보여드리겠습니다. 표현식 (b1+b2)를 b로 표시한 후 대괄호에 이전 단락의 표현식을 곱하는 규칙을 사용하면 (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)가 됩니다. ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

귀납법에 의해 이 진술은 각 괄호 안의 임의의 수의 용어로 확장될 수 있습니다. 이전 단락의 규칙을 사용하여 결과 표현식에서 괄호를 여는 것이 남아 있습니다. 결국 우리는 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·를 얻습니다. 2·x·y3.

수학의 규칙은 괄호 앞에 (+)와 (-)가 있으면 괄호를 여는 것입니다.

이 식은 (2+4), 3, (5+7·8) 세 가지 요소의 곱입니다. 괄호를 순차적으로 열어야 합니다. 이제 우리는 괄호에 숫자를 곱하는 규칙을 사용합니다. 즉, ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8)이 됩니다. 자연 지수를 사용하여 괄호 안에 작성된 일부 표현식을 기반으로 하는 학위는 여러 괄호의 곱으로 간주될 수 있습니다.

예를 들어 (a+b+c)2라는 표현식을 변환해 보겠습니다. 먼저 두 개의 괄호 (a+b+c)·(a+b+c)의 곱으로 작성하고, 이제 괄호에 괄호를 곱하면 a·a+a·b+a·c+를 얻습니다. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

또한 두 숫자의 합과 차이를 자연 거듭제곱으로 올리려면 뉴턴의 이항 공식을 사용하는 것이 좋습니다. 예를 들어 (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2입니다. 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾼 다음 곱에서 괄호를 여는 데 해당 규칙을 사용하는 것이 그다지 편리하지 않습니다.

예제를 사용하여 괄호를 여는 순서를 이해하는 것이 남아 있습니다. (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) 표현식을 살펴보겠습니다. 이 결과를 원래 표현식으로 대체합니다: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . 남은 것은 괄호를 여는 것뿐입니다. 결과적으로 −5+3·2:4+6·7이 됩니다. 이는 평등의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 괄호가 열리는 현상이 발생했음을 의미합니다.

세 가지 예 모두에서 단순히 괄호를 제거했습니다. 먼저 889에 445를 더합니다. 이 작업은 정신적으로 할 수 있지만 그리 쉽지는 않습니다. 괄호를 열고 변경된 절차로 인해 계산이 크게 단순화되는지 살펴보겠습니다.

괄호를 다른 정도로 확장하는 방법

예와 규칙을 설명합니다. 예를 살펴보겠습니다: . 2와 5를 더한 다음 반대 기호를 사용하여 결과 숫자를 취하여 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 괄호 안에 용어가 2개가 아닌 3개 이상 있으면 규칙은 변경되지 않습니다. 논평. 기호는 용어 앞에서만 반전됩니다. 괄호를 열려면 이 경우 분배 속성을 기억해야 합니다.

괄호 안의 단일 숫자의 경우

당신의 실수는 부호에 있는 것이 아니라 분수를 잘못 처리한 것입니까? 6학년 때 우리는 양수와 음수에 대해 배웠습니다. 예제와 방정식을 어떻게 풀까요?

괄호 안은 얼마인가요? 이 표현들에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 물론 첫 번째와 두 번째 예제의 결과는 동일합니다. 즉, 둘 사이에 등호를 넣을 수 있습니다. -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. 괄호로 무엇을 했나요?

괄호 여는 규칙이 포함된 슬라이드 6의 데모입니다. 따라서 괄호 여는 규칙은 예제를 해결하고 표현식을 단순화하는 데 도움이 됩니다. 다음으로, 학생들은 쌍으로 작업하도록 요청받습니다. 화살표를 사용하여 괄호가 포함된 표현과 해당하는 괄호가 없는 표현을 연결해야 합니다.

Slide 11 Sunny City에 도착한 후 Znayka와 Dunno는 둘 중 누가 방정식을 올바르게 풀었는지 논쟁을 벌였습니다. 다음으로, 학생들은 여는 괄호 규칙을 사용하여 스스로 방정식을 풉니다. 방정식 풀기” 수업 목표: 교육적(주제에 대한 지식 강화: “괄호 열기.

수업 주제: “괄호 열기. 이 경우 첫 번째 괄호의 각 항과 두 번째 괄호의 각 항을 곱한 다음 결과를 더해야 합니다. 먼저, 처음 두 요소를 가져와서 하나 이상의 괄호로 묶고, 이 괄호 안에는 이미 알려진 규칙 중 하나에 따라 괄호가 열립니다.

rawalan.freezeet.ru

여는 괄호: 규칙 및 예(7학년)

괄호의 주요 기능은 값을 계산할 때 작업 순서를 변경하는 것입니다. 수치 표현 . 예를 들어, 숫자 표현식 \(5·3+7\)에서 곱셈이 먼저 계산된 다음 덧셈이 계산됩니다: \(5·3+7 =15+7=22\). 그러나 \(5·(3+7)\) 표현식에서는 대괄호 안의 덧셈이 먼저 계산되고 그 다음에 곱셈이 계산됩니다: \(5·(3+7)=5·10=50\).

그러나 우리가 다루는 경우 대수적 표현포함하는 변하기 쉬운- 예를 들어 다음과 같습니다: \(2(x-3)\) - 그러면 대괄호 안의 값을 계산하는 것이 불가능하며 변수가 방해가 됩니다. 따라서 이 경우 적절한 규칙을 사용하여 괄호가 "열립니다".

괄호 여는 규칙

대괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 대괄호가 제거되고 그 안의 표현식은 변경되지 않은 것입니다. 다시 말해서:

여기서는 수학에서 표기법을 단축하기 위해 더하기 기호가 표현식에 먼저 나타나면 쓰지 않는 것이 관례라는 점을 명확히 할 필요가 있습니다. 예를 들어, 두 개의 양수(예: 7과 3)를 더하면 7도 양수라는 사실에도 불구하고 \(+7+3\)가 아니라 단순히 \(7+3\)이라고 씁니다. . 마찬가지로, 예를 들어 \((5+x)\) 표현식이 표시되면 다음을 알아두세요. 괄호 앞에는 플러스가 있는데, 이는 기록되지 않습니다..

예 . 괄호를 열고 유사한 용어를 제공합니다: \((x-11)+(2+3x)\).
해결책 : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 대괄호를 제거하면 그 안에 있는 표현식의 각 구성원이 반대 기호로 변경됩니다.

여기에서는 a가 괄호 안에 있는 동안 더하기 기호가 있었고(그냥 쓰지 않았음) 괄호를 제거한 후 이 더하기가 빼기로 변경되었음을 명확히 할 필요가 있습니다.

예 : \(2x-(-7+x)\) 표현식을 단순화합니다.
해결책 : 괄호 안에는 \(-7\)과 \(x\)라는 두 개의 용어가 있고, 괄호 앞에는 마이너스가 있습니다. 이는 부호가 변경된다는 것을 의미합니다. 이제 7은 플러스가 되고 x는 이제 마이너스가 됩니다. 브라켓을 열고 비슷한 용어를 제시합니다 .

예. 괄호를 열고 유사한 용어 \(5-(3x+2)+(2+3x)\)를 제공합니다.
해결책 : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

대괄호 앞에 인수가 있으면 대괄호의 각 구성원에 이를 곱합니다. 즉, 다음과 같습니다.

예. 대괄호 \(5(3-x)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호 안에는 \(3\)과 \(-x\)가 있고, 괄호 앞에는 5가 있습니다. 이는 대괄호의 각 구성원에 \(5\)를 곱한다는 의미입니다. 숫자와 괄호 사이의 곱셈 기호는 항목의 크기를 줄이기 위해 수학으로 작성되지 않습니다..

예. 대괄호 \(-2(-3x+5)\)를 확장합니다.
해결책 : 앞선 예와 마찬가지로 괄호 안의 \(-3x\)와 \(5\)에 \(-2\)를 곱합니다.

마지막 상황을 고려해야합니다.

대괄호와 대괄호를 곱할 때 첫 번째 대괄호의 각 항은 두 번째 대괄호의 각 항과 곱해집니다.

예. 대괄호 \((2-x)(3x-1)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호로 이루어진 제품이 있는데, 위의 수식을 이용하면 바로 확장이 가능합니다. 하지만 혼란스럽지 않도록 모든 것을 단계별로 수행해 봅시다.
1단계. 첫 번째 브래킷을 제거하고 각 멤버에 두 번째 브래킷을 곱합니다.

2단계. 위에서 설명한 대로 브래킷과 인수의 곱을 확장합니다.
- 먼저 첫 번째 것들...

3단계. 이제 유사한 용어를 곱하여 제시합니다.

모든 변환을 그렇게 자세히 설명할 필요는 없으며 즉시 곱할 수 있습니다. 하지만 괄호 여는 방법을 배우고 자세하게 작성하면 실수할 가능성이 줄어듭니다.

전체 섹션을 참고하세요.실제로 네 가지 규칙을 모두 기억할 필요는 없으며 \(c(a-b)=ca-cb\) 하나만 기억하면 됩니다. 왜? c 대신 하나를 대체하면 \((a-b)=a-b\) 규칙이 적용됩니다. 그리고 마이너스 1을 대체하면 \(-(a-b)=-a+b\) 규칙을 얻게 됩니다. 글쎄, c 대신에 다른 괄호를 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.

괄호 안의 괄호

때로는 실제로 다른 괄호 안에 중첩된 괄호에 문제가 있을 수 있습니다. 다음은 이러한 작업의 예입니다. \(7x+2(5-(3x+y))\) 표현식을 단순화합니다.

이러한 작업을 성공적으로 해결하려면 다음이 필요합니다.
- 괄호의 중첩을 주의 깊게 이해하십시오.
— 예를 들어 가장 안쪽부터 시작하여 괄호를 순차적으로 엽니다.

브래킷 중 하나를 열 때 중요합니다. 나머지 표현은 건드리지 마세요, 그대로 다시 작성하면 됩니다.
위에 작성된 작업을 예로 들어 보겠습니다.

예. 괄호를 열고 비슷한 용어 \(7x+2(5-(3x+y))\)를 입력하세요.
해결책:

내부 브래킷(내부 브래킷)을 열어 작업을 시작하겠습니다. 그것을 확장하면 우리는 그것과 직접적으로 관련된 것만 다루고 있습니다. 이것은 브래킷 자체와 그 앞의 빼기입니다(녹색으로 강조 표시됨). 다른 모든 것(강조 표시되지 않은 것)도 이전과 같은 방식으로 다시 작성합니다.

온라인으로 수학 문제 해결하기

온라인 계산기.
다항식을 단순화합니다.
다항식을 곱합니다.

이 수학 프로그램을 사용하면 다항식을 단순화할 수 있습니다.
프로그램이 실행되는 동안:
- 다항식을 곱합니다
— 단항식을 요약합니다(유사한 단항식 제공).
- 괄호를 엽니다
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약간의 이론.

단항식과 다항식의 곱입니다. 다항식의 개념

대수학에서 고려되는 다양한 표현 중에서 단항식의 합은 중요한 위치를 차지합니다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.

단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 항이라고 합니다. 단항식은 단항식을 하나의 멤버로 구성된 다항식으로 간주하여 다항식으로 분류됩니다.

표준 형식의 단항식 형태로 모든 용어를 표현해 보겠습니다.

결과 다항식에 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.

결과는 다항식이며 모든 항은 표준 형식의 단항식이며 그중에는 유사한 항이 없습니다. 이러한 다항식은 다음과 같이 불립니다. 표준 형식의 다항식.

뒤에 다항식의 정도표준 형태의 구성원은 구성원의 최고의 권한을 갖습니다. 따라서 이항식은 3차를 가지며, 삼항식은 2차를 갖습니다.

일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준형 다항식의 항은 지수의 내림차순으로 배열됩니다. 예를 들어:

여러 다항식의 합은 표준 형식의 다항식으로 변환(간소화)될 수 있습니다.

때때로 다항식의 항은 그룹으로 나누어 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 묶는 괄호는 여는 괄호의 역변환이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 여는 규칙:

괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 괄호 안의 용어도 같은 기호로 표기됩니다.

괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 괄호 안의 용어는 반대 기호로 표기됩니다.

단항식과 다항식의 곱의 변환(단순화)

곱셈의 분배 속성을 사용하면 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(간소화)할 수 있습니다. 예를 들어:

단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.

단항식에 다항식을 곱하려면 해당 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.

우리는 이미 이 규칙을 여러 번 사용하여 합계를 곱했습니다.

다항식의 곱. 두 다항식의 곱의 변환(단순화)

일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 항과 다른 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

일반적으로 다음 규칙이 사용됩니다.

다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

약식 곱셈 공식. 제곱합, 차이 및 제곱의 차이

대수 변환의 일부 표현식은 다른 표현식보다 더 자주 처리해야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현은 u, 즉 합의 제곱, 차이의 제곱, 제곱의 차이일 것입니다. 이 표현의 이름이 불완전한 것 같습니다. 예를 들어 이것은 물론 합의 제곱이 아니라 a와 b 합의 제곱입니다. 그러나 a와 b의 합의 제곱은 자주 발생하지 않으며 일반적으로 문자 a와 b 대신 다양하고 때로는 매우 복잡한 표현이 포함됩니다.

표현식은 표준 형식의 다항식으로 쉽게 변환(간소화)될 수 있습니다. 실제로 다항식을 곱할 때 이미 이러한 작업을 접한 적이 있습니다.

결과 ID를 기억하고 중간 계산 없이 적용하는 것이 유용합니다. 간단한 구두 표현이 도움이 됩니다.

- 합의 제곱은 제곱과 두 배의 곱의 합과 같습니다.

— 차이의 제곱은 이중 곱을 제외한 제곱의 합과 같습니다.

- 제곱의 차이는 차이와 합의 곱과 같습니다.

이 세 가지 정체성을 사용하면 변환 시 왼쪽 부분을 오른쪽 부분으로 교체할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 오른쪽 부분을 왼쪽 부분으로 바꿀 수 있습니다. 가장 어려운 것은 해당 표현식을 보고 변수 a와 b가 어떻게 대체되는지 이해하는 것입니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

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괄호 확장

우리는 대수학의 기초를 계속해서 연구합니다. 이번 단원에서는 표현식에서 괄호를 확장하는 방법을 배웁니다. 괄호 확장은 표현식에서 괄호를 제거하는 것을 의미합니다.

괄호를 열려면 두 가지 규칙만 기억하면 됩니다. 정기적으로 연습하면 눈을 감고 괄호를 열 수 있으며 암기해야했던 규칙을 안전하게 잊을 수 있습니다.

괄호를 여는 첫 번째 규칙

다음 표현식을 고려해보세요.

이 표현식의 값은 다음과 같습니다. 2 . 이 표현식에서 괄호를 열어 보겠습니다. 괄호를 확장한다는 것은 표현의 의미에 영향을 주지 않고 괄호를 제거하는 것을 의미합니다. 즉, 괄호를 제거한 후 표현식의 값은 8+(−9+3) 여전히 2와 같아야 합니다.

괄호를 여는 첫 번째 규칙은 다음과 같습니다.

괄호를 열 때 괄호 앞에 플러스가 있으면 이 플러스는 괄호와 함께 생략됩니다.

그래서 우리는 표현에서 그것을 볼 수 있습니다 8+(−9+3) 괄호 앞에는 더하기 기호가 있습니다. 이 플러스는 괄호와 함께 생략되어야 합니다. 즉, 괄호는 그 앞에 있던 플러스와 함께 사라집니다. 그리고 괄호 안의 내용은 변경 없이 작성됩니다.

8−9+3 . 이 표현식은 다음과 같습니다. 2 , 괄호가 있는 이전 표현식과 마찬가지로 다음과 같습니다. 2 .

8+(−9+3) 그리고 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

예시 2.표현식에서 괄호 확장 3 + (−1 − 4)

괄호 앞에 플러스가 있는데, 이는 이 플러스가 괄호와 함께 생략된다는 의미입니다. 괄호 안의 내용은 변경되지 않습니다.

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

예시 3.표현식에서 괄호 확장 2 + (−1)

이 예에서 괄호를 여는 것은 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 일종의 역연산이 되었습니다. 무슨 뜻이에요?

표현에 있어서 2−1 뺄셈이 발생하지만 덧셈으로 대체될 수 있습니다. 그러면 우리는 표현을 얻습니다. 2+(−1) . 하지만 표현에 따르면 2+(−1) 괄호를 열면 원본을 얻을 수 있습니다 2−1 .

따라서 괄호를 여는 첫 번째 규칙을 사용하면 일부 변환 후 표현식을 단순화할 수 있습니다. 즉, 괄호를 제거하고 더 간단하게 만듭니다.

예를 들어 식을 단순화해보자. 2a+a−5b+b .

이 표현을 단순화하기 위해 비슷한 용어를 사용할 수 있습니다. 유사한 용어를 줄이려면 유사한 용어의 계수를 더하고 그 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 한다는 것을 기억하십시오.

표현이 나왔네요 3a+(−4b). 이 표현식에서 괄호를 제거해 보겠습니다. 대괄호 앞에 플러스가 있으므로 대괄호를 여는 첫 번째 규칙을 사용합니다. 즉, 대괄호 앞에 오는 플러스와 함께 대괄호를 생략합니다.

그래서 표현은 2a+a−5b+b단순화하다 3a−4b .

일부 괄호를 열면 도중에 다른 괄호를 만날 수도 있습니다. 우리는 첫 번째 규칙과 동일한 규칙을 적용합니다. 예를 들어, 다음 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

괄호를 열어야 하는 곳은 두 곳입니다. 이 경우 괄호를 여는 첫 번째 규칙이 적용됩니다. 즉, 괄호 앞에 있는 더하기 기호와 함께 괄호를 생략하는 것입니다.

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

예시 3.표현식에서 괄호 확장 6+(−3)+(−2)

괄호가 있는 두 곳 모두 앞에는 플러스가 붙습니다. 여기서도 괄호를 여는 첫 번째 규칙이 적용됩니다.

때로는 괄호 안의 첫 번째 용어가 부호 없이 쓰여지는 경우도 있습니다. 예를 들어, 표현식에서 1+(2+3−4) 괄호 안의 첫 번째 용어 2 기호 없이 작성되었습니다. 질문이 생깁니다. 괄호와 괄호 앞의 더하기 기호가 생략된 후 두 기호 앞에는 어떤 기호가 표시됩니까? 대답은 그 자체로 암시됩니다. 둘 앞에 플러스가 있을 것입니다.

사실 괄호 안에도 둘 앞에 플러스가 있는데, 써있지 않아서 우리가 못 보는 거죠. 우리는 이미 양수의 완전한 표기법이 다음과 같다고 말했습니다. +1, +2, +3. 그러나 전통에 따르면 플러스는 기록되지 않기 때문에 우리에게 친숙한 양수가 표시됩니다. 1, 2, 3 .

따라서 표현식에서 괄호를 확장하려면 1+(2+3−4) , 평소와 같이 괄호 앞의 더하기 기호와 함께 괄호를 생략해야 하지만 괄호 안에 있는 첫 번째 용어는 더하기 기호와 함께 작성해야 합니다.

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

예시 4.표현식에서 괄호 확장 −5 + (2 − 3)

괄호 앞에 플러스가 있으므로 여는 괄호에 대한 첫 번째 규칙을 적용합니다. 즉, 이 괄호 앞에 오는 플러스와 함께 괄호를 생략합니다. 그러나 더하기 기호와 함께 괄호 안에 작성하는 첫 번째 용어는 다음과 같습니다.

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

실시예 5.표현식에서 괄호 확장 (−5)

괄호 앞에 플러스가 있는데 그 앞에 다른 숫자나 표현이 없었기 때문에 적지 않았습니다. 우리의 임무는 여는 괄호의 첫 번째 규칙을 적용하여 괄호를 제거하는 것입니다. 즉, 이 더하기와 함께 괄호를 생략하는 것입니다(보이지 않더라도).

실시예 6.표현식에서 괄호 확장 2a + (−6a + b)

괄호 앞에 플러스가 있는데, 이는 이 플러스가 괄호와 함께 생략된다는 의미입니다. 괄호 안의 내용은 변경되지 않고 기록됩니다.

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

실시예 7.표현식에서 괄호 확장 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

이 표현식에는 괄호를 확장해야 하는 두 곳이 있습니다. 두 섹션 모두 대괄호 앞에 플러스가 있습니다. 이는 이 플러스가 대괄호와 함께 생략된다는 의미입니다. 괄호 안의 내용은 변경되지 않고 기록됩니다.

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

괄호를 여는 두 번째 규칙

이제 괄호를 여는 두 번째 규칙을 살펴보겠습니다. 괄호 앞에 마이너스가 있을 때 사용됩니다.

괄호 앞에 마이너스가 있는 경우 이 마이너스는 괄호와 함께 생략되지만 괄호 안에 있는 용어는 부호를 반대 방향으로 변경합니다.

예를 들어 다음 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

괄호 앞에 마이너스가 있는 것을 알 수 있습니다. 즉, 두 번째 확장 규칙을 적용해야 합니다. 즉, 대괄호 앞에 있는 빼기 기호와 함께 대괄호를 생략해야 합니다. 이 경우 괄호 안의 용어는 부호가 반대로 변경됩니다.

괄호 없이 표현식을 얻었습니다. 5+2+3 . 이 표현식은 괄호가 포함된 이전 표현식이 10과 같았던 것처럼 10과 같습니다.

따라서 표현들 사이에는 5−(−2−3) 그리고 5+2+3 같은 값이므로 등호를 넣을 수 있습니다.

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

예시 2.표현식에서 괄호 확장 6 − (−2 − 5)

괄호 앞에 마이너스가 있으므로 여는 괄호에 대한 두 번째 규칙을 적용합니다. 즉, 괄호 앞에 오는 마이너스와 함께 괄호를 생략합니다. 이 경우 반대 기호와 함께 괄호 안에 있는 용어를 작성합니다.

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

예시 3.표현식에서 괄호 확장 2 − (7 + 3)

대괄호 앞에 마이너스가 있으므로 대괄호 여는 데 두 번째 규칙을 적용합니다.

예시 4.표현식에서 괄호 확장 −(−3 + 4)

실시예 5.표현식에서 괄호 확장 −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

괄호를 열어야 하는 곳은 두 곳입니다. 첫 번째 경우에는 괄호를 여는 데 두 번째 규칙을 적용해야 하며, 표현식의 경우 +(−9−2) 첫 번째 규칙을 적용해야 합니다.

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

실시예 6.표현식에서 괄호 확장 −(−a − 1)

실시예 7.표현식에서 괄호 확장 −(4a + 3)

실시예 8.표현식에서 괄호 확장 ㅏ − (4b + 3) + 15

실시예 9.표현식에서 괄호 확장 2a + (3b − b) − (3c + 5)

괄호를 열어야 하는 곳은 두 곳입니다. 첫 번째 경우에는 괄호를 여는 첫 번째 규칙을 적용해야 하며, 표현식의 경우 −(3c+5)두 번째 규칙을 적용해야 합니다.

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

실시예 10.표현식에서 괄호 확장 -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

브라켓을 열어야 할 곳은 세 곳이 있습니다. 먼저 괄호를 여는 데 두 번째 규칙을 적용한 다음 첫 번째 규칙, 두 번째 규칙을 다시 적용해야 합니다.

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a – 6b + 8c – 15

브래킷 개방 메커니즘

지금까지 살펴본 괄호 여는 규칙은 곱셈의 분배 법칙을 기반으로 합니다.

사실은 여는 괄호는 공통인수에 괄호 안의 각 항을 곱하는 절차입니다. 이 곱셈의 결과로 괄호가 사라집니다. 예를 들어 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다. 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

따라서 숫자에 괄호 안의 표현식을 곱해야 하는 경우(또는 괄호 안의 표현식에 숫자를 곱해야 하는 경우) 다음과 같이 말해야 합니다. 괄호를 열어보자.

그러면 곱셈의 분배 법칙은 앞서 살펴본 괄호 여는 규칙과 어떤 관련이 있습니까?

사실은 괄호 앞에 공통 요소가 있다는 것입니다. 예제에서는 3×(4+5)공통인자는 3 . 그리고 예에서는 에이(비+씨)공통인수는 변수이다 ㅏ.

괄호 앞에 숫자나 변수가 없으면 공통 인수는 다음과 같습니다. 1 또는 −1 , 괄호 앞에 어떤 기호가 있는지에 따라 다릅니다. 괄호 앞에 플러스가 있으면 공통 인수는 다음과 같습니다. 1 . 괄호 앞에 마이너스가 있으면 공통 인수는 다음과 같습니다. −1 .

예를 들어 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다. −(3b−1). 괄호 앞에 빼기 기호가 있으므로 괄호를 여는 두 번째 규칙, 즉 괄호 앞에 빼기 기호와 함께 괄호를 생략해야 합니다. 그리고 반대 기호와 함께 괄호 안에 있는 표현식을 작성하십시오.

괄호 확장 규칙을 사용하여 괄호를 확장했습니다. 그러나 이러한 동일한 괄호는 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 열 수 있습니다. 이렇게 하려면 먼저 괄호 앞에 기록되지 않은 공통 인수 1을 씁니다.

이전에 괄호 앞에 있던 빼기 기호는 이 장치를 나타냅니다. 이제 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 열 수 있습니다. 이를 위해 공통 인수 −1 괄호 안의 각 항을 곱하고 결과를 더해야 합니다.

편의상 괄호 안의 차이를 금액으로 대체합니다.

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

지난번처럼 우리는 표현을 받았습니다 −3b+1. 이번에는 그러한 간단한 예를 해결하는 데 더 많은 시간이 소요되었다는 데 모두가 동의할 것입니다. 따라서 이 단원에서 논의한 대로 여는 괄호에 대해 미리 만들어진 규칙을 사용하는 것이 더 현명합니다.

그러나 이러한 규칙이 어떻게 작동하는지 아는 것은 나쁠 것이 없습니다.

이번 강의에서 우리는 또 다른 동일한 변환을 배웠습니다. 괄호를 열고 일반을 괄호에서 빼내고 유사한 용어를 가져오는 것과 함께 해결해야 할 문제의 범위를 조금 확장할 수 있습니다. 예를 들어:

여기서는 두 가지 작업을 수행해야 합니다. 먼저 괄호를 연 다음 유사한 용어를 가져옵니다. 따라서 순서대로:

1) 브래킷을 엽니다.

2) 유사한 용어를 제시합니다.

결과 표현식에서 −10b+(−1)대괄호를 확장할 수 있습니다.

예시 2.괄호를 열고 다음 표현식에 유사한 용어를 추가합니다.

1) 괄호를 열어 보겠습니다.

2) 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.이번에는 시간과 공간을 절약하기 위해 계수에 공통 문자 부분을 어떻게 곱하는지 쓰지 않겠습니다.

예시 3.표현식 단순화 8m+3m그리고 그 가치를 찾아보세요 m=−4

1) 먼저 표현을 단순화해보자. 표현을 단순화하려면 8m+3m, 당신은 그것의 공통 인수를 꺼낼 수 있습니다 중대괄호 외부:

2) 표현식의 값을 찾으십시오. 엠(8+3)~에 m=−4. 이를 위해서는 표현식에서 엠(8+3)변수 대신 중숫자를 대체하다 −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44