유리 방정식의 일반적인 견해. 유리방정식 – Knowledge Hypermarket

24.09.2019

수업 목표:

교육적인:

분수 유리 방정식의 개념 형성;
분수 유리 방정식을 풀기 위한 다양한 방법을 고려합니다.
분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.
테스트를 통해 주제의 숙달 정도를 확인합니다.

발달:

습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 사고하는 능력을 개발합니다.
지적 기술 및 정신적 작업 개발 - 분석, 종합, 비교 및 일반화;
주도력 개발, 결정을 내리는 능력, 그리고 거기서 멈추지 않습니다.
비판적 사고의 발달;
연구 능력 개발.

교육:

주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명입니다.

수업 중에는

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( 비에타의 정리와 추론을 사용한 공식을 사용하여 완전한 정사각형 분리.)
비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

이제 다음 방법 중 하나를 사용하여 방정식 7을 풀어보세요.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
엑스 3 =5 엑스 4 =-2			엑스 3 =5 엑스 4 =-2
답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외래근이라는 개념을 접한 적이 없었기 때문에 이런 일이 발생한 이유를 이해하는 것이 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

방정식 번호 2와 4는 방정식 번호 5,6,7과 어떻게 다른가요? ( 방정식 2번과 4번은 분모에 숫자가 있고, 5~7번은 변수가 있는 수식이다..)
방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5이면 x(x-5)=0입니다. 이는 5가 외부 근임을 의미합니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
분수를 공통 분모로 줄이세요.
시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
방정식을 풀어보세요.
외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱하는 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해법에 추가: 공통 분모를 사라지게 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오).

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 – 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 – 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1;1.5.

5. 숙제 설정.

교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
노트 번호 600(a, d, e)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).
696(a)번(선택 사항)을 풀어보세요.

6. 연구 주제에 대한 제어 작업을 완료합니다.

작업은 종이 조각으로 이루어집니다.

예시 작업:

A) 어떤 방정식이 분수 유리합니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________이면 분수는 0과 같습니다.

Q) 숫자 -3이 방정식 6의 근본인가요?

D) 방정식 7번을 푼다.

과제 평가 기준:

학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 주어집니다.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2”는 과제를 50% 미만 완료한 학생에게 주어집니다.
저널에는 2등급이 주어지지 않으며, 3등급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립 워크시트에 다음을 적습니다:

1 – 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬웠는지 여부
2 – 흥미롭지만 명확하지 않습니다.
3 – 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
4 – 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고 이러한 방정식을 다양한 방법으로 해결하는 방법을 배웠으며 독립적인 교육 활동의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 다음 수업에서는 독립적인 작업의 결과를 배우고 집에서 지식을 통합할 기회를 갖게 됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 방법 중 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근하기 쉽고, 더 합리적이라고 생각하시나요? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 무엇을 기억해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.

계속 이야기해 볼까요 방정식 풀기. 이 기사에서는 다음에 대해 자세히 설명합니다. 유리 방정식그리고 하나의 변수로 유리방정식을 푸는 원리. 먼저, 유리성이라고 불리는 방정식의 유형을 파악하고 전체 유리성 및 분수 유리성 방정식에 대한 정의를 제공하고 예를 들어 보겠습니다. 다음으로 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 얻고, 물론 필요한 모든 설명과 함께 일반적인 예에 대한 솔루션을 고려할 것입니다.

페이지 탐색.

명시된 정의를 기반으로 유리 방정식의 몇 가지 예를 제공합니다. 예를 들어, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, 는 모두 유리방정식입니다.

표시된 예에서 다른 유형의 방정식뿐만 아니라 유리 방정식도 하나의 변수를 사용하거나 2개, 3개 등을 사용할 수 있음이 분명합니다. 변수. 다음 단락에서는 하나의 변수를 사용하여 유리 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 두 변수의 방정식 풀기그리고 그들의 많은 수는 특별한 관심을 받을 가치가 있습니다.

유리 방정식은 미지 변수의 수로 나누는 것 외에도 정수와 분수로 나누어집니다. 이에 상응하는 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

유리 방정식은 다음과 같습니다. 전체, 왼쪽과 오른쪽이 모두 정수 유리식인 경우.

정의.

유리 방정식의 부분 중 적어도 하나가 분수 표현인 경우, 그러한 방정식을 호출합니다. 부분적으로 합리적인(또는 분수 합리적).

전체 방정식에는 변수에 의한 나눗셈이 포함되지 않는다는 것이 분명합니다; 반대로 분수 유리 방정식에는 반드시 변수(또는 분모에 있는 변수)에 의한 나눗셈이 포함됩니다. 따라서 3 x+2=0이고 (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– 이것은 전체 유리 방정식이고 두 부분 모두 전체 표현입니다. A와 x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5는 분수 유리 방정식의 예입니다.

결론적으로 지금까지 알려진 1차방정식과 2차방정식은 모두 유리방정식이라는 점에 주목하자.

전체 방정식 풀기

전체 방정식을 푸는 주요 접근법 중 하나는 방정식을 동등한 방정식으로 줄이는 것입니다. 대수 방정식. 이는 항상 다음과 같은 등가 방정식 변환을 수행하여 수행할 수 있습니다.

먼저, 원래 정수 방정식의 우변에 있던 표현식을 반대 부호를 사용하여 좌변으로 옮겨 우변에 0을 얻습니다.
그 후, 방정식의 왼쪽에는 결과 표준 형식이 있습니다.

결과는 원래 정수 방정식과 동일한 대수 방정식입니다. 따라서 가장 간단한 경우 전체 방정식을 푸는 것은 1차 또는 2차 방정식을 푸는 것으로 축소되고, 일반적인 경우에는 n차 대수 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. 명확성을 위해 예제에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

전체 방정식의 근을 찾아보세요 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

해결책.

이 전체 방정식의 해를 등가 대수 방정식의 해로 줄여보겠습니다. 이를 위해 먼저 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 결과적으로 방정식에 도달합니다. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. 둘째, 필요한 작업을 완료하여 왼쪽에 형성된 표현식을 표준 형식 다항식으로 변환합니다. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. 따라서 원래의 정수 방정식을 푸는 것은 2차 방정식 x 2 −5·x−6=0을 푸는 것으로 축소됩니다.

우리는 판별식을 계산합니다 D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, 이는 양수입니다. 이는 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미하며, 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

완전히 확신하려면 해보자 방정식의 발견된 근을 확인. 먼저 루트 6을 확인하고 원래 정수 방정식의 변수 x 대신 이를 대체합니다. 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, 이는 동일합니다. 63=63입니다. 이것은 유효한 수치 방정식이므로 x=6이 실제로 방정식의 근입니다. 이제 루트 −1을 확인합니다. 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, 여기서 0=0 입니다. x=−1일 때 원래 방정식도 올바른 수치 등식으로 바뀌므로 x=−1도 방정식의 근이 됩니다.

답변:

6 , −1 .

여기서, "전체 방정식의 차수"라는 용어는 대수 방정식의 형태로 전체 방정식을 표현하는 것과 연관되어 있다는 점도 주목해야 합니다. 해당 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

전체 방정식의 힘등가 대수 방정식의 차수라고 합니다.

이 정의에 따르면 이전 예의 전체 방정식은 2차를 갖습니다.

이것은 전체 유리 방정식 풀이의 끝일 수도 있었습니다. 알려진 바와 같이, 두 번째 이상의 대수 방정식을 푸는 것은 상당한 어려움과 관련이 있으며, 네 번째 이상의 차수 방정식의 경우 일반적인 루트 공식이 전혀 없습니다. 따라서 3차, 4차 및 그 이상 차수의 전체 방정식을 풀려면 다른 솔루션 방법을 사용해야 하는 경우가 많습니다.

그러한 경우, 다음을 기반으로 전체 유리 방정식을 푸는 접근 방식은 다음과 같습니다. 인수분해 방법. 이 경우 다음 알고리즘이 준수됩니다.

먼저 그들은 방정식의 오른쪽에 0이 있는지 확인하고, 이를 위해 전체 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 옮깁니다.
그런 다음 왼쪽의 결과 표현식은 여러 요소의 곱으로 표시되므로 몇 가지 간단한 방정식 세트로 이동할 수 있습니다.

전체 방정식을 인수분해를 통해 해결하기 위해 주어진 알고리즘은 예제를 통한 자세한 설명이 필요합니다.

예.

전체 방정식을 풀어보세요 (엑스 2 −1)·(엑스 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

해결책.

먼저 평소와 같이 기호를 변경하는 것을 잊지 않고 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 옮깁니다. (엑스 2 −1)·(엑스 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . 여기서 결과 방정식의 왼쪽을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 바람직하지 않다는 것이 매우 명백합니다. 왜냐하면 이는 형식의 4차 대수 방정식을 제공하기 때문입니다. x4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, 해결책이 어렵습니다.

반면에, 결과 방정식의 왼쪽에서 x 2 −10 x+13 을 얻을 수 있으므로 이를 곱으로 표시할 수 있다는 것이 분명합니다. 우리는 (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. 결과 방정식은 원래의 전체 방정식과 동일하며, 다시 두 개의 이차 방정식 x 2 −10·x+13=0 및 x 2 −2·x−1=0의 집합으로 대체될 수 있습니다. 판별식을 통해 알려진 근 공식을 사용하여 근을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 근은 동일합니다. 이는 원래 방정식의 원하는 근입니다.

답변:

전체 유리 방정식을 푸는 데에도 유용합니다. 새로운 변수를 도입하는 방법. 어떤 경우에는 원래 전체 방정식의 차수보다 차수가 낮은 방정식으로 이동할 수 있습니다.

예.

유리 방정식의 실제 근을 찾아보세요 (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

해결책.

이 전체 유리 방정식을 대수 방정식으로 줄이는 것은 가볍게 말하면 그다지 좋은 생각이 아닙니다. 이 경우 유리근이 없는 4차 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 따라서 다른 솔루션을 찾아야 합니다.

여기서는 새로운 변수 y를 도입하고 x 2 +3·x 표현식을 그것으로 대체할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 대체는 전체 방정식 (y+1) 2 +10=−2·(y−4) 로 이어지며, 이는 표현식 −2·(y−4)를 왼쪽으로 이동한 후 표현식을 변환한 후입니다. 거기에서 형성된 는 2차 방정식 y 2 +4·y+3=0으로 감소됩니다. 이 방정식 y=−1 및 y=−3의 근은 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 Vieta 정리의 역수 정리를 기반으로 선택할 수 있습니다.

이제 새로운 변수를 도입하는 방법의 두 번째 부분, 즉 역치환을 수행하는 단계로 넘어갑니다. 역치환을 수행한 후 두 방정식 x 2 +3 x=−1 및 x 2 +3 x=−3을 얻습니다. 이는 x 2 +3 x+1=0 및 x 2 +3 x+3으로 다시 쓸 수 있습니다. =0 . 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 첫 번째 방정식의 근을 찾습니다. 그리고 두 번째 이차 방정식에는 판별식이 음수(D=3 2 −4·3=9−12=−3 )이므로 실수 근이 없습니다.

답변:

일반적으로 우리가 높은 수준의 전체 방정식을 다룰 때, 우리는 이를 해결하기 위해 항상 비표준 방법이나 인위적인 기술을 찾을 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식 풀기

먼저, p(x)와 q(x)가 정수 유리식인 형식의 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 이해하는 것이 유용할 것입니다. 그런 다음 다른 분수 유리 방정식의 해를 표시된 유형의 방정식 해로 줄이는 방법을 보여줍니다.

방정식을 푸는 한 가지 접근 방식은 다음 설명에 기반합니다. 여기서 v는 0이 아닌 숫자(그렇지 않으면 정의되지 않은 를 만나게 됩니다)는 분자가 다음과 같은 경우에만 0과 같습니다. 0과 같으면 u=0인 경우에만 입니다. 이 진술 덕분에 방정식을 푸는 것은 두 가지 조건 p(x)=0 및 q(x)≠0을 충족하는 것으로 축소됩니다.

이 결론은 다음과 같습니다. 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘. 형식의 분수 유리 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

전체 유리 방정식 p(x)=0 을 푼다;
발견된 각 근에 대해 조건 q(x)≠0이 충족되는지 확인합니다.

참이면 이 근은 원래 방정식의 근이 됩니다.
만족되지 않으면 이 근은 외부입니다. 즉, 원래 방정식의 근이 아닙니다.

분수 유리 방정식을 풀 때 발표된 알고리즘을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

이것은 분수 유리 방정식이며 형식입니다. 여기서 p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0입니다.

이러한 유형의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘에 따르면 먼저 방정식 3 x−2=0을 풀어야 합니다. 이것은 근이 x=2/3인 선형 방정식입니다.

이 근을 확인하는 것이 남아 있습니다. 즉, 조건 5 x 2 −2≠0을 만족하는지 확인하는 것입니다. 우리는 숫자 2/3을 x 대신에 5 x 2 −2라는 표현으로 대체하고 를 얻습니다. 조건이 충족되었으므로 x=2/3이 원래 방정식의 근이 됩니다.

답변:

2/3 .

약간 다른 위치에서 분수 유리 방정식을 푸는 데 접근할 수 있습니다. 이 방정식은 원래 방정식의 변수 x에 대한 정수 방정식 p(x)=0과 동일합니다. 즉, 당신은 이것에 충실할 수 있습니다 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘 :

방정식 p(x)=0 을 푼다;
변수 x의 ODZ를 찾습니다.
허용 가능한 값의 영역에 속하는 뿌리를 취하십시오. 이는 원래 분수 유리 방정식의 원하는 뿌리입니다.

예를 들어, 이 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 풀어보겠습니다.

예.

방정식을 풀어보세요.

해결책.

먼저, 이차방정식 x 2 −2·x−11=0을 푼다. 그 근은 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, 그리고 .

둘째, 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ를 찾습니다. 이는 x 2 +3·x≠0인 모든 숫자로 구성되며 이는 x·(x+3)≠0과 동일하며 x≠0, x≠−3입니다.

첫 번째 단계에서 찾은 루트가 ODZ에 포함되어 있는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 분명히 그렇습니다. 따라서 원래의 분수 유리 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

이 접근 방식은 ODZ를 쉽게 찾을 수 있는 경우 첫 번째 방법보다 수익성이 더 높으며, 방정식 p(x) = 0의 근이 무리수(예: 합리적이지만 분자가 크고 분자가 비교적 큰 경우)에 특히 유용합니다. /또는 분모(예: 127/1101 및 −31/59)입니다. 이는 그러한 경우 조건 q(x)≠0을 확인하는 데 상당한 계산 노력이 필요하고 ODZ를 사용하여 외부 근을 제외하는 것이 더 쉽다는 사실 때문입니다.

다른 경우, 방정식을 풀 때, 특히 방정식 p(x) = 0의 근이 정수인 경우, 주어진 알고리즘 중 첫 번째 알고리즘을 사용하는 것이 더 유리합니다. 즉, ODZ를 구해서 방정식을 푸는 것보다, 전체 방정식 p(x)=0의 근을 바로 구한 후, q(x)≠0이라는 조건을 만족하는지 확인하는 것이 바람직하다. 이 ODZ에서는 p(x)=0입니다. 이는 일반적으로 DZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

지정된 뉘앙스를 설명하기 위해 두 가지 예의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

먼저, 전체 방정식의 근을 찾아봅시다 (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, 분수의 분자를 사용하여 구성됩니다. 이 방정식의 좌변은 곱, 우변은 0이므로 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법에 따르면 이 방정식은 4개의 방정식 2 x−1=0 , x−6= 의 집합과 같습니다. 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . 이 방정식 중 3개는 1차 방정식이고 하나는 2차 방정식이므로 풀 수 있습니다. 첫 번째 방정식에서 x=1/2, 두 번째 방정식에서 - x=6, 세 번째 방정식에서 - x=7, x=−2, 네 번째 방정식에서 - x=−1을 찾습니다.

근을 찾으면 원래 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 사라지는지 확인하는 것이 매우 쉽지만 반대로 ODZ를 결정하는 것은 그렇게 간단하지 않습니다. 5차 대수 방정식. 그러므로 우리는 루트를 확인하기 위해 ODZ 찾기를 포기할 것입니다. 이를 위해 표현식의 변수 x 대신 하나씩 대체합니다. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, 대입 후 얻은 값을 0과 비교합니다. (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

따라서 1/2, 6 및 −2는 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근이고 7과 −1은 외부 근입니다.

답변:

1/2 , 6 , −2 .

예.

분수 유리 방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

먼저 방정식의 근을 찾아보자. (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. 이 방정식은 정사각형 5 x 2 −7 x−1=0 및 선형 x−2=0의 두 방정식 세트와 동일합니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 두 개의 근을 찾고 두 번째 방정식에서 x=2를 얻습니다.

발견된 x 값에서 분모가 0이 되는지 확인하는 것은 상당히 불쾌합니다. 그리고 원래 방정식에서 변수 x의 허용 가능한 값 범위를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 따라서 우리는 ODZ를 통해 행동할 것입니다.

우리의 경우 원래 분수 유리식의 변수 x의 ODZ는 x 2 +5·x−14=0 조건을 만족하는 숫자를 제외한 모든 숫자로 구성됩니다. 이 이차 방정식의 근은 x=−7 및 x=2이며, 여기에서 ODZ에 대한 결론을 도출합니다. ODZ는 모든 x로 구성됩니다.

찾은 근과 x=2가 허용 가능한 값 범위에 속하는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 근은 속하므로 원래 방정식의 근이고 x=2는 속하지 않으므로 외부 근입니다.

답변:

또한 형식의 분수 유리 방정식에서 분자에 숫자가 있는 경우, 즉 p(x)가 어떤 숫자로 표시되는 경우를 별도로 살펴보는 것도 유용할 것입니다. 여기서

이 숫자가 0이 아닌 경우 방정식에는 근이 없습니다. 분수는 분자가 0인 경우에만 0과 같기 때문입니다.
이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자입니다.

예.

해결책.

방정식 왼쪽에 있는 분수의 분자에는 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으므로 x에 대해 이 분수의 값은 0과 같을 수 없습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 없습니다.

답변:

뿌리가 없습니다.

예.

방정식을 풀어보세요.

해결책.

이 분수 유리 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분자는 0을 포함하므로 이 분수의 값은 그것이 의미가 있는 모든 x에 대해 0입니다. 즉, 이 방정식의 해는 이 변수의 ODZ에서 x 값을 구하는 것입니다.

허용 가능한 값의 범위를 결정하는 것은 남아 있습니다. 여기에는 x 4 +5 x 3 ≠0인 x의 모든 값이 포함됩니다. 방정식 x 4 +5 x 3 =0의 해는 0과 −5입니다. 이 방정식은 방정식 x 3 (x+5)=0과 동일하고 두 방정식 x의 조합과 동일하기 때문입니다. 3 =0 및 x +5=0, 여기서 이러한 근이 표시됩니다. 따라서 허용 가능한 값의 원하는 범위는 x=0 및 x=-5를 제외한 모든 x입니다.

따라서 분수 유리 방정식에는 0과 -5를 제외한 모든 숫자인 무한히 많은 해가 있습니다.

답변:

마지막으로 임의 형식의 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 대해 이야기할 시간입니다. r(x)=s(x)로 쓸 수 있습니다. 여기서 r(x)와 s(x)는 유리식이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 앞을 내다보면 그들의 해결책이 우리에게 이미 친숙한 형식의 방정식을 푸는 것으로 귀결된다고 가정해 보겠습니다.

반대 부호를 사용하여 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 전달하면 등가 방정식이 되는 것으로 알려져 있으므로 방정식 r(x)=s(x)는 방정식 r(x)−s(x)와 동일합니다. )=0.

우리는 또한 이 표현식과 동일하게 모든 가 가능하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 우리는 항상 방정식 r(x)−s(x)=0의 왼쪽에 있는 유리식을 형식의 동일하게 동일한 유리 분수로 변환할 수 있습니다.

그래서 우리는 원래의 분수 유리 방정식 r(x)=s(x)에서 방정식으로 이동하고, 위에서 알아낸 것처럼 그 해는 방정식 p(x)=0을 푸는 것으로 줄어듭니다.

그러나 여기서는 r(x)−s(x)=0을 로 바꾸고 p(x)=0으로 바꾸면 변수 x의 허용 값 범위가 확장될 수 있다는 사실을 고려해야 합니다. .

결과적으로 원래 방정식 r(x)=s(x)와 우리가 도달한 방정식 p(x)=0은 동일하지 않은 것으로 판명될 수 있으며 방정식 p(x)=0을 풀면 근을 얻을 수 있습니다. 이는 원래 방정식 r(x)=s(x) 의 외부 근이 됩니다. 확인을 수행하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는지 확인하여 답에 관련 없는 근을 식별하고 포함하지 않을 수 있습니다.

이 정보를 다음과 같이 요약해 보겠습니다. 분수 유리 방정식 r(x)=s(x)를 풀기 위한 알고리즘. 분수 유리 방정식 r(x)=s(x) 를 풀려면 다음이 필요합니다.

반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 이동하여 오른쪽에서 0을 얻습니다.
방정식의 왼쪽에서 분수와 다항식을 사용하여 연산을 수행하여 이를 유리 분수 형식으로 변환합니다.
방정식 p(x)=0을 풉니다.
외부 근을 원래 방정식에 대입하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는지 확인하여 외부 근을 식별하고 제거합니다.

더 명확하게 하기 위해 분수 유리 방정식을 푸는 전체 체인을 보여 드리겠습니다.
.

주어진 정보 블록을 명확히 하기 위해 솔루션 프로세스에 대한 자세한 설명과 함께 여러 예의 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

분수 유리 방정식을 푼다.

해결책.

우리는 방금 얻은 솔루션 알고리즘에 따라 행동하겠습니다. 먼저 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 항을 이동하고 결과적으로 방정식으로 이동합니다.

두 번째 단계에서는 결과 방정식의 왼쪽에 있는 분수 유리식을 분수 형태로 변환해야 합니다. 이를 위해 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 결과 표현식을 단순화합니다. 그래서 우리는 방정식에 도달합니다.

다음 단계에서는 방정식 −2·x−1=0을 풀어야 합니다. 우리는 x=−1/2를 찾았습니다.

발견된 숫자 −1/2가 원래 방정식의 외부 근이 아닌지 확인하는 것이 남아 있습니다. 이를 위해 원래 방정식의 변수 x의 VA를 확인하거나 찾을 수 있습니다. 두 가지 접근 방식을 모두 살펴보겠습니다.

확인부터 시작하겠습니다. 변수 x 대신 숫자 −1/2를 원래 방정식에 대입하면 동일한 결과인 −1=−1을 얻습니다. 대체는 올바른 수치적 동등성을 제공하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 근이 됩니다.

이제 ODZ를 통해 알고리즘의 마지막 지점이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다. 원래 방정식의 허용값 범위는 -1과 0을 제외한 모든 숫자의 집합입니다(x=-1 및 x=0에서는 분수의 분모가 사라집니다). 이전 단계에서 찾은 근 x=−1/2는 ODZ에 속하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 근입니다.

답변:

−1/2 .

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

분수 유리 방정식을 풀어야 합니다. 알고리즘의 모든 단계를 살펴보겠습니다.

먼저, 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하면 가 됩니다.

둘째, 왼쪽에 형성된 표현식을 변환합니다. 결과적으로 우리는 방정식 x=0에 도달합니다.

그 뿌리는 분명합니다. 그것은 0입니다.

네 번째 단계에서는 발견된 근이 원래의 분수 유리 방정식과 관련이 없는지 여부를 알아내는 것이 남아 있습니다. 이를 원래의 방정식에 대입하면 식이 된다. 분명히 0으로 나누기가 포함되어 있기 때문에 의미가 없습니다. 여기서 우리는 0이 외부 근이라는 결론을 내립니다. 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

7은 식으로 이어진다. 이것으로부터 우리는 좌변의 분모의 표현이 우변의 표현과 동일해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이제 우리는 트리플의 양쪽에서 뺍니다: . 비유하자면, 어디에서, 그리고 더 멀리.

확인 결과, 발견된 두 근이 모두 원래 분수 유리 방정식의 근인 것으로 나타났습니다.

답변:

서지.

대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
모르드코비치 A.G.대수학. 8 학년. 2시간 후 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 11판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2009. - 215 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01155-2.
대수학: 9학년: 교육적. 일반 교육용 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2009. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-021134-5.

"다항식이 있는 유리 방정식"은 수학 통합 상태 시험 테스트 과제에서 가장 일반적인 주제 중 하나입니다. 이러한 이유로 반복에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 많은 학생들이 판별식을 찾고, 지표를 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 방정식을 공통 분모로 가져오는 문제에 직면하고 있으며, 이것이 바로 이러한 작업을 완료하는 데 어려움을 겪는 이유입니다. 저희 웹사이트에서 통합 상태 시험을 준비하면서 유리 방정식을 풀면 복잡한 문제에 신속하게 대처하고 성공적으로 시험을 통과하는 데 도움이 될 것입니다.

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간단히 말해서 분모에 하나 이상의 변수가 있는 방정식입니다.

예를 들어:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

예 아니다분수 유리 방정식:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

분수 유리 방정식은 어떻게 해결되나요?

분수 유리 방정식에 대해 기억해야 할 가장 중요한 점은 방정식을 작성해야 한다는 것입니다. 그리고 뿌리를 찾은 후에는 허용 여부를 확인하십시오. 그렇지 않으면 외부 뿌리가 나타날 수 있으며 전체 결정이 잘못된 것으로 간주됩니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

ODZ를 기록하고 "해결"합니다.

방정식의 각 항에 공통 분모를 곱하고 결과 분수를 취소합니다. 분모가 사라질 것입니다.

괄호를 열지 않고 방정식을 쓰세요.

결과 방정식을 푼다.

발견된 루트를 ODZ로 확인하세요.

7단계의 테스트를 통과한 어근을 답에 적어보세요.

알고리즘을 외우지 마세요. 3~5개의 방정식을 풀면 저절로 기억됩니다.

예 . 분수 유리 방정식 풀기 \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

해결책:

답변: \(3\).

예 . 분수 유리 방정식 \(=0\)의 근을 구합니다.

해결책:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		우리는 ODZ를 기록하고 "해결"합니다. \(x^2+7x+10\)을 다음 공식에 따라 확장합니다: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). 다행스럽게도 우리는 이미 \(x_1\)과 \(x_2\)를 찾았습니다.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		분명히 분수의 공통 분모는 \((x+2)(x+5)\)입니다. 우리는 전체 방정식에 이를 곱합니다.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		분수 줄이기
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		브래킷 열기
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		비슷한 용어를 제시합니다
\(2x^2+9x-5=0\)		방정식의 근원 찾기
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		루트 중 하나가 ODZ에 맞지 않으므로 답에 두 번째 루트만 씁니다.

답변: \(\frac(1)(2)\).

이번 글에서는 보여드리겠습니다 7가지 유형의 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘, 이는 변수를 변경하여 2차로 줄일 수 있습니다. 대부분의 경우 교체로 이어지는 변형은 매우 사소하지 않으며 스스로 추측하기가 매우 어렵습니다.

각 방정식 유형에 대해 변수를 변경하는 방법을 설명한 다음 해당 비디오 튜토리얼에서 자세한 솔루션을 보여 드리겠습니다.

방정식을 계속해서 직접 풀 수 있는 기회가 주어지며, 비디오 강의를 통해 해법을 확인할 수 있습니다.

그럼 시작해 보겠습니다.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

방정식의 왼쪽에는 4개의 괄호의 곱이 있고 오른쪽에는 숫자가 있습니다.

1. 자유 항의 합이 동일하도록 괄호를 2개로 그룹화해 보겠습니다.

2. 그것들을 곱하세요.

3. 변수의 변화를 소개하겠습니다.

방정식에서 (-1)+(-4)=(-7)+2이므로 첫 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로 그룹화합니다.

이 시점에서 변수 대체가 명확해집니다.

우리는 방정식을 얻습니다

답변:

2 .

이 유형의 방정식은 한 가지 차이점을 제외하고 이전 방정식과 유사합니다. 방정식의 오른쪽에는 숫자와 의 곱이 있습니다. 그리고 이는 완전히 다른 방식으로 해결됩니다.

1. 자유 조건의 곱이 동일하도록 괄호를 두 개로 그룹화합니다.

2. 각 괄호 쌍을 곱합니다.

3. 각 요인에서 x를 빼냅니다.

4. 방정식의 양변을 로 나눕니다.

5. 변수의 변화를 소개합니다.

이 방정식에서는 첫 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로 그룹화합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

각 괄호에서 계수와 자유 항은 동일합니다. 각 괄호에서 요소를 추출해 보겠습니다.

x=0은 원래 방정식의 근이 아니므로 방정식의 양변을 로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 방정식을 얻습니다.

답변:

3 .

두 분수의 분모에는 최고차 계수와 자유 항이 동일한 2차 삼항식이 포함되어 있습니다. 두 번째 유형의 방정식에서와 같이 괄호에서 x를 제거해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

각 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.

이제 변수 대체를 도입할 수 있습니다.

변수 t에 대한 방정식을 얻습니다.

4 .

방정식의 계수는 중앙 계수에 대해 대칭입니다. 이 방정식은 반품 가능 .

그것을 해결하려면,

1. 방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다. (x=0이 방정식의 근이 아니기 때문에 이렇게 할 수 있습니다.) 다음을 얻습니다.

2. 다음과 같이 용어를 그룹화해 보겠습니다.

3. 각 그룹에서 괄호 안의 공통인수를 빼봅시다.

4. 대체품을 소개하겠습니다.

5. t를 통해 다음 표현식을 표현합니다.

여기에서

우리는 t에 대한 방정식을 얻습니다.

답변:

5. 동차 방정식.

지수방정식, 대수방정식, 삼각방정식을 풀 때 동질적인 구조를 갖는 방정식을 만날 수 있으므로 이를 인식할 수 있어야 합니다.

동종 방정식의 구조는 다음과 같습니다.

이 등식에서 A, B, C는 숫자이고 사각형과 원은 동일한 표현을 나타냅니다. 즉, 동차방정식의 좌변에는 같은 차수의 단항식의 합(이 경우 단항식의 차수는 2)이 있고, 자유항은 존재하지 않습니다.

동차 방정식을 풀려면 양변을 다음으로 나눕니다.

주목! 미지수가 포함된 식으로 방정식의 우변과 좌변을 나누면 근을 잃을 수 있습니다. 그러므로 방정식의 양변을 나누는 식의 근이 원래 방정식의 근인지 확인하는 것이 필요하다.

첫 번째 길로 갑시다. 우리는 방정식을 얻습니다.

이제 변수 교체를 소개합니다.

표현식을 단순화하고 t에 대한 2차 방정식을 구해 보겠습니다.

답변:또는

7 .

이 방정식의 구조는 다음과 같습니다.

이를 해결하려면 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택해야 합니다.

완전한 정사각형을 선택하려면 곱의 두 배를 더하거나 빼야 합니다. 그런 다음 합계 또는 차이의 제곱을 얻습니다. 이는 성공적인 변수 교체에 매우 중요합니다.

제품을 두 번 찾는 것부터 시작하겠습니다. 이것이 변수 교체의 핵심이 될 것입니다. 우리 방정식에서 곱의 두 배는 다음과 같습니다.

이제 합의 제곱 또는 차이 중 무엇이 더 편리한지 알아봅시다. 먼저 표현식의 합을 고려해 보겠습니다.

엄청난! 이 표현은 곱의 두 배와 정확히 같습니다. 그런 다음 괄호 안의 합계의 제곱을 얻으려면 이중 곱을 더하고 빼야 합니다.