불평등 사례에 대한 솔루션. 2차 부등식 풀기

불평등과 불평등 체계는 고등학교 대수학에서 다루는 주제 중 하나입니다. 난이도 측면에서는 간단한 규칙이 있기 때문에 가장 어렵지는 않습니다(조금 나중에 자세히 설명합니다). 일반적으로 학생들은 불평등 시스템을 아주 쉽게 해결하는 방법을 배웁니다. 이는 또한 교사가 이 주제에 대해 학생들을 단순히 "훈련"한다는 사실 때문이기도 합니다. 그리고 그들은 이것을 할 수밖에 없습니다. 왜냐하면 그것은 미래에 다른 수학적 수량을 사용하여 연구되고 통합 상태 시험과 통합 상태 시험에서도 테스트되기 때문입니다. 학교 교과서에는 불평등과 불평등 시스템에 대한 주제가 매우 자세하게 다루어져 있으므로, 공부할 예정이라면 그에 의지하는 것이 가장 좋습니다. 이 글은 더 큰 내용만을 요약한 것이므로 일부 누락된 내용이 있을 수 있습니다.

불평등 시스템의 개념

과학적 언어로 전환하면 "불평등 시스템"이라는 개념을 정의할 수 있습니다. 이것은 여러 불평등을 나타내는 수학적 모델입니다. 물론 이 모델에는 솔루션이 필요하며 이는 작업에서 제안된 시스템의 모든 불평등에 대한 일반적인 대답이 될 것입니다(일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. "부등식 시스템 4 x + 1 > 2 및 30 - x > 6... "). 그러나 솔루션의 유형과 방법으로 넘어가기 전에 다른 것을 이해해야 합니다.

부등식 및 방정식 시스템

새로운 주제를 배울 때 종종 오해가 발생합니다. 한편으로는 모든 것이 명확하고 가능한 한 빨리 작업 해결을 시작하고 싶지만 다른 한편으로는 일부 순간이 "그림자"에 남아 완전히 이해되지 않습니다. 또한 이미 습득한 지식의 일부 요소가 새로운 지식과 얽힐 수도 있습니다. 이러한 "겹침"으로 인해 오류가 자주 발생합니다.

따라서 주제 분석을 시작하기 전에 방정식과 부등식 및 해당 시스템의 차이점을 기억해야 합니다. 이를 위해서는 이러한 수학적 개념이 무엇을 나타내는지 다시 한 번 설명할 필요가 있습니다. 방정식은 항상 동일하며 항상 무언가와 동일합니다(수학에서 이 단어는 "=" 기호로 표시됨). 불평등은 한 값이 다른 값보다 크거나 작거나 동일하지 않다는 진술을 포함하는 모델입니다. 따라서 첫 번째 경우에는 평등에 대해 이야기하는 것이 적절하고 두 번째 경우에는 이름 자체에서 아무리 분명하게 들리더라도 초기 데이터의 불평등에 대해 이야기하는 것이 적절합니다. 방정식과 부등식의 체계는 실질적으로 서로 다르지 않으며 이를 해결하는 방법도 동일합니다. 유일한 차이점은 첫 번째 경우에는 평등이 사용되고 두 번째 경우에는 불평등이 사용된다는 것입니다.

불평등의 유형

부등식에는 수치적 부등식과 변수를 알 수 없는 부등식의 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째 유형은 서로 동일하지 않은 제공된 수량(숫자)을 나타냅니다(예: 8 > 10). 두 번째 유형은 알 수 없는 변수(라틴 알파벳 문자, 대부분 X로 표시됨)를 포함하는 부등식입니다. 이 변수를 찾아야 합니다. 수학적 모델은 얼마나 많은지에 따라 하나의 불평등(하나의 변수로 불평등 시스템을 구성함) 또는 여러 변수(여러 변수로 불평등 시스템을 구성함)를 구별합니다.

마지막 두 가지 유형은 구성 정도와 솔루션의 복잡성 수준에 따라 단순 유형과 복합 유형으로 구분됩니다. 단순한 것은 선형 불평등이라고도 합니다. 차례로 엄격한 것과 엄격하지 않은 것으로 나뉩니다. 엄격한 사람들은 특히 한 양이 반드시 더 적거나 많아야 한다고 "말"하므로 이는 순수한 불평등입니다. 몇 가지 예가 주어질 수 있습니다: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 등. 엄격하지 않은 것에는 동등성도 포함됩니다. 즉, 한 값은 다른 값보다 크거나 같거나("≥" 기호) 다른 값보다 작거나 같을 수 있습니다("≤" 기호). 선형 부등식에서도 변수는 근, 제곱 또는 어떤 것으로도 나누어지지 않습니다. 이것이 바로 "단순"이라고 불리는 이유입니다. 복잡한 변수에는 찾기 위해 더 많은 수학이 필요한 알 수 없는 변수가 포함됩니다. 그들은 종종 정사각형, 입방체 또는 루트 아래에 위치하며 모듈식, 로그, 분수 등이 될 수 있습니다. 그러나 우리의 임무는 불평등 시스템의 솔루션을 이해해야하기 때문에 선형 불평등 시스템에 대해 이야기하겠습니다. . 그러나 그 전에 해당 속성에 대해 몇 마디 말해야 합니다.

불평등의 속성

불평등의 속성은 다음과 같습니다.

  1. 변의 순서를 변경하기 위해 연산을 사용하는 경우 부등호가 반전됩니다(예: t 1 ≤ t 2이면 t 2 ≥ t 1).
  2. 부등식의 양쪽을 사용하면 자신에게 동일한 숫자를 추가할 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2인 경우 t 1 + 숫자 ≤ t 2 + 숫자).
  3. 동일한 방향의 부호가 있는 두 개 이상의 부등식을 사용하면 왼쪽과 오른쪽이 추가될 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4인 경우 t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4). .
  4. 부등식의 두 부분 모두 동일한 양수로 곱하거나 나눌 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0인 경우 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
  5. 양의 항과 동일한 방향의 부호를 갖는 두 개 이상의 부등식은 서로 곱할 수 있습니다(예: t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t인 경우) 4 ≥ 0이면 t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. 부등식의 두 부분 모두 동일한 음수를 곱하거나 나눌 수 있지만 이 경우 부등식의 부호가 변경됩니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0이면 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
  7. 모든 부등식은 이행성의 특성을 갖습니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 t 2 ≤ t 3이면 t 1 ≤ t 3입니다).

이제 불평등과 관련된 이론의 기본 원리를 연구한 후 시스템 해결 규칙을 직접 고려할 수 있습니다.

불평등 시스템을 해결합니다. 일반 정보. 솔루션

위에서 언급했듯이 솔루션은 주어진 시스템의 모든 부등식에 적합한 변수 값입니다. 불평등 시스템을 해결하는 것은 궁극적으로 전체 시스템에 대한 솔루션으로 이어지거나 시스템에 솔루션이 없음을 증명하는 수학적 연산을 구현하는 것입니다. 이 경우 변수는 빈 숫자 집합에 속한다고 합니다(다음과 같이 작성됨: 변수를 나타내는 문자∈("속함" 기호) ø("빈 집합" 기호), 예를 들어 x ∈ ø(읽기: "변수 "x"는 빈 집합에 속합니다"). 불평등 시스템을 해결하는 방법에는 그래픽, 대수, 대체 방법 등 여러 가지가 있습니다. 여러 가지 알려지지 않은 변수가 있는 수학적 모델을 참조한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 하나만 있는 경우 간격 방법이 적합합니다.

그래픽 방식

여러 알 수 없는 양(2개 이상)이 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 이 방법 덕분에 선형 부등식 시스템을 매우 쉽고 빠르게 풀 수 있어 가장 일반적인 방법입니다. 이는 그래프를 그리면 수학 연산 작성량이 줄어들기 때문입니다. 많은 작업이 완료되었고 약간의 다양성을 원할 때 펜에서 잠시 휴식을 취하고 자로 연필을 들고 도움을 받아 추가 작업을 시작하는 것이 특히 즐겁습니다. 그러나 일부 사람들은 작업에서 벗어나 정신 활동을 그림 그리기로 전환해야 하기 때문에 이 방법을 좋아하지 않습니다. 그러나 이것은 매우 효과적인 방법입니다.

그래픽 방법을 사용하여 부등식 시스템을 풀려면 각 부등식의 모든 항을 왼쪽으로 옮겨야 합니다. 부호가 반전되어 오른쪽에 0을 써야 하며, 각 부등식은 별도로 써야 합니다. 결과적으로, 부등식으로부터 함수를 얻게 됩니다. 그런 다음 연필과 자를 꺼낼 수 있습니다. 이제 얻은 각 기능에 대한 그래프를 그려야 합니다. 교차점 간격에 있는 전체 숫자 집합은 불평등 시스템에 대한 솔루션이 될 것입니다.

대수적 방법

두 개의 알려지지 않은 변수가 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 또한 부등식은 동일한 부등 기호를 가져야 합니다. 즉, "보다 큼" 기호만 포함하거나 "보다 작음" 기호만 포함해야 합니다. 이러한 제한에도 불구하고 이 방법은 더 복잡합니다. 2단계로 적용됩니다.

첫 번째는 알려지지 않은 변수 중 하나를 제거하는 작업과 관련됩니다. 먼저 이를 선택한 다음 이 변수 ​​앞에 숫자가 있는지 확인해야 합니다. 거기에 없으면 (변수는 단일 문자처럼 보일 것입니다) 아무것도 변경하지 않습니다. 변수가 있으면 (변수 유형은 예를 들어 5y 또는 12y입니다) 다음을 만들어야합니다. 각 부등식에서 선택한 변수 앞의 숫자가 동일한지 확인하세요. 이렇게 하려면 부등식의 각 항에 공통 인수를 곱해야 합니다. 예를 들어 첫 번째 부등식에 3y를 쓰고 두 번째 부등식에 5y를 쓴 경우 첫 번째 부등식의 모든 항에 5를 곱해야 합니다. , 두 번째는 3입니다. 결과는 각각 15y와 15y입니다.

솔루션의 두 번째 단계. 각 부등식의 왼쪽을 오른쪽으로 옮기고 각 항의 부호를 반대쪽으로 변경하고 오른쪽에 0을 써야 합니다. 그런 다음에는 부등식을 추가하면서 선택한 변수를 제거(또는 "축소"라고도 함)하는 재미있는 부분이 있습니다. 이로 인해 해결해야 할 하나의 변수가 있는 불평등이 발생합니다. 그 후에는 다른 알려지지 않은 변수에 대해서만 동일한 작업을 수행해야 합니다. 얻은 결과는 시스템의 솔루션이 됩니다.

대체방법

새로운 변수를 도입할 수 있는 경우 불평등 시스템을 해결할 수 있습니다. 일반적으로 이 방법은 부등식의 한 항에서 알 수 없는 변수를 4제곱하고 다른 항에서는 이를 제곱할 때 사용됩니다. 따라서 이 방법은 시스템의 불평등 정도를 줄이는 것을 목표로 합니다. 표본 불평등 x 4 - x 2 - 1 ≤ 0은 이런 방식으로 해결됩니다. 예를 들어 t와 같은 새로운 변수가 도입되었습니다. 그들은 "Let t = x 2"라고 쓰고 모델은 새로운 형식으로 다시 작성됩니다. 우리의 경우에는 t 2 - t - 1 ≤0을 얻습니다. 이 부등식은 간격 방법(자세한 내용은 나중에 설명)을 사용하여 해결한 다음 변수 X로 돌아가서 다른 부등식에 대해서도 동일한 작업을 수행해야 합니다. 받은 답변은 시스템의 솔루션이 될 것입니다.

간격 방법

이는 불평등 시스템을 해결하는 가장 간단한 방법인 동시에 보편적이고 널리 퍼져 있습니다. 중등학교는 물론 고등학교에서도 사용됩니다. 그 본질은 학생이 공책에 그려진 수직선(그래프가 아니라 숫자가 있는 일반 선)에서 불평등 간격을 찾는다는 사실에 있습니다. 불평등의 간격이 교차하는 곳에서 시스템에 대한 해가 발견됩니다. 간격 방법을 사용하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

  1. 각 부등식의 모든 항은 부호가 반대 방향으로 바뀌면서 왼쪽으로 이동됩니다(오른쪽에 0이 기록됨).
  2. 불평등은 별도로 작성되고 각각에 대한 해결책이 결정됩니다.
  3. 수직선에서 부등식의 교차점이 발견됩니다. 이 교차점에 있는 모든 숫자가 해결책이 될 것입니다.

어떤 방법을 사용해야 합니까?

분명히 가장 쉽고 편리해 보이지만 작업에 특정 방법이 필요한 경우가 있습니다. 대부분 그래프나 간격 방법을 사용하여 문제를 풀어야 한다고 말합니다. 대수적 방법과 치환은 상당히 복잡하고 혼란스럽기 때문에 극히 드물게 사용되거나 전혀 사용되지 않으며, 게다가 부등식보다는 방정식 시스템을 푸는 데 더 많이 사용되므로 그래프와 간격을 그리는 데 의존해야 합니다. 이는 수학 연산의 효율적이고 빠른 실행에 기여할 수밖에 없는 명확성을 제공합니다.

문제가 해결되지 않으면

대수학의 특정 주제를 공부하는 동안 당연히 이해에 문제가 발생할 수 있습니다. 그리고 이것은 정상적인 현상입니다. 왜냐하면 우리의 뇌는 복잡한 자료를 한 번에 이해할 수 없도록 설계되었기 때문입니다. 단락을 다시 읽거나, 교사의 도움을 받거나, 표준 과제 해결을 연습해야 하는 경우가 많습니다. 우리의 경우 예를 들어 다음과 같이 보입니다. "부등식 시스템 3 x + 1 ≥ 0 및 2 x - 1 > 3을 해결합니다." 따라서 개인적인 욕구, 외부인의 도움 및 실습은 복잡한 주제를 이해하는 데 도움이 됩니다.

해결사?

솔루션 북도 매우 적합하지만 숙제 복사에는 적합하지 않지만 자조에는 적합합니다. 여기에서 솔루션과 불평등 시스템을 찾고, 템플릿으로 살펴보고, 솔루션 작성자가 작업에 어떻게 대처했는지 정확히 이해하려고 노력한 다음 스스로 동일한 작업을 수행해 볼 수 있습니다.

결론

대수학은 학교에서 가장 어려운 과목 중 하나입니다. 글쎄, 당신은 무엇을 할 수 있습니까? 수학은 항상 이랬습니다. 어떤 사람에게는 쉽지만 다른 사람에게는 어렵습니다. 그러나 어쨌든 일반 교육 프로그램은 모든 학생이 대처할 수 있도록 구성되어 있음을 기억해야합니다. 또한 엄청난 수의 조수를 염두에 두어야합니다. 그 중 일부는 위에서 언급되었습니다.

루트 아래에 함수를 포함하는 부등식을 호출합니다. 비합리적인. 이러한 불평등에는 두 가지 유형이 있습니다.

첫 번째 경우 근은 함수 g(x)보다 작고 두 번째 경우에는 더 큽니다. 만약 g(x) - 끊임없는, 불평등이 크게 단순화되었습니다. 참고 사항: 이러한 불평등은 외부적으로 매우 유사하지만 솔루션 구성표는 근본적으로 다릅니다.

오늘 우리는 첫 번째 유형의 비합리적인 불평등을 해결하는 방법을 배울 것입니다. 이는 가장 간단하고 이해하기 쉽습니다. 부등식 기호는 엄격하거나 엄격하지 않을 수 있습니다. 다음 진술은 그들에게 해당됩니다.

정리. 형식의 비합리적인 불평등

불평등 시스템과 동일:

약하지 않은가? 이 시스템의 출처를 살펴보겠습니다.

  1. f (x) ≤ g 2 (x) - 여기에서는 모든 것이 명확합니다. 이것은 원래 불평등의 제곱입니다.
  2. f(x) ≥ 0은 근의 ODZ입니다. 상기시켜 드리겠습니다. 산술 제곱근은 다음에서만 존재합니다. 음수가 아닌숫자;
  3. g(x) ≥ 0은 근의 범위입니다. 불평등을 제곱함으로써 우리는 부정적인 면을 태워버립니다. 결과적으로 추가 뿌리가 나타날 수 있습니다. 부등식 g(x) ≥ 0은 이를 차단합니다.

많은 학생들이 시스템의 첫 번째 부등식인 f(x) ≤ g 2(x)에 "멈추고" 나머지 두 개는 완전히 잊어버립니다. 결과는 예측 가능합니다. 잘못된 결정으로 인해 점수를 잃게 됩니다.

비합리적 불평등은 다소 복잡한 주제이므로 한 번에 4가지 예를 살펴보겠습니다. 기본적인 것부터 정말 복잡한 것까지. 모든 문제는 모스크바 주립대학교 입학시험에서 출제됩니다. M.V. Lomonosov.

문제 해결의 예

일. 부등식을 해결합니다.

우리 앞에는 고전이 있습니다 비합리적인 불평등: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - 상수. 우리는:

세 가지 부등식 중에서 해가 끝날 때까지 두 개만 남았습니다. 부등식 2 ≥ 0이 항상 성립하기 때문입니다. 나머지 불평등을 건너봅시다:

따라서 x ∈ [−1.5; 0.5]. 모든 점은 음영처리되어 있습니다. 불평등은 엄격하지 않다.

일. 부등식을 해결합니다.

우리는 정리를 적용합니다:

첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 이를 위해 차이의 제곱을 공개하겠습니다. 우리는:

2x 2 – 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 – 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 – 10x< 0;
x(x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

이제 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 거기도 이차 삼항식:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−무한대; 1]∪∪∪∪ .

위에서 설명한 전체 알고리즘은 다음과 같이 작성됩니다.

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

답변: x ≤ − 4 또는 (− , − 4 ] .

실시예 2

부등식 − 2, 7 · z > 0에 대해 사용 가능한 모든 해를 나타냅니다.

해결책

조건에서 우리는 z에 대한 계수 a가 -2.7과 같고 b가 명시적으로 없거나 0과 같다는 것을 알 수 있습니다. 알고리즘의 첫 번째 단계를 사용할 수 없으며 즉시 두 번째 단계로 넘어갑니다.

방정식의 양쪽을 숫자 2, 7로 나눕니다. 숫자가 음수이므로 부등호를 반전시켜야 합니다. 즉, (− 2, 7 z) : (− 2, 7)을 얻습니다.< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

전체 알고리즘을 간단한 형식으로 작성해 보겠습니다.

- 2, 7 z > 0; 지< 0 .

답변:지< 0 или (− ∞ , 0) .

실시예 3

부등식 - 5 x - 15 22 ≤ 0을 푼다.

해결책

조건에 따르면 변수 x에 대한 계수 a(-5와 동일)와 분수 - 15 22에 해당하는 계수 b를 사용하여 부등식을 해결해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 반대 부호가 있는 다른 부분으로 - 15 22를 이동하고, 두 부분을 - 5로 나누고, 부등호의 부호를 변경합니다.

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

오른쪽의 마지막 전환 동안 숫자를 다른 부호로 나누는 규칙이 사용됩니다. 15 22: - 5 = - 15 22: 5, 그 후 일반 분수를 자연수 - 15 22: 5 = -로 나눕니다. 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

답변: x ≥ - 3 22 및 [ - 3 22 + ) .

a=0인 경우를 생각해보자. a x + b 형식의 선형 표현< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

모든 것은 불평등에 대한 해결책을 결정하는 데 기반을 두고 있습니다. x의 값에 대해 우리는 b 형식의 수치 부등식을 얻습니다.< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

우리는 선형 불평등 0 x + b를 해결하기 위한 알고리즘 형태로 모든 판단을 고려할 것입니다.< 0 (≤ , > , ≥) :

정의 5

b 형식의 수치 부등식< 0 (≤ , >, ≥)가 참이면 원래 부등식은 어떤 값에 대해서도 해를 갖고, 원래 부등식에 해가 없으면 거짓입니다.

실시예 4

부등식 0 x + 7 > 0을 푼다.

해결책

이 선형 부등식 0 x + 7 > 0은 x 값을 취할 수 있습니다. 그런 다음 7 > 0 형식의 부등식을 얻습니다. 마지막 부등식은 참으로 간주됩니다. 즉, 어떤 숫자든 해법이 될 수 있습니다.

답변: 간격 (− , + ) .

실시예 5

부등식 0 x − 12, 7 ≥ 0에 대한 해를 구합니다.

해결책

변수 x를 어떤 숫자로 대체하면 부등식은 − 12, 7 ≥ 0의 형태를 취합니다. 그것은 잘못된 것입니다. 즉, 0 x − 12, 7 ≥ 0에는 해가 없습니다.

답변:해결책이 없습니다.

두 계수가 모두 0인 선형 부등식을 푸는 것을 고려해 보겠습니다.

실시예 6

0 x + 0 > 0과 0 x + 0 ≥ 0에서 풀 수 없는 부등식을 결정합니다.

해결책

x 대신 임의의 숫자를 대입하면 0 > 0 및 0 ≥ 0 형식의 두 가지 부등식을 얻습니다. 첫 번째는 올바르지 않습니다. 이는 0 x + 0 > 0에는 해가 없고, 0 x + 0 ≥ 0에는 무한한 수의 해, 즉 임의의 숫자가 있음을 의미합니다.

답변: 부등식 0 x + 0 > 0에는 해가 없지만 0 x + 0 ≥ 0에는 해가 있습니다.

이 방법은 학교 수학 과정에서 논의됩니다. 간격 방법은 선형 부등식을 포함하여 다양한 유형의 부등식을 해결할 수 있습니다.

간격 방법은 계수 x의 값이 0이 아닐 때 선형 부등식에 사용됩니다. 그렇지 않으면 다른 방법을 사용하여 계산해야 합니다.

정의 6

간격 방법은 다음과 같습니다.

  • 함수 y = a · x + b 도입;
  • 정의 영역을 간격으로 분할하기 위해 0을 검색합니다.
  • 간격에 대한 개념에 대한 기호 정의.

선형 방정식 a x + b를 풀기 위한 알고리즘을 조립해 보겠습니다.< 0 (≤ , >, ≥) 간격 방법을 사용하여 ≠ 0인 경우:

  • a · x + b = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 함수 y = a · x + b의 영점을 찾습니다. a ≠ 0이면 해는 x 0으로 지정되는 단일 근이 됩니다.
  • 좌표 x 0을 갖는 점의 이미지로 좌표선을 구성합니다. 엄격한 부등식으로 점은 구멍이 뚫린 점으로 표시되고, 비엄격 부등식은 음영 처리된 점으로 표시됩니다.
  • 간격에 따라 함수 y = a · x + b의 부호를 결정합니다. 이를 위해서는 간격의 지점에서 함수 값을 찾아야 합니다.
  • 좌표선에서 > 또는 ≥ 기호를 사용하여 부등식을 해결하고 양수 구간에 음영을 추가합니다.< или ≤ над отрицательным промежутком.

간격 방법을 사용하여 선형 부등식을 푸는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 6

부등식 − 3 x + 12 > 0을 풉니다.

해결책

먼저 방정식 − 3 x + 12 = 0의 근을 찾아야 하는 알고리즘을 따릅니다. 우리는 − 3 · x = − 12 , x = 4 를 얻습니다. 점 4를 표시하는 좌표선을 그리는 것이 필요합니다. 불평등이 엄격하기 때문에 구멍이 뚫릴 것입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

간격으로 부호를 결정하는 것이 필요합니다. 구간 (− , 4)에서 이를 결정하려면 x = 3에서 함수 y = − 3 x + 12를 계산해야 합니다. 여기에서 우리는 − 3 3 + 12 = 3 > 0을 얻습니다. 간격의 부호는 양수입니다.

간격 (4, + )에서 부호를 결정한 다음 값 x = 5를 대체합니다. 우리는 − 3 5 + 12 = − 3을 얻습니다.< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

> 기호를 사용하여 부등식을 해결하고 양의 간격에 걸쳐 음영 처리를 수행합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

도면에서 원하는 해의 형식이 (− , 4) 또는 x라는 것이 분명합니다.< 4 .

답변: (− , 4) 또는 x< 4 .

그래픽으로 표현하는 방법을 이해하려면 4개의 선형 부등식(0, 5 x − 1)을 예로 들어야 합니다.< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0과 0, 5 x − 1 ≥ 0. 그들의 솔루션은 x의 값이 될 것입니다< 2 , x ≤ 2 , x >2 및 x ≥ 2. 이를 위해 아래에 표시된 선형 함수 y = 0, 5 x − 1을 플로팅해 보겠습니다.

분명하다

정의 7

  • 불평등 0, 5 x − 1 풀기< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
  • 해 0, 5 x − 1 ≤ 0은 함수 y = 0, 5 x − 1이 O x보다 낮거나 일치하는 구간으로 간주됩니다.
  • 해 0, 5 · x − 1 > 0은 구간으로 간주되며, 함수는 O x 위에 위치합니다.
  • 해 0, 5 · x − 1 ≥ 0은 O x 위의 그래프가 일치하는 간격으로 간주됩니다.

부등식을 그래픽으로 해결하는 목적은 그래프에 표시해야 하는 간격을 찾는 것입니다. 이 경우 좌변은 y=a·x+b, 우변은 y=0이며 Ox와 일치함을 알 수 있다.

정의 8

함수 y = a x + b의 그래프가 그려집니다:

  • 부등식 a x + b를 풀면서< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
  • 부등식 a · x + b ≤ 0을 풀 때 그래프가 O x 축 아래에 표시되거나 일치하는 간격이 결정됩니다.
  • 부등식 a · x + b > 0을 풀 때 그래프가 O x 위에 표시되는 간격이 결정됩니다.
  • 부등식 a · x + b ≥ 0을 풀 때 그래프가 O x 위에 있거나 일치하는 구간이 결정됩니다.

실시예 7

그래프를 사용하여 부등식 - 5 · x - 3 > 0을 풉니다.

해결책

선형 함수 - 5 · x - 3 > 0의 그래프를 구성하는 것이 필요합니다. x의 계수가 음수이기 때문에 이 선은 감소하고 있습니다. O x - 5 · x - 3 > 0과의 교차점 좌표를 결정하기 위해 값 - 3 5를 얻습니다. 이를 그래픽으로 표현해보자.

> 기호로 부등식을 풀면 O x 위의 간격에 주의해야 합니다. 평면에서 필요한 부분을 빨간색으로 강조 표시하고 이를 얻습니다.

필요한 간격은 O x 빨간색 부분입니다. 이는 개방수 광선 - , - 3 5 가 부등식에 대한 해결책이 될 것임을 의미합니다. 조건에 따라 불평등이 엄격하지 않은 경우 점의 값인 3 5도 불평등에 대한 해결책이 될 것입니다. 그리고 그것은 O x와 일치할 것이다.

답변: - , - 3 5 또는 x< - 3 5 .

그래픽 솔루션은 왼쪽이 함수 y = 0 x + b, 즉 y = b에 해당할 때 사용됩니다. 그러면 직선은 O x와 평행하거나 b = 0에서 일치합니다. 이러한 사례는 불평등에 해결책이 없거나 해결책이 다양할 수 있음을 보여줍니다.

실시예 8

불평등 0 x + 7에서 결정< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

해결책

y = 0 x + 7의 표현은 y = 7이며, 좌표 평면은 O x에 평행하고 O x 위에 위치하는 선으로 제공됩니다. 따라서 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

함수 y = 0 x + 0의 그래프는 y = 0, 즉 직선이 O x와 일치하는 것으로 간주됩니다. 이는 부등식 0 x + 0 ≥ 0에 많은 해가 있음을 의미합니다.

답변: 두 번째 부등식은 모든 x 값에 대한 해를 갖습니다.

선형으로 축소되는 불평등

불평등의 해는 선형으로 감소하는 불평등이라고 불리는 선형 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

이러한 불평등은 학교 과정에서 고려되었는데, 이는 불평등을 해결하는 특별한 경우였으며, 이로 인해 괄호가 열리고 유사한 용어가 줄어들었기 때문입니다. 예를 들어, 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x를 생각해 보세요.

위에 주어진 부등식은 항상 선형 방정식의 형태로 축소됩니다. 그 후 괄호가 열리고 유사한 용어가 제공되고 다른 부분에서 전송되어 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

부등식 5 − 2 x > 0을 선형으로 줄이면 − 2 x + 5 > 0 형식을 갖는 방식으로 표현하고 초를 줄이면 7 (x − 1) + 3 ≤ 4x − 2 + x . 괄호를 열어서 비슷한 용어를 가져와야 하고, 모든 용어를 왼쪽으로 옮겨 비슷한 용어를 가져와야 합니다. 다음과 같습니다.

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

이는 선형 부등식의 해결책으로 이어집니다.

이러한 불평등은 동일한 해결 원리를 가지므로 선형으로 간주되며 그 후에는 기본 불평등으로 축소할 수 있습니다.

이러한 유형의 부등식을 해결하려면 이를 선형 부등식으로 줄이는 것이 필요합니다. 다음과 같은 방법으로 수행해야 합니다.

정의 9

  • 여는 괄호;
  • 왼쪽에는 변수를, 오른쪽에는 숫자를 수집합니다.
  • 비슷한 용어를 제공합니다.
  • 양변을 x의 계수로 나눕니다.

실시예 9

부등식 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1을 풉니다.

해결책

괄호를 열면 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 형식의 부등식을 얻습니다. 비슷한 항을 줄이면 6 x + 15 ≤ 6 x − 17이 됩니다. 항을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0임을 알 수 있습니다. 따라서 0 x + 32 ≤ 0을 계산하여 얻은 값에서 32 ≤ 0 형식의 부등식이 있습니다. 부등식이 거짓이라는 것을 알 수 있는데, 이는 조건에 의해 주어진 부등식에는 해가 없다는 것을 의미합니다.

답변: 해결책이 없습니다.

위에 표시된 유형의 선형 또는 불평등으로 축소될 수 있는 다른 유형의 불평등이 많이 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 5 2 x − 1 ≥ 1 는 선형 형태 2 x − 1 ≥ 0의 해로 감소하는 지수 방정식입니다. 이러한 유형의 불평등을 해결할 때 이러한 사례가 고려됩니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

이론:

불평등을 풀 때 다음 규칙이 사용됩니다.

1. 불평등의 모든 항은 한 부분에서 옮겨질 수 있습니다.
불평등은 반대 부호로 다른 불평등으로 바뀌지만 불평등의 부호는 변하지 않습니다.

2. 부등식의 양변에 1을 곱하거나 나눌 수 있습니다.
부등호를 변경하지 않고 동일한 양수를 사용합니다.

3. 부등식의 양쪽에 1을 곱하거나 나눌 수 있습니다.
동일한 음수를 사용하여 부등호를 다음으로 변경합니다.
반대.

불평등 해결 − 8×+11< − 3 x − 4
해결책.

1. 성기를 움직여보자 – 3개불평등의 왼쪽에, 그리고 항 11 - 부등식의 오른쪽으로, 부호를 반대쪽으로 변경 – 3개그리고 에 11 .
그러면 우리는 얻는다

− 8×+ 3×< − 4 − 11

– 5×< − 15

2. 부등식의 양쪽을 나누어보자 – 5×< − 15 음수로 − 5 , 부등호 < ,로 변경됩니다 > , 즉. 우리는 반대 의미의 불평등으로 넘어갑니다.
우리는 다음을 얻습니다:

– 5×< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3- 주어진 부등식의 해법.

주의하세요!

솔루션을 작성하는 데는 두 가지 옵션이 있습니다. x > 3또는 숫자 간격으로 표시됩니다.

부등식에 대한 해의 집합을 수직선에 표시하고 그 답을 숫자 간격의 형태로 쓰겠습니다.

x ∈ (3 ; + ∞ )

답변: x > 3또는 x ∈ (3 ; + ∞ )

대수적 불평등.

2차 부등식. 더 높은 수준의 합리적 불평등.

불평등을 해결하는 방법은 주로 불평등을 구성하는 기능이 어떤 클래스에 속하는지에 따라 달라집니다.

  1. 나. 2차 부등식, 즉 형식의 불평등입니다.

도끼 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

불평등을 해결하려면 다음을 수행할 수 있습니다.

  1. 제곱 삼항식을 인수분해합니다. 즉, 부등식을 다음 형식으로 씁니다.

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

  1. 수직선에 다항식의 근을 그려보세요. 근은 실수 집합을 간격으로 나누고, 각 간격에서 해당 이차 함수는 상수 부호를 갖습니다.
  2. 각 간격에서 (x - x 1) (x - x 2)의 부호를 결정하고 답을 적습니다.

제곱 삼항식에 근이 없으면 D에 대해<0 и a>0 제곱 삼항식은 모든 x에 대해 양수입니다.

  • 불평등을 해결하세요. x 2 + x - 6 > 0.

2차 삼항식 인수분해 (x + 3) (x - 2) > 0

답: x (-무한대; -3) (2; +무한대).

2) (x - 6) 2 > 0

이 부등식은 x = 6을 제외한 모든 x에 대해 적용됩니다.

답: (-무한대; 6) (6; +무한대).

3) x² + 4x + 15< 0.

여기 D< 0, a = 1 >0. 제곱 삼항식은 모든 x에 대해 양수입니다.

답: x Î Ø.

불평등 해결:

  1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
  2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. 답:
  3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. 답:
  4. 2x² - 12x + 18 > 0. 답:
  5. a의 어떤 값에 대해 불평등이 발생합니까?

x² - ax > 모든 x에 대해 보유합니까? 답변:

  1. II. 더 높은 수준의 합리적 불평등,즉, 형태의 불평등

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

가장 높은 차수의 다항식은 인수분해되어야 합니다. 즉, 부등식은 다음 형식으로 작성되어야 합니다.

n (x - x 1) (x - x 2) ·… · (x - x n) > 0 (<0).

수직선에서 다항식이 사라지는 점을 표시하세요.

각 구간에서 다항식의 부호를 결정합니다.

1) 부등식 x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x 풀기< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). 따라서 x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

답: (0; 1) (2; 3).

2) 부등식 풀기 (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

다항식이 사라지는 지점을 수축에 표시해 보겠습니다. 이는 x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½입니다.

x = - ½ 지점에서는 이항식 (2x + 1)이 짝수 거듭제곱되기 때문에 부호가 변경되지 않습니다. 즉, 식 (2x + 1) 4는 x = 지점을 통과할 때 부호가 변경되지 않습니다. - ½.

답: (-무한대; -2) (½; 1).

3) 부등식을 푼다: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

이 부등식은 다음 세트와 동일합니다.

(1)의 해는 x (-무한대; -2) (3; +무한대)입니다. (2)에 대한 해는 x = 0, x = -2, x = 3입니다. 얻은 해를 결합하여 x О (-무한대; -2] (0) (0) )을 얻습니다.

유사한 기사