이번 단원에서는 선형 방정식 시스템을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 고등 수학 과정에서 선형 방정식 시스템은 "크래머 공식을 사용하여 시스템 풀기"와 같은 별도의 작업 형태와 다른 문제를 해결하는 과정에서 모두 해결되어야 합니다. 선형 방정식 시스템은 고등 수학의 거의 모든 분야에서 다루어져야 합니다.

첫째, 약간의 이론입니다. 이 경우 수학 단어 "선형"은 무엇을 의미합니까? 이는 시스템의 방정식이 모두변수가 포함됨 1급: 그런 화려한 것 없이 등, 수학 올림피아드 참가자들만이 기뻐합니다.

고등 수학에서는 어린 시절부터 친숙한 문자만 변수를 나타내는 데 사용되는 것이 아닙니다.
상당히 인기 있는 옵션은 인덱스가 있는 변수입니다: .
또는 크고 작은 라틴 알파벳의 첫 글자:
많은 사람들에게 "알파, 베타, 감마"로 알려진 그리스 문자를 찾는 것은 그리 드문 일이 아닙니다. 그리고 문자 "mu"가 포함된 인덱스 집합도 있습니다.

하나 또는 다른 문자 세트의 사용은 우리가 선형 방정식 시스템에 직면하는 고등 수학 섹션에 따라 다릅니다. 예를 들어 적분과 미분 방정식을 풀 때 발생하는 선형 방정식 시스템에서는 다음 표기법을 사용하는 것이 전통적입니다.

그러나 변수가 어떻게 지정되더라도 선형 방정식 시스템을 해결하는 원리, 방법 및 방법은 변경되지 않습니다. 그러므로 , 와 같은 무서운 것을 만나면 두려움에 떨면서 서두르지 말고 결국 대신 해를, 대신 새를, 대신 얼굴(선생님)을 그리면 됩니다. 그리고 웃기게도 이러한 표기법을 사용하는 선형 방정식 시스템도 풀 수 있습니다.

글이 꽤 길어질 것 같아서 목차가 적습니다. 따라서 순차적인 "디브리핑"은 다음과 같습니다.

– 대체 방법("학교 방법")을 사용하여 선형 연립방정식 풀기;
– 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)을 통해 시스템 해결;
– Cramer의 공식을 이용한 시스템의 해법;
– 역행렬을 사용하여 시스템 풀기;
– 가우스 방법을 사용하여 시스템 해결.

모든 사람은 학교 수학 과정에서 배운 선형 방정식 시스템에 익숙합니다. 본질적으로 우리는 반복부터 시작합니다.

대체 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

이 방법은 "학교 방법"또는 미지의 제거 방법이라고도합니다. 비유적으로 말하면 '미완의 가우스 방법'이라고도 할 수 있다.

실시예 1

여기에 두 개의 미지수를 갖는 두 방정식의 시스템이 제공됩니다. 자유 항(숫자 5와 7)은 방정식의 왼쪽에 있습니다. 일반적으로 말하면, 왼쪽이나 오른쪽 어디에 있는지는 중요하지 않습니다. 단지 고등 수학 문제에서는 그런 식으로 위치하는 경우가 많습니다. 그리고 이러한 기록으로 인해 혼란이 발생해서는 안 되며, 필요한 경우 시스템을 항상 "평소대로" 작성할 수 있습니다. 용어를 부분에서 부분으로 이동할 때 부호를 변경해야 한다는 것을 잊지 마십시오.

선형 방정식 시스템을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 연립방정식을 푼다는 것은 많은 해를 찾는 것을 의미합니다. 시스템의 해는 시스템에 포함된 모든 변수의 값 집합이며, 이는 시스템의 모든 방정식을 진정한 평등으로 바꿉니다. 또한 시스템은 다음과 같습니다. 비관절 (해결책이 없음).부끄러워하지 마세요. 이것은 일반적인 정의입니다. =) 우리는 각 c-we 방정식을 만족하는 하나의 "x" 값과 하나의 "y" 값만 갖게 됩니다.

시스템을 해결하기 위한 그래픽 방법이 있으며, 수업 시간에 익숙해질 수 있습니다. 라인의 가장 간단한 문제. 거기서 내가 얘기한 게 기하학적 감각두 개의 미지수를 갖는 두 개의 선형 방정식 시스템. 하지만 지금은 대수학, 숫자-숫자, 행동-행동의 시대입니다.

결정하자: 첫 번째 방정식에서 우리는 다음과 같이 표현합니다.
결과 표현식을 두 번째 방정식으로 대체합니다.

괄호를 열고 비슷한 용어를 추가하고 값을 찾습니다.

다음으로 우리는 무엇을 위해 춤을 췄는지 기억합니다.
우리는 이미 그 가치를 알고 있으므로 남은 것은 다음을 찾는 것뿐입니다.

답변:

어떤 방식으로든 방정식 시스템을 푼 후에는 다음을 확인하는 것이 좋습니다. (구두로, 초안이나 계산기로). 다행히도 이 작업은 쉽고 빠르게 완료됩니다.

1) 찾은 답을 첫 번째 방정식으로 대체합니다.

– 올바른 평등이 얻어집니다.

2) 찾은 답을 두 번째 방정식으로 대체합니다.

– 올바른 평등이 얻어집니다.

혹은 좀 더 쉽게 말하면 “모든 것이 하나로 합쳐졌다”는 뜻이다.

고려된 해법은 유일한 해법이 아니며, 첫 번째 방정식에서 , 가 아닌 을 표현할 수 있었습니다.
반대의 경우도 있습니다. 두 번째 방정식의 내용을 표현하고 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 됩니다. 그런데 네 가지 방법 중 가장 불리한 방법은 두 번째 방정식을 사용하여 표현하는 것입니다.

결과는 분수인데 왜 그럴까요? 좀 더 합리적인 해결책이 있습니다.

그러나 어떤 경우에는 분수 없이는 할 수 없습니다. 이와 관련하여 제가 표현을 어떻게 썼는지 주목해 드리고 싶습니다. 이렇지 않습니다: 그리고 어떠한 경우에도 이렇지 않습니다: .

고등 수학에서 분수를 다루는 경우 모든 계산을 일반적인 가분수로 수행해 보십시오.

정확하고 그렇지 않습니다!

쉼표는 가끔씩만 사용할 수 있습니다. 특히 이것이 일부 문제에 대한 최종 답변이고 이 숫자에 대해 추가 작업을 수행할 필요가 없는 경우에만 사용할 수 있습니다.

많은 독자들은 아마도 '교정수업처럼 자세하게 설명하면 다 알겠다'라고 생각했을 것입니다. 그런 종류의 것은 없습니다. 아주 간단한 학교 예처럼 보이지만 매우 중요한 결론이 너무 많습니다! 여기 또 다른 것이 있습니다:

가장 합리적인 방법으로 모든 작업을 완료하도록 노력해야 합니다.. 시간과 신경을 절약하고 실수할 가능성도 줄이기 때문입니다.

고등 수학 문제에서 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템을 발견하면 언제든지 대체 방법을 사용할 수 있습니다(시스템이 다른 방법으로 해결되어야 한다고 표시되지 않는 한). 당신이 바보라고 생각하고 "학교 방법"을 사용하면 성적이 떨어질 것이라고 생각합니다.
또한 어떤 경우에는 더 많은 수의 변수를 사용하여 대체 방법을 사용하는 것이 좋습니다.

실시예 2

3개의 미지수가 있는 선형 방정식 시스템 풀기

분수 유리 함수의 적분을 찾을 때 소위 무한 계수 방법을 사용할 때 유사한 방정식 시스템이 종종 발생합니다. 문제의 시스템은 제가 거기에서 가져온 것입니다.

적분을 찾을 때 목표는 다음과 같습니다. 빠른 Cramer의 공식, 역행렬법 등을 사용하는 대신 계수의 값을 찾습니다. 따라서 이 경우 대체방법이 적절하다.

방정식 시스템이 주어지면 우선 그것을 즉시 단순화하는 것이 가능한지 알아내는 것이 바람직합니까? 시스템의 방정식을 분석하면 시스템의 두 번째 방정식이 2로 나눌 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 바로 우리가 하는 일입니다.

참조:수학적 기호는 "이로부터 저것이 따른다"를 의미하며 문제 해결에 자주 사용됩니다.

이제 방정식을 분석해 보겠습니다. 일부 변수를 다른 변수로 표현해야 합니다. 어떤 방정식을 선택해야 합니까? 이 목적을 위한 가장 쉬운 방법은 시스템의 첫 번째 방정식을 취하는 것이라고 이미 짐작했을 것입니다.

여기서는 어떤 변수를 표현하든 마찬가지로 or 을 쉽게 표현할 수 있습니다.

다음으로 식을 시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식으로 대체합니다.

괄호를 열고 유사한 용어를 제시합니다.

세 번째 방정식을 2로 나눕니다.

두 번째 방정식에서 우리는 세 번째 방정식으로 표현하고 대체합니다.

우리가 찾은 세 번째 방정식에서 거의 모든 것이 준비되었습니다.
두 번째 방정식에서:
첫 번째 방정식에서:

확인: 발견된 변수 값을 시스템의 각 방정식의 왼쪽에 대입합니다.

1)
2)
3)

방정식의 해당 우변이 얻어지므로 해가 올바르게 구해집니다.

실시예 3

4개의 미지수가 있는 선형 방정식 시스템 풀기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)을 통해 시스템 풀기

선형 방정식 시스템을 풀 때 "학교 방법"이 아닌 시스템 방정식의 용어별 덧셈(뺄셈) 방법을 사용하도록 노력해야 합니다. 왜? 이렇게 하면 시간이 절약되고 계산이 단순화되지만 이제 모든 것이 더 명확해집니다.

실시예 4

선형 방정식 시스템을 풉니다.

나는 첫 번째 예와 동일한 시스템을 사용했습니다.
방정식 시스템을 분석하면 변수 계수의 크기가 동일하고 부호가 반대(-1과 1)임을 알 수 있습니다. 이러한 상황에서는 방정식을 항별로 추가할 수 있습니다.

빨간색 원으로 표시된 작업은 정신적으로 수행됩니다.
보시다시피 용어별 추가 결과 변수가 손실되었습니다. 사실 이것이 바로 이 방법의 본질은 변수 중 하나를 제거하는 것입니다..

방정식. 다르게 말하면, 모든 방정식의 해는 이러한 변환에서 시작됩니다. 선형 방정식을 풀 때 그(해)는 항등 변환을 기반으로 하며 최종 답으로 끝납니다.

알 수 없는 변수에 대한 계수가 0이 아닌 경우입니다.

도끼+b=0, a ≠ 0

X가 있는 용어는 한쪽으로, 숫자는 다른 쪽으로 이동합니다. 항을 방정식의 반대쪽으로 이동할 때 부호를 변경해야 한다는 점을 기억하세요.

도끼:(a)=-b:(a)

줄여보자 ㅏ~에 엑스그리고 우리는 다음을 얻습니다:

x=-b:(a)

이것이 답입니다. 숫자가 맞는지 확인해야 하는 경우 -b:(a)방정식의 근을 구하려면 대신 초기 방정식을 대체해야 합니다. 엑스이것은 숫자입니다:

a(-b:(a))+b=0 (저것들. 0=0)

왜냐하면 그렇다면 이 평등은 옳습니다. -b:(a)진실은 방정식의 근원입니다.

답변: x=-b:(a), a ≠ 0.

첫 번째 예:

5x+2=7x-6

멤버를 한쪽으로 이동 엑스, 그리고 반대편에는 숫자가 있습니다:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

알 수 없는 경우 계수가 감소하고 답을 얻었습니다.

이것이 답입니다. 숫자 4가 실제로 방정식의 근인지 확인해야 하는 경우 원래 방정식에서 X 대신 이 숫자를 대체합니다.

5*4+2=7*4-6 (저것들. 22=22)

왜냐하면 이 평등이 참이면 4가 방정식의 근이 됩니다.

두 번째 예:

방정식을 푼다:

5x+14=x-49

미지수와 숫자를 서로 다른 방향으로 이동하여 다음을 얻었습니다.

방정식의 일부를 계수로 나눕니다. 엑스(4까지) 그리고 우리는 다음을 얻습니다:

세 번째 예:

방정식을 푼다:

먼저, 모든 항에 다음을 곱하여 미지수에 대한 계수의 비합리성을 제거합니다.

이 형식은 단순화된 것으로 간주됩니다. 숫자는 분모에 있는 숫자의 근을 갖습니다. 분자와 분모에 같은 숫자를 곱하여 답을 단순화해야 합니다. 다음과 같습니다.

해결방법이 없는 경우입니다.

방정식을 푼다:

2x+3=2x+7

모두 앞에서 엑스우리의 방정식은 진정한 평등이 될 수 없습니다. 즉, 우리 방정식에는 뿌리가 없습니다.

답변: 해결책이 없습니다.

특별한 경우는 무한한 수의 솔루션입니다.

방정식을 푼다:

2x+3=2x+3

x와 숫자를 다른 방향으로 이동하고 비슷한 항을 추가하면 다음 방정식을 얻습니다.

여기서도 두 부분을 모두 0으로 나누는 것은 불가능합니다. 그것은 금지되어 있습니다. 그러나 제자리에 두는 것은 엑스숫자에 관계없이 올바른 평등을 얻습니다. 즉, 모든 숫자는 그러한 방정식의 해입니다. 따라서 솔루션의 수는 무한합니다.

답변: 솔루션은 무한합니다.

두 개의 완전한 형태가 동일한 경우.

도끼+b=cx+d

도끼-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

답변: x=(d-b):(a-c), 만약에 d≠b 및 a≠c, 그렇지 않으면 무한히 많은 솔루션이 있지만, 만약 a=c, ㅏ d≠b, 그러면 해결책이 없습니다.

이 수학 프로그램을 사용하면 대체 방법과 덧셈 방법을 사용하여 두 변수가 있는 두 선형 방정식 시스템을 풀 수 있습니다.

프로그램은 문제에 대한 답을 제시할 뿐만 아니라, 대입법과 덧셈법 두 가지 방식으로 풀이 단계에 대한 설명과 함께 상세한 풀이를 제공합니다.

이 프로그램은 일반 교육 학교의 고등학생이 시험 및 시험을 준비할 때, 통합 상태 시험 전에 지식을 테스트할 때, 부모가 수학과 대수학의 많은 문제에 대한 해결책을 통제할 때 유용할 수 있습니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하는 데 비용이 너무 많이 들 수도 있나요? 아니면 수학이나 대수학 숙제를 가능한 한 빨리 끝내고 싶나요? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 당사 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

이러한 방식으로 문제 해결 분야의 교육 수준이 높아지는 동시에 남동생을 스스로 훈련 및/또는 훈련할 수 있습니다.

방정식 입력 규칙

모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) 등

방정식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 방정식은 먼저 단순화됩니다. 단순화 후의 방정식은 선형이어야 합니다. 즉, 요소 순서의 정확성을 갖는 ax+by+c=0 형식입니다.
예: 6x+1 = 5(x+y)+2

방정식에서는 정수뿐만 아니라 소수 및 일반 분수 형태의 분수도 사용할 수 있습니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분의 정수 부분과 분수 부분은 마침표나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예: 2.1n + 3.5m = 55

일반 분수 입력 규칙.
정수만이 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.
분모는 음수가 될 수 없습니다.
숫자 분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
전체 부분은 앰퍼샌드 기호로 분수와 구분됩니다. &

예.
-1&2/3년 + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

연립방정식 풀기

이 문제를 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않아 프로그램이 작동하지 않을 수 있는 것으로 나타났습니다.
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우리의 게임, 퍼즐, 에뮬레이터:

약간의 이론.

선형 방정식 시스템 풀기. 대체방법

대체 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때의 동작 순서:
1) 시스템의 일부 방정식에서 하나의 변수를 다른 방정식으로 표현합니다.
2) 결과 표현식을 이 변수 ​​대신 시스템의 다른 방정식으로 대체합니다.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

첫 번째 방정식: y = 7-3x에서 y를 x로 표현해 보겠습니다. y 대신 두 번째 방정식에 표현식 7-3x를 대체하면 다음 시스템을 얻습니다.
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

첫 번째 시스템과 두 번째 시스템이 동일한 솔루션을 가지고 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 두 번째 시스템에서 두 번째 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다. 이 방정식을 풀어보겠습니다.
$$ -5x+2(7-3x)=3 \오른쪽 화살표 -5x+14-6x=3 \오른쪽 화살표 -11x=-11 \오른쪽 화살표 x=1 $$

x 대신 숫자 1을 등식 y=7-3x로 대체하면 해당하는 y 값을 찾습니다.
$$ y=7-3 \cdot 1 \오른쪽 화살표 y=4 $$

쌍(1;4) - 시스템 솔루션

동일한 해를 갖는 두 변수의 방정식 시스템을 호출합니다. 동등한. 솔루션이 없는 시스템도 동등한 것으로 간주됩니다.

덧셈을 통한 선형 방정식 시스템 풀기

선형 방정식 시스템을 해결하는 또 다른 방법인 덧셈 방법을 고려해 보겠습니다. 이러한 방식으로 시스템을 풀 때나 치환으로 풀 때, 우리는 이 시스템에서 방정식 중 하나에 하나의 변수만 포함하는 다른 등가 시스템으로 이동합니다.

덧셈 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때의 동작 순서:
1) 시스템 항의 방정식에 항을 곱하여 변수 중 하나의 계수가 반대 숫자가 되도록 요인을 선택합니다.
2) 시스템 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 항별로 추가합니다.
3) 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 푼다.
4) 두 번째 변수에 해당하는 값을 찾습니다.

예. 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

이 시스템의 방정식에서 y의 계수는 반대 숫자입니다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 항별로 더하면 하나의 변수가 3x=33인 방정식을 얻습니다. 시스템의 방정식 중 하나(예: 첫 번째 방정식)를 방정식 3x=33으로 바꾸겠습니다. 시스템을 갖추자
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

방정식 3x=33에서 x=11임을 알 수 있습니다. 이 x 값을 방정식 \(x-3y=38\)에 대체하면 변수 y: \(11-3y=38\)를 갖는 방정식을 얻습니다. 이 방정식을 풀어보겠습니다.
\(-3y=27 \오른쪽 화살표 y=-9 \)

따라서 우리는 \(x=11; y=-9\) 또는 \((11;-9)\)를 추가하여 연립방정식의 해를 찾았습니다.

시스템의 방정식에서 y에 대한 계수가 반대 숫자라는 사실을 이용하여 우리는 해당 솔루션을 등가 시스템의 솔루션으로 줄였습니다(원래 시스템의 각 방정식의 양쪽을 합산하여). 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다.

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선형 방정식. 솔루션, 예.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

선형 방정식.

선형 방정식은 학교 수학에서 가장 어려운 주제가 아닙니다. 그러나 훈련받은 학생조차 당황하게 할 수 있는 몇 가지 트릭이 있습니다. 알아볼까요?)

일반적으로 선형 방정식은 다음 형식의 방정식으로 정의됩니다.

도끼 + 비 = 0 어디 a와 b– 모든 숫자.

2x + 7 = 0. 여기 a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 여기서는 a=0.1, b=-2.3

여기서는 12x + 1/2 = 0 a=12, b=1/2

복잡한 건 하나도 없지, 그렇지? 특히 다음 단어를 눈치채지 못한다면: "여기서 a와 b는 임의의 숫자입니다"... 그리고 눈치 채고 부주의하게 생각한다면?) 결국, 만약 a=0, b=0(모든 숫자가 가능합니까?) 그러면 다음과 같은 재미있는 표현이 나타납니다.

하지만 그게 전부는 아닙니다! 말하자면, a=0,ㅏ b=5,이는 완전히 평범하지 않은 것으로 밝혀졌습니다.

짜증나고 수학에 대한 자신감을 떨어뜨리는 일이죠. 예...) 특히 시험 중에는요. 하지만 이 이상한 표현들 중에서 X도 찾아야 해요! 전혀 존재하지 않습니다. 그리고 놀랍게도 이 X는 찾기가 매우 쉽습니다. 우리는 이것을 하는 방법을 배울 것입니다. 이번 강의에서는.

모양으로 선형 방정식을 인식하는 방법은 무엇입니까? 모양에 따라 다릅니다.) 비결은 선형 방정식이 다음 형식의 방정식뿐만 아니라 도끼 + 비 = 0 , 변환 및 단순화를 통해 이 형식으로 축소할 수 있는 모든 방정식도 포함됩니다. 그리고 그것이 내려올지 말지 누가 알겠습니까?)

어떤 경우에는 선형 방정식이 명확하게 인식될 수 있습니다. 1차와 숫자에 대한 미지수만 있는 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 방정식에는 분수를 다음으로 나눈 값 알려지지 않은 , 그건 중요해! 그리고 나누기 숫자,또는 숫자 분수 - 환영합니다! 예를 들어:

이것은 선형 방정식입니다. 여기에는 분수가 있지만 정사각형, 정육면체 등에 x가 없고 분모에도 x가 없습니다. 아니요 x로 나누기. 그리고 여기에 방정식이 있습니다

선형이라고 할 수 없습니다. 여기서 X는 모두 1차이지만 다음과 같은 경우도 있습니다. x를 사용한 표현식으로 나누기. 단순화 및 변환 후에 선형 방정식, 이차 방정식 또는 원하는 것을 얻을 수 있습니다.

일부 복잡한 예에서는 선형 방정식을 거의 풀 때까지 이를 인식하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 속상하다. 하지만 과제에서는 원칙적으로 방정식의 형식을 묻지 않죠? 과제는 방정식을 요구합니다 결정하다.이것이 나를 행복하게 한다.)

선형 방정식 풀기. 예.

선형 방정식의 전체 해는 방정식의 동일한 변환으로 구성됩니다. 그건 그렇고, 이러한 변환(두 개!)이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.즉, 해결책은 어느방정식은 바로 이러한 변환으로 시작됩니다. 선형 방정식의 경우 방정식(해)은 이러한 변환을 기반으로 하며 완전한 답으로 끝납니다. 링크를 따라가는 것이 합리적이죠?) 또한 거기에는 선형 방정식을 푸는 예도 있습니다.

먼저 가장 간단한 예를 살펴보겠습니다. 어떤 함정도 없이. 이 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

x - 3 = 2 - 4x

이것은 선형 방정식입니다. X는 모두 1제곱이므로 X로 나누는 일은 없습니다. 그러나 사실 그것이 어떤 방정식인지는 우리에게 중요하지 않습니다. 우리는 그것을 해결해야 합니다. 여기의 계획은 간단합니다. 방정식의 왼쪽에 X가 있는 모든 것을 모으고, 오른쪽에 X(숫자)가 없는 모든 것을 모으세요.

이렇게 하려면 전송해야 합니다. - 물론 기호를 변경하여 왼쪽으로 4x - 3 - 오른쪽으로. 그런데 이것은 방정식의 첫 번째 동일한 변환.놀란? 이는 귀하가 링크를 따르지 않았지만 헛된 일임을 의미합니다...) 우리는 다음을 얻습니다.

x + 4x = 2 + 3

다음은 유사한 것입니다.

완전한 행복을 위해서는 무엇이 필요합니까? 예, 왼쪽에 순수한 X가 있습니다! 5개가 가는 길입니다. 도움을 받아 다섯 마리를 제거하세요 방정식의 두 번째 동일한 변환.즉, 방정식의 양변을 5로 나눕니다. 준비된 답을 얻습니다.

물론 기본적인 예입니다. 워밍업을 위한 것입니다.) 여기서 동일한 변형을 기억한 이유가 명확하지 않습니까? 좋아요. 황소의 뿔을 잡자.) 좀 더 확실한 것을 결정하자.

예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.

어디서부터 시작할까요? X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로? 그럴 수도 있습니다. 긴 길을 따라 작은 발걸음. 아니면 보편적이고 강력한 방법으로 즉시 수행할 수도 있습니다. 물론 무기고에 동일한 방정식 변환이 있는 경우.

나는 당신에게 중요한 질문을 합니다: 이 방정식에서 가장 마음에 들지 않는 점은 무엇입니까?

100명 중 95명은 이렇게 대답할 것입니다. 분수 ! 대답은 정확합니다. 그러니 그들을 제거합시다. 그러므로 우리는 즉시 다음과 같이 시작합니다. 두 번째 정체성 변화. 분모가 완전히 줄어들도록 왼쪽 분수에 무엇을 곱해야 합니까? 맞습니다. 3시죠. 그리고 오른쪽은요? 4. 하지만 수학을 사용하면 양변에 다음을 곱할 수 있습니다. 같은 번호. 어떻게 나갈 수 있나요? 양변에 12를 곱해 봅시다! 저것들. 공통분모로. 그러면 셋과 넷이 모두 줄어들 것이다. 각 부분을 곱해야한다는 것을 잊지 마십시오 전적으로. 첫 번째 단계는 다음과 같습니다.

대괄호 확장:

메모! 분자 (x+2)괄호 안에 넣었어요! 분수를 곱하면 분자 전체가 곱해지기 때문이죠! 이제 분수를 줄일 수 있습니다:

나머지 대괄호를 확장합니다.

예가 아니라 순수한 기쁨입니다!) 이제 초등학교 때의 주문을 기억해 봅시다. X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로!그리고 다음 변환을 적용합니다.

다음은 유사한 것들입니다:

그리고 두 부분을 25로 나눕니다. 즉, 두 번째 변환을 다시 적용합니다.

그게 다야. 답변: 엑스=0,16

참고: 원래의 혼란스러운 방정식을 좋은 형식으로 만들기 위해 두 개만 사용했습니다(단 두 개!). 정체성 변화– 같은 숫자로 방정식의 부호 변경 및 곱셈 나눗셈을 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 번역합니다. 이것은 보편적인 방법입니다! 우리는 이런 식으로 일할 것입니다 어느 방정식! 물론 누구나. 그래서 나는 항상 똑같은 변형을 지루하게 반복한다.)

보시다시피 선형 방정식을 푸는 원리는 간단합니다. 방정식을 취하고 답을 얻을 때까지 동일한 변환을 사용하여 단순화합니다. 여기서 주요 문제는 솔루션의 원리가 아니라 계산에 있습니다.

하지만... 가장 기본적인 일차방정식을 푸는 과정에서 당신을 몹시 혼미하게 만들 정도로 놀라운 일이 일어납니다...) 다행히도 그러한 놀라운 일은 딱 두 가지밖에 없습니다. 그것들을 특별한 경우라고 부르자.

선형 방정식 풀기의 특별한 경우.

첫 번째 놀라움.

다음과 같은 매우 기본적인 방정식을 발견했다고 가정해 보겠습니다.

2x+3=5x+5 - 3x - 2

약간 지루해서 X를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 X 없이 오른쪽으로 이동합니다... 기호를 변경하면 모든 것이 완벽합니다... 우리는 다음을 얻습니다.

2x-5x+3x=5-2-3

우리는 세어보고... 이런!!! 우리는 다음을 얻습니다:

이러한 평등 자체는 반대할 수 없습니다. 0은 정말 0입니다. 그런데 X가 없어졌어요! 그리고 우리는 답을 적어야 합니다. x는 무엇입니까?그렇지 않으면 해결 방법이 중요하지 않습니다. 그렇죠...) 교착 상태인가요?

침착한! 이러한 의심스러운 경우에는 가장 일반적인 규칙이 도움이 될 것입니다. 방정식을 푸는 방법? 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 다음을 의미합니다. 원래 방정식에 대입하면 올바른 동등성을 제공하는 x의 모든 값을 찾아보세요.

하지만 우리에겐 진정한 평등이 있어요 이미일어난! 0=0, 얼마나 더 정확할까요?! x가 어떤 일이 일어나는지 알아내는 것이 남아 있습니다. X의 어떤 값이 대체될 수 있나요? 원래의방정식 여전히 0으로 줄어들까요?어서 해봐요?)

예!!! X로 대체 가능 어느!어느 것을 원하시나요? 5 이상, 0.05 이상, -220 이상입니다. 그들은 여전히 ​​​​줄어들 것입니다. 믿을 수 없다면 확인해 보세요.) X의 값을 다음과 같이 대입합니다. 원래의방정식과 계산. 항상 순수한 진실(0=0, 2=2, -7.1=-7.1 등)을 얻게 됩니다.

귀하의 답변은 다음과 같습니다. x - 임의의 숫자.

답은 다양한 수학적 기호로 쓰여질 수 있으며 본질은 변하지 않습니다. 이것은 완전히 정확하고 완전한 답변입니다.

두 번째 놀라움.

동일한 기본 선형 방정식을 사용하여 숫자 하나만 변경해 보겠습니다. 이것이 우리가 결정할 사항입니다:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

동일한 동일한 변환 후에 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.

이와 같이. 우리는 선형 방정식을 풀고 이상한 평등을 얻었습니다. 수학적 용어로 우리는 다음을 얻었습니다. 거짓 평등.그러나 간단히 말해서 이는 사실이 아니다. 날뛰다. 그럼에도 불구하고, 이 넌센스는 방정식을 올바르게 풀 수 있는 아주 좋은 이유입니다.)

다시 우리는 일반적인 규칙을 기반으로 생각합니다. 원래 방정식에 x를 대입하면 우리는 무엇을 얻게 될까요? 진실평등? 예, 없습니다! 그런 X는 없습니다. 무엇을 넣어도 다 줄어들고 넌센스만 남게 된다.)

귀하의 답변은 다음과 같습니다. 해결책이 없습니다.

이것은 또한 완전히 완전한 답변입니다. 수학에서는 그러한 답이 종종 발견됩니다.

이와 같이. 이제 (선형뿐만 아니라) 방정식을 푸는 과정에서 X가 사라져도 전혀 혼란스럽지 않기를 바랍니다. 이미 익숙한 일이다.)

이제 우리는 선형 방정식의 모든 함정을 다루었으므로 이를 해결하는 것이 합리적입니다.

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이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.

먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?

선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.

가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.

다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.

1. 괄호가 있으면 확장하세요.
2. 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
3. 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
4. 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.

물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명되는 경우가 있습니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.

1. 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이런 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
2. 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.

이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

방정식 풀이의 예

오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.

이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.

1. 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
2. 그런 다음 비슷한 것을 결합하십시오.
3. 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.

그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 유사한 것을 제공해야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.

이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.

또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 하지만 이미 이해하셨듯이 가장 간단한 작업부터 시작하겠습니다.

간단한 선형 방정식을 푸는 방식

먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.

1. 대괄호가 있으면 확장합니다.
2. 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
3. 비슷한 용어를 제시합니다.
4. 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.

물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아니며 여기에는 특정 미묘함과 요령이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.

간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기

작업 번호 1

첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 적어 봅시다:

우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나눕니다.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

그래서 우리는 답을 얻었습니다.

작업 번호 2

이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:

다음은 유사한 것들입니다:

이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.

작업 번호 3

세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.

\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]

여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:

우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

수학을 해보자:

마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항

너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.

• 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
• 뿌리가 있더라도 그 중 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.

0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못한 것이라고 가정해서는 안 됩니다.

또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.

이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그런 일을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.

복잡한 선형 방정식 풀기

더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 확실히 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.

예 1

분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.

이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

다음은 유사한 것들입니다:

분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 쓸 것입니다.

\[\varnothing\]

아니면 뿌리가 없습니다.

예 2

우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:

변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

다음은 유사한 것들입니다:

분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.

\[\varnothing\],

아니면 뿌리가 없습니다.

솔루션의 뉘앙스

두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.

그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.

개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 각각 두 개의 용어와 곱셈이 있습니다.

그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.

두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.

내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.

물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 너무 많은 변환을 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.

훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기

지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.

작업 번호 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

첫 번째 부분의 모든 요소를 ​​곱해 보겠습니다.

개인정보 보호를 좀 해보자:

다음은 유사한 것들입니다:

마지막 단계를 완료해 보겠습니다.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 풀이 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.

작업 번호 2

\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]

첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.

이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.

"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

비슷한 용어는 다음과 같습니다.

다시 한번 최종 답변을 받았습니다.

솔루션의 뉘앙스

이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.

대수합에 대하여

이 마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.

모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구성이 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.

마지막으로, 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.

분수로 방정식 풀기

이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.

1. 괄호를 엽니다.
2. 별도의 변수.
3. 비슷한 것을 가져오세요.
4. 비율로 나누어 보세요.

아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.

이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 분수를 제거하십시오.
2. 괄호를 엽니다.
3. 별도의 변수.
4. 비슷한 것을 가져오세요.
5. 비율로 나누어 보세요.

"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.

예 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 적어보자:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

이제 확장해 보겠습니다.

변수를 격리합니다.

유사한 용어의 축소를 수행합니다.

\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.

예 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

문제가 해결되었습니다.

사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.

키 포인트

주요 결과는 다음과 같습니다.

• 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
• 괄호를 여는 기능.
• 어딘가에 이차 함수가 있더라도 걱정하지 마십시오. 아마도 추가 변환 과정에서 이 함수가 줄어들 것입니다.
• 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있습니다. 가장 단순한 근이라도 하나의 근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.

이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!