유리 방정식의 근. 유리 방정식

"다항식이 있는 유리 방정식"은 수학 통합 상태 시험 테스트 과제에서 가장 일반적인 주제 중 하나입니다. 이러한 이유로 반복에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 많은 학생들이 판별식을 찾고, 지표를 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 방정식을 공통 분모로 가져오는 문제에 직면하고 있으며, 이것이 바로 이러한 작업을 완료하는 데 어려움을 겪는 이유입니다. 저희 웹사이트에서 통합 상태 시험을 준비하면서 유리 방정식을 풀면 복잡한 문제에 신속하게 대처하고 성공적으로 시험을 통과하는 데 도움이 될 것입니다.

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보다 효과적인 테스트 준비를 위해 특별한 방법을 따르고 규칙을 반복하고 간단한 문제를 해결하는 것부터 시작하여 점차적으로 더 복잡한 문제로 넘어가는 것이 좋습니다. 따라서 졸업생은 가장 어려운 주제를 스스로 식별하고 연구에 집중할 수 있습니다.

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수업 목표:

교육적인:

  • 분수 유리 방정식의 개념 형성;
  • 분수 유리 방정식을 풀기 위한 다양한 방법을 고려합니다.
  • 분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
  • 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.
  • 테스트를 통해 주제의 숙달 정도를 확인합니다.

발달:

  • 습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 사고하는 능력을 개발합니다.
  • 지적 기술 및 정신적 작업 개발 - 분석, 종합, 비교 및 ​​일반화;
  • 주도력 개발, 결정을 내리는 능력, 그리고 거기서 멈추지 않습니다.
  • 비판적 사고의 발달;
  • 연구 능력 개발.

교육:

  • 주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
  • 교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
  • 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명입니다.

수업 중에는

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

  1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
  2. 방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
  3. 방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( 비에타의 정리와 추론을 사용한 공식을 사용하여 완전한 정사각형 분리.)
  4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
  5. 방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
  6. 분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

이제 다음 방법 중 하나를 사용하여 방정식 7을 풀어보세요.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x 2 -2x-5=x+5

x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

x 2 -2x-5-x-5=0

x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

x 1 =0 x 2 =5 D=49

엑스 3 =5 엑스 4 =-2

엑스 3 =5 엑스 4 =-2

답변: 0;5;-2.

답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외래근이라는 개념을 접한 적이 없었기 때문에 이런 일이 발생한 이유를 이해하는 것이 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

  • 방정식 번호 2와 4는 방정식 번호 5,6,7과 어떻게 다른가요? ( 방정식 2번과 4번은 분모에 숫자가 있고, 5~7번은 변수가 있는 수식이다..)
  • 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
  • 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5이면 x(x-5)=0입니다. 이는 5가 외부 근임을 의미합니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

  1. 모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
  2. 분수를 공통 분모로 줄이세요.
  3. 시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
  4. 방정식을 풀어보세요.
  5. 외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
  6. 답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱하는 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해법에 추가: 공통 분모를 사라지게 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오).

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 – 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 – 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1;1.5.

5. 숙제 설정.

  1. 교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
  2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
  3. 노트 번호 600(a, d, e)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).
  4. 696(a)번(선택 사항)을 풀어보세요.

6. 연구 주제에 대한 제어 작업을 완료합니다.

작업은 종이 조각으로 이루어집니다.

예시 작업:

A) 어떤 방정식이 분수 유리합니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________이면 분수는 0과 같습니다.

Q) 숫자 -3이 방정식 6의 근본인가요?

D) 방정식 7번을 푼다.

과제 평가 기준:

  • 학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 주어집니다.
  • "4" - 75%-89%
  • "3" - 50%-74%
  • “2”는 과제를 50% 미만 완료한 학생에게 주어집니다.
  • 저널에는 2등급이 주어지지 않으며, 3등급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립 워크시트에 다음을 적습니다:

  • 1 – 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬웠는지 여부
  • 2 – 흥미롭지만 명확하지 않습니다.
  • 3 – 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
  • 4 – 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고 이러한 방정식을 다양한 방법으로 해결하는 방법을 배웠으며 독립적인 교육 활동의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 다음 수업에서는 독립적인 작업의 결과를 배우고 집에서 지식을 통합할 기회를 갖게 됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 방법 중 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근하기 쉽고, 더 합리적이라고 생각하시나요? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 무엇을 기억해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.

위의 방정식을 § 7에서 소개했습니다. 먼저 유리수식이 무엇인지 떠올려 보겠습니다. 이는 자연 지수를 사용한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 지수 연산을 사용하여 숫자와 변수 x로 구성된 대수식입니다.

r(x)가 유리식이면 방정식 r(x) = 0을 유리식이라고 합니다.

그러나 실제로는 "유리 방정식"이라는 용어를 약간 더 광범위하게 해석하는 것이 더 편리합니다. 이는 h(x) = q(x) 형식의 방정식입니다. 여기서 h(x) 및 q(x)는 다음과 같습니다. 합리적인 표현.

지금까지 우리는 유리 방정식을 풀 수 없었지만 다양한 변형과 ​​추론의 결과로 다음과 같이 축소된 방정식만 풀 수 있었습니다. 일차 방정식. 이제 우리의 능력은 훨씬 더 커졌습니다. 우리는 선형뿐만 아니라 축소되는 유리 방정식을 풀 수 있게 될 것입니다.
mu뿐만 아니라 이차 방정식에도 적용됩니다.

이전에 유리 방정식을 어떻게 풀었는지 기억하고 해 알고리즘을 공식화해 보겠습니다.

예시 1.방정식을 풀어보세요

해결책. 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

이 경우 평소와 같이 등식 A = B 및 A - B = 0이 A와 B 사이의 동일한 관계를 표현한다는 사실을 활용합니다. 이를 통해 항을 방정식의 왼쪽으로 이동할 수 있습니다. 반대 표시.

방정식의 좌변을 변환해 보겠습니다. 우리는


평등의 조건을 떠올려보자 분수 0: 두 관계가 동시에 만족되는 경우에만:

1) 분수의 분자는 0입니다(a = 0). 2) 분수의 분모가 0과 다릅니다.
방정식 (1)의 왼쪽에 있는 분수의 분자를 0으로 동일화하면 다음을 얻습니다.

위에 표시된 두 번째 조건이 충족되는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 관계는 방정식 (1)에 대해 다음을 의미합니다. x 1 = 2 및 x 2 = 0.6 값은 표시된 관계를 만족하므로 방정식 (1)의 근이 되고 동시에 주어진 방정식의 근이 됩니다.

1) 방정식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

2) 이 방정식의 좌변을 변환해 보겠습니다.

(동시에 분자의 부호가 변경되고
분수).
따라서 주어진 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

3) 방정식 x 2 - 6x + 8 = 0을 푼다.

4) 찾은 값에 대해 조건 충족 여부를 확인합니다. . 숫자 4는 이 조건을 충족하지만 숫자 2는 그렇지 않습니다. 이는 4가 주어진 방정식의 근이고 2가 외부 근이라는 것을 의미합니다.
답: 4.

2. 새로운 변수를 도입하여 유리 방정식 풀기

새로운 변수를 도입하는 방법은 여러분에게 익숙할 것입니다. 우리는 이 방법을 두 번 이상 사용해 본 적이 있습니다. 유리 방정식을 푸는 데 어떻게 사용되는지 예를 들어 살펴보겠습니다.

예시 3.방정식 x 4 + x 2 - 20 = 0을 풉니다.

해결책. 새로운 변수 y = x 2 를 도입해 보겠습니다. x 4 = (x 2) 2 = y 2이므로 주어진 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

y 2 + y - 20 = 0.

이것은 2차 방정식으로, 그 근은 알려진 방법을 사용하여 찾을 수 있습니다. 방식; 우리는 y 1 = 4, y 2 = - 5를 얻습니다.
그러나 y = x 2입니다. 이는 문제가 두 방정식을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.
x 2 =4; x 2 = -5.

첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식에는 근이 없다는 것을 알 수 있습니다.
답변: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 형식의 방정식을 2차 방정식("bi"는 2, 즉 일종의 "이중 2차" 방정식)이라고 합니다. 방금 풀린 방정식은 정확히 이차 방정식이었습니다. 모든 2차 방정식은 예 3의 방정식과 동일한 방식으로 풀립니다. 새 변수 y = x 2를 도입하고 변수 y에 대해 결과 2차 방정식을 푼 다음 변수 x로 돌아갑니다.

예시 4.방정식을 풀어보세요

해결책. 여기에는 동일한 표현식 x 2 + 3x가 두 번 나타납니다. 이는 새로운 변수 y = x 2 + 3x를 도입하는 것이 합리적이라는 것을 의미합니다. 이를 통해 우리는 방정식을 더 간단하고 더 보기 좋은 형식으로 다시 작성할 수 있습니다(사실 이는 새로운 형식을 도입하는 목적입니다). 변하기 쉬운- 녹음을 단순화
더 명확해지고 방정식의 구조도 더 명확해집니다.)

이제 유리 방정식을 풀기 위해 알고리즘을 사용해 보겠습니다.

1) 방정식의 모든 항을 한 부분으로 옮겨 보겠습니다.

= 0
2) 방정식의 좌변을 변환합니다.

따라서 우리는 주어진 방정식을 다음 형식으로 변환했습니다.


3) 방정식에서 - 7y 2 + 29y -4 = 0을 찾습니다(당신과 나는 이미 꽤 많은 이차 방정식을 풀었으므로 항상 교과서에서 자세한 계산을 제공할 가치가 없을 것입니다).

4) 조건 5(y - 3)(y + 1)을 이용하여 찾은 근을 확인해 보겠습니다. 두 뿌리 모두 이 조건을 만족합니다.
따라서 새 변수 y에 대한 2차 방정식이 풀립니다.
y = x 2 + 3x 및 y는 우리가 설정한 대로 두 개의 값인 4와 를 취하므로 여전히 두 개의 방정식을 풀어야 합니다. x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . 첫 번째 방정식의 근은 숫자 1과 - 4이고, 두 번째 방정식의 근은 숫자입니다.

고려된 예에서, 새로운 변수를 도입하는 방법은 수학자들이 말하길 좋아하는 것처럼 상황에 적절했습니다. 즉, 상황에 잘 부합했습니다. 왜? 네, 같은 표현이 수식에 여러 번 명확하게 등장했고, 이 표현을 새로운 글자로 지정할 이유가 있었기 때문입니다. 그러나 이것이 항상 발생하는 것은 아니며 때로는 변환 프로세스 중에만 새 변수가 "나타나는" 경우도 있습니다. 이것이 바로 다음 예에서 일어날 일입니다.

실시예 5.방정식을 풀어보세요
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
해결책. 우리는
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

이는 주어진 방정식이 다음 형식으로 다시 작성될 수 있음을 의미합니다.

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

이제 새로운 변수가 "나타났습니다": y = x 2 - 3x.

이를 사용하면 방정식을 y (y + 2) = 24, y 2 + 2y - 24 = 0 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 이 방정식의 근은 숫자 4와 -6입니다.

원래 변수 x로 돌아가서 두 개의 방정식 x 2 - 3x = 4 및 x 2 - 3x = - 6을 얻습니다. 첫 번째 방정식에서 x 1 = 4, x 2 = - 1을 찾습니다. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다.

답: 4, - 1.

수업 내용 수업 노트프레임 레슨 프리젠테이션 가속화 방법 인터랙티브 기술 지원 관행 과제 및 연습 자가 테스트 워크숍, 교육, 사례, 퀘스트 숙제 토론 질문 학생들의 수사적 질문 일러스트레이션 오디오, 비디오 클립 및 멀티미디어사진, 그림, 그래픽, 테이블, 다이어그램, 유머, 일화, 농담, 만화, 비유, 속담, 십자말 풀이, 인용문 부가기능 초록기사 호기심 많은 어린이를 위한 요령 교과서 기본 및 추가 용어 사전 기타 교과서와 수업 개선교과서의 오류를 정정하다교과서의 단편 업데이트, 수업의 혁신 요소, 오래된 지식을 새로운 지식으로 대체 선생님들만을 위한 완벽한 수업올해의 일정 계획, 방법론적 권장 사항, 토론 프로그램 통합수업

\(\bullet\) 유리 방정식은 \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] 형식으로 표현되는 방정식입니다. 여기서 \(P(x), \Q(x)\ ) - 다항식(다양한 거듭제곱의 "X"의 합에 다양한 숫자를 곱함).
방정식의 좌변에 있는 식을 유리식이라고 합니다.
유리방정식의 EA(허용값의 범위)는 분모가 사라지지 않는 \(x\)의 모든 값, 즉 \(Q(x)\ne 0\)입니다.
\(\bullet\) 예를 들어, 방정식 \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]유리 방정식입니다.
첫 번째 방정식에서 ODZ는 모두 \(x\)이므로 \(x\ne 3\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); 두 번째 방정식에서 – 이것들은 모두 \(x\)이므로 \(x\ne -1; x\ne 1\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); 세 번째 방정식에서는 ODZ에 대한 제한이 없습니다. 즉, ODZ는 모두 \(x\)입니다(\(x\in\mathbb(R)\)라고 씁니다). \(\bullet\) 정리:
1) 두 요소의 곱은 그 중 하나가 0이고 다른 하나가 의미를 잃지 않는 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(f(x)\cdot g(x)=0\ )는 시스템과 동일합니다. \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ 텍스트(ODZ 방정식)\end(케이스)\] 2) 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ )는 방정식 시스템과 동일합니다. \[\begin(케이스) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(케이스)\]\(\bullet\) 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1) 방정식 \(x+1=\dfrac 2x\) 을 푼다. 이 방정식의 ODZ를 찾아보겠습니다. 이는 \(x\ne 0\)입니다(\(x\)가 분모에 있으므로).
이는 ODZ가 다음과 같이 작성될 수 있음을 의미합니다.
모든 용어를 하나의 부분으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다. \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( 건수) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(건수)\]시스템의 첫 번째 방정식에 대한 해는 \(x=-2, x=1\) 입니다. 우리는 두 근이 모두 0이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 답은 \(x\in \(-2;1\)\) 입니다.

2) 방정식을 푼다 \(\왼쪽(\dfrac4x - 2\오른쪽)\cdot(x^2-x)=0\). 이 방정식의 ODZ를 찾아봅시다. 왼쪽이 의미가 없는 \(x\)의 유일한 값은 \(x=0\) 이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 ODZ는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
따라서 이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(수집됨)\begin(정렬됨) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(건수) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(수집됨) \begin(정렬) &x=2\\ &x=1 \end(정렬) \end(수집) \right.\]실제로 \(x=0\)이 두 번째 요인의 근이라는 사실에도 불구하고 \(x=0\)을 원래 방정식에 대입하면 의미가 없습니다. 왜냐하면 표현식 \(\dfrac 40\)이 정의되지 않았습니다.
따라서 이 방정식의 해는 \(x\in \(1;2\)\) 입니다.

3) 방정식을 푼다 \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]방정식 \(4x^2-1\ne 0\) 에서 \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , 즉 \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
모든 용어를 왼쪽으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다.

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(케이스) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered) \begin( 정렬됨) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(정렬됨)\end(수집됨) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(케이스) \quad \ 왼쪽 오른쪽 화살표 \quad x=-3\)

답: \(x\in \(-3\)\) .

논평. 답이 유한한 숫자 집합으로 구성된 경우 이전 예에서 표시된 것처럼 중괄호 안에 세미콜론으로 구분하여 작성할 수 있습니다.

유리 방정식을 푸는 데 필요한 문제는 매년 수학 통합 국가 시험에서 발생하므로 인증 시험 합격을 준비할 때 졸업생은 반드시 이 주제에 대한 이론을 스스로 반복해야 합니다. 기본 및 전문 수준의 시험을 모두 치르는 졸업생은 이러한 작업에 대처할 수 있어야 합니다. 이론을 숙지하고 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 실제 연습을 처리한 학생들은 다양한 행동으로 문제를 해결할 수 있으며 통합 국가 시험에서 경쟁력 있는 점수를 받을 수 있습니다.

Shkolkovo 교육 포털을 사용하여 시험을 준비하는 방법은 무엇입니까?

때로는 수학적 문제를 해결하기 위한 기본 이론을 완벽하게 제시하는 소스를 찾는 것이 매우 어려운 경우가 있습니다. 교과서가 가까이 있지 않을 수도 있습니다. 그리고 인터넷에서도 필요한 공식을 찾는 것이 때로는 상당히 어려울 수 있습니다.

Shkolkovo 교육 포털은 필요한 자료를 검색할 필요성을 덜어주고 인증 시험 통과를 잘 준비하는 데 도움을 줍니다.

우리 전문가들은 "유리 방정식"이라는 주제에 대해 필요한 모든 이론을 가장 접근하기 쉬운 형식으로 준비하고 제시했습니다. 제시된 정보를 연구한 후 학생들은 지식의 공백을 채울 수 있습니다.

통합 상태 시험을 성공적으로 준비하려면 졸업생은 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 기본 이론 자료에 대한 기억을 되새길 뿐만 아니라 특정 예를 사용하여 작업 완료를 연습해야 합니다. "카탈로그" 섹션에는 다양한 작업 선택이 표시됩니다.

사이트의 각 연습에 대해 전문가가 솔루션 알고리즘을 작성하고 정답을 표시했습니다. 학생들은 자신의 기술 수준에 따라 다양한 난이도의 문제 해결을 연습할 수 있습니다. 해당 섹션의 작업 목록은 지속적으로 보완되고 업데이트됩니다.

온라인으로 통합 상태 시험 시험에 포함된 것과 유사한 "유리 방정식" 주제에 대한 문제를 해결하는 데 필요한 이론적 자료를 공부하고 기술을 연마할 수 있습니다. 필요한 경우 제시된 작업을 "즐겨찾기" 섹션에 추가할 수 있습니다. 고등학생은 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 기본 이론을 다시 한 번 반복한 후 앞으로 문제로 돌아가서 대수 수업에서 교사와 해결 과정을 논의할 수 있습니다.

스미르노바 아나스타샤 유리에브나

수업 유형:새로운 자료를 배우는 수업.

교육 활동 조직의 형태: 정면, 개인.

수업의 목적: 새로운 유형의 방정식(분수 유리 방정식)을 소개하고 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘에 대한 아이디어를 제공합니다.

수업 목표.

교육적인:

  • 분수 유리 방정식의 개념 형성;
  • 분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
  • 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.

발달:

  • 습득한 지식을 적용하는 기술 개발을 위한 조건을 조성합니다.
  • 해당 과목에 대한 학생들의 인지적 관심의 발달을 촉진합니다.
  • 분석하고, 비교하고, 결론을 도출하는 학생들의 능력을 개발합니다.
  • 상호 통제 및 자제력, 주의력, 기억력, 구두 및 서면 말하기, 독립성 기술 개발.

교육:

  • 주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
  • 교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
  • 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

장비:교과서, 칠판, 크레용.

교과서 "대수 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky 편집. 모스크바 "계몽". 2010년

이 주제에는 5시간이 할당됩니다. 이것이 첫 번째 교훈입니다. 가장 중요한 것은 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 연구하고 연습에서 이 알고리즘을 연습하는 것입니다.

수업 중에는

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 오늘 저는 quatrain으로 수업을 시작하고 싶습니다.
모든 사람의 삶을 더 편리하게 만들기 위해,
무엇이 결정될 것인가, 무엇이 가능할 것인가,
웃으세요, 모두에게 행운을 빕니다
문제가 생기지 않도록,
우리는 서로 웃으며 좋은 분위기를 조성하고 일을 시작했습니다.

칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

  1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
  2. 방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
  3. 방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. (피 수식에 대해)
  4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
  5. 방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
  6. 분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

다음 강의에서는 방정식 7과 같은 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외래근이라는 개념을 접한 적이 없었기 때문에 이런 일이 발생한 이유를 이해하는 것이 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

  • 방정식 2번과 4번은 방정식 5번과 6번과 어떻게 다릅니까? ( 방정식 번호 2와 4에는 분모에 숫자가 있습니다. 5-6번 - 변수가 있는 표현식.)
  • 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
  • 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

  1. 모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
  2. 분수를 공통 분모로 줄이세요.
  3. 시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
  4. 방정식을 풀어보세요.
  5. 외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
  6. 답을 적어보세요.

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 - 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 - 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

5. 숙제 설정.

  1. 교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
  2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
  3. 노트 번호 600 (d, d)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).

6. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고 이러한 방정식을 다양한 방법으로 해결하는 방법을 배웠습니다. 분수 유리 방정식을 어떻게 푸는지에 관계없이 무엇을 명심해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.



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